Nella logica, un argomento è valido se e solo se assume una forma che rende impossibile che le premesse siano vere e che la conclusione sia falsa. Non è necessario che un argomento valido abbia premesse che siano effettivamente vere, ma che abbiano premesse che, se fossero vere, garantirebbero la verità della conclusione dell’argomento. Una formula è valida se e solo se è vera sotto ogni interpretazione e una forma di argomento (o schema) è valida se e solo se ogni argomento di quella forma logica è valido.

Il concetto di interpretazione, che è centrale in questa spiegazione, può essere intuitivamente inteso come una generalizzazione dell’assegnazione delle variabili nella logica proposizionale: Solo mediante l’assegnazione delle variabili di proposizione di una formula proposizionale la formula nel suo insieme può attribuire un valore di verità. Nelle logiche più complesse è necessario assegnare anche i componenti formali di una formula, che determinano il valore di verità della formula complessiva. Nella logica dei predicati, ad esempio, ha luogo la definizione di un universo e l’assegnazione di simboli di predicati a predicati (su questo universo) e di simboli di funzione a funzioni (su questo universo). Solo facendo riferimento a un insieme di oggetti in un mondo considerato si può verificare se una formula può essere adempiuta e se può sempre essere adempiuta, cioè universalmente valida.

La tabella seguente elenca alcuni termini e sinonimi strettamente correlati. Le colonne e  sono in una relazione di equivalenza, ad esempio B. è solo allora universalmente valida, se    insoddisfacente.

	Sinonimi	condizione
universale	tautologico (nella logica proposizionale)	Tutte le interpretazioni soddisfano la formula.	irraggiungibile
satisfiable	coerente, coerente	C’è un’interpretazione che soddisfa la formula.	falsificabile
falsificabile	confutabile	C’è un’interpretazione che confuta la formula.	satisfiable
irraggiungibile	incoerente, contraddittorio	Nessuna interpretazione soddisfa la formula.	universale

Argomenti
Un argomento è valido se e solo se la verità delle sue premesse implica la verità della sua conclusione e ogni passaggio, argomento secondario o operazione logica nell’argomento è valido. In tali condizioni sarebbe contraddittorio affermare le premesse e negare la conclusione. Il condizionale corrispondente di un argomento valido è una verità logica e la negazione del suo condizionale corrispondente è una contraddizione. La conclusione è una conseguenza logica delle sue premesse.

Un argomento non valido si dice che sia “non valido”.

Un esempio di argomento valido è dato dal sillogismo ben noto seguente:

Tutti gli uomini sono mortali.
Socrate è un uomo.
Pertanto, Socrate è mortale.

Ciò che rende questo un argomento valido non è che abbia vere premesse e una vera conclusione, ma la logica necessità della conclusione, date le due premesse. L’argomento sarebbe altrettanto valido se le premesse e la conclusione fossero false. Il seguente argomento ha la stessa forma logica ma con premesse errate e una falsa conclusione, ed è ugualmente valido:

Tutte le tazze sono verdi.
Socrate è una tazza.
Pertanto, Socrate è verde.

Non importa come l’universo possa essere costruito, non potrebbe mai essere il caso [perché?] Che questi argomenti dovrebbero rivelarsi simultaneamente veri presupposti ma una falsa conclusione. Gli argomenti di cui sopra potrebbero essere contrastati con il seguente non valido:

Tutti gli uomini sono immortali.
Socrate è un uomo.
Pertanto, Socrate è mortale.

In questo caso, la conclusione contraddice la logica deduttiva delle premesse precedenti, piuttosto che derivarne. Pertanto, l’argomento è logicamente “invalido”, anche se la conclusione potrebbe essere considerata “vera” in termini generali. Anche la premessa “Tutti gli uomini sono immortali” sarebbe considerata falsa al di fuori del quadro della logica classica. Tuttavia, all’interno di quel sistema “vero” e “falso” funzionano essenzialmente più come stati matematici come 1 e 0 binari rispetto ai concetti filosofici normalmente associati a quei termini.

Una visione standard è che la validità di un argomento dipende dalla forma logica dell’argomento. Molte logiche sono impiegate dai logici per rappresentare la forma logica di un argomento. Un semplice esempio, applicato a due delle illustrazioni precedenti, è il seguente: Lasciate che le lettere ‘P’, ‘Q’ e ‘S’ stiano, rispettivamente, per l’insieme di uomini, l’insieme di mortali e Socrate. Usando questi simboli, il primo argomento può essere abbreviato come:

Tutte le P sono Q.
S è una P.
Pertanto, S è una Q.

Allo stesso modo, il secondo argomento diventa:

Tutte le P non sono Q.
S è una P.
Pertanto, S è una Q.
Un argomento è formalmente valido se ha autoconsistenza strutturale, cioè se quando gli operandi tra le premesse sono tutti veri, la conclusione derivata è sempre vera . Nel terzo esempio, le premesse iniziali non possono logicamente portare alla conclusione ed è quindi classificata come argomento non valido.

Formula valida
Una formula di un linguaggio formale è una formula valida se e solo se è vera sotto ogni possibile interpretazione del linguaggio. Nella logica proposizionale, sono tautologie.

Questi argomenti sono validi perché entrambi hanno la forma di un sillogismo disgiuntivo, che è uno schema argomentativo valido:

poq
No p
Pertanto, q
Per determinare la validità di un argomento specifico, quindi, è sufficiente determinare la validità del suo schema di argomenti, e questo può essere ottenuto con mezzi semantici o con mezzi sintattici.

Metodo semantico
Nel metodo semantico si dice che uno schema argomentativo è valido quando è impossibile che le premesse siano vere e le conclusioni false. Per determinare se questo è il caso, si assume la verità delle premesse e, applicando le definizioni di verità, si cerca di dedurre la verità dalla conclusione. O anche, le premesse dovrebbero essere vere e la conclusione falsa, e applicando le definizioni di verità, si tenta di dedurre una contraddizione (riduzione dell’assurdo).

Nella logica proposizionale, un metodo alternativo è trasformare un argomento nella formula corrispondente e costruire una tabella di verità. Se la formula risulta essere una verità logica, l’argomento è valido. Questo perché il teorema della deduzione e il suo contrario sono validi, ma anche perché la logica proposizionale è decidibile e quindi ammette sempre una procedura algoritmica per determinare se una formula è una verità logica o meno.

Metodo sintattico
Nel metodo sintattico, si dice che uno schema di argomentazioni è valido quando vi è una deduzione della conclusione dalle premesse dell’argomentazione e dagli assiomi del sistema, usando solo le regole di inferenza consentite.

In un sistema di detrazione naturale, è come se l’insieme degli assiomi fosse vuoto, uno schema di argomentazioni sarà valido quando si avrà una deduzione della conclusione dai locali, usando solo le regole di lunghezza consentite.

Dichiarazioni
Un’affermazione può essere definita valida, cioè verità logica, se è vera in tutte le interpretazioni.

Solidità La
validità della detrazione non è influenzata dalla verità della premessa o dalla verità della conclusione. La seguente detrazione è perfettamente valida:

Tutti gli animali vivono su Marte.
Tutti gli umani sono animali.
Pertanto, tutti gli umani vivono su Marte.

Il problema con l’argomento è che non è corretto. Affinché un argomento deduttivo sia valido, la detrazione deve essere valida e tutte le premesse vere.

Soddisfacibilità
La teoria dei modelli analizza le formule rispetto a particolari classi di interpretazione in adeguate strutture matematiche. In questa lettura, la formula è valida se tutte queste interpretazioni la rendono vera. Un’inferenza è valida se tutte le interpretazioni che convalidano le premesse convalidano la conclusione. Questo è noto come validità semantica.

Conservazione
Nella validità che preserva la verità, l’interpretazione in base alla quale a tutte le variabili viene assegnato un valore di verità di “vero” produce un valore di verità di “vero”.

In una validità che preserva il falso, l’interpretazione in base alla quale a tutte le variabili viene assegnato un valore di verità di “falso” produce un valore di verità di “falso”.

Proprietà di conservazione	Frasi connettive logiche
Vero e falso preservare:	Proposizione • Congiunzione logica (AND,   ) • Disgiunzione logica (OR,   )
Vero solo conservazione:	Tautologia (   ) • Bicondizionale (XNOR,  ) • Implicazione (  ) • Implicazione  trasversale  (   )
Falso solo conservazione:	Contraddizione (   ) •  Disgiunzione esclusiva (XOR,  ) • Non implication (   ) • Converse nonimplication (   )
Non-conservazione:	Negazione (  ) • Negazione  alternativa (NAND,   ) • Negazione comune (NOR,   )