Una rete spaziale (a volte anche un grafico geometrico) è un grafico in cui i vertici o i bordi sono elementi spaziali associati a oggetti geometrici, cioè i nodi si trovano in uno spazio dotato di una certa metrica. La più semplice realizzazione matematica è un reticolo o un grafico geometrico casuale, in cui i nodi sono distribuiti uniformemente a caso su un piano bidimensionale; una coppia di nodi è connessa se la distanza euclidea è minore di un dato raggio di vicinato. Reti di trasporto e mobilità, Internet, reti di telefonia mobile, reti elettriche, reti sociali e di contatto e reti neurali sono tutti esempi in cui lo spazio sottostante è pertinente e in cui la topologia del grafico da sola non contiene tutte le informazioni. Caratterizzare e comprendere la struttura, la resilienza e l’evoluzione delle reti spaziali è cruciale per molti campi diversi, dall’urbanistica all’epidemiologia.

Esempi
Una rete spaziale urbana può essere costruita estraendo intersezioni come nodi e strade come collegamenti, che è indicato come rete di trasporto. Il traffico di Pechino è stato studiato come una rete dinamica e le sue proprietà di percolazione sono state trovate utili per identificare i colli di bottiglia sistematici.

Si potrebbe pensare che la “mappa dello spazio” sia l’immagine negativa della mappa standard, con lo spazio aperto tagliato fuori dagli edifici o dalle pareti dello sfondo.

Caratterizzazione delle reti spaziali
I seguenti aspetti sono alcune delle caratteristiche per esaminare una rete spaziale:

Reti planari
In molte applicazioni, come ferrovie, strade e altre reti di trasporto, la rete è considerata planare. Le reti planari costruiscono un gruppo importante fuori dalle reti spaziali, ma non tutte le reti spaziali sono planari. In effetti, le reti di passeggeri delle compagnie aeree sono un esempio non planare: tutti gli aeroporti del mondo sono collegati attraverso voli diretti.

Il modo in cui è incorporato nello spazio
Esistono esempi di reti, che sembrano non essere “direttamente” incorporate nello spazio. I social network, ad esempio, collegano le persone attraverso le relazioni di amicizia. Ma in questo caso, lo spazio interviene nel fatto che la probabilità di connessione tra due individui di solito diminuisce con la distanza tra loro.

Tessellation Voronoi
Una rete spaziale può essere rappresentata da un diagramma di Voronoi, che è un modo di dividere lo spazio in un numero di regioni. Il doppio grafico per un diagramma di Voronoi corrisponde alla triangolazione di Delaunay per lo stesso insieme di punti. Le tessellazioni di Voronoi sono interessanti per le reti spaziali nel senso che forniscono un modello di rappresentazione naturale a cui è possibile confrontare una rete del mondo reale.

Mixaggio di spazio e topologia
Esaminare la topologia dei nodi e dei bordi stessi è un altro modo per caratterizzare le reti. La distribuzione del grado dei nodi è spesso considerata, per quanto riguarda la struttura dei bordi è utile trovare l’albero di copertura minimo, o la generalizzazione, l’albero di Steiner e il grafico di vicinato relativo

Reti di lattice
Le reti a reticolo (vedi Fig. 1) sono modelli utili per reti spaziali incorporate. Molti fenomeni fisici sono stati studiati su queste strutture. Gli esempi includono il modello di Ising per la magnetizzazione spontanea, i fenomeni di diffusione modellati come percorsi casuali e percolazione. Di recente, per modellare la capacità di recupero delle infrastrutture interdipendenti che sono state incorporate nello spazio, è stato introdotto un modello di reti reticolari interdipendenti (vedi Fig. 2) e analizzato. Un modello di multiplex spaziale è stato introdotto da Danziger et al ed è stato ulteriormente analizzato da Vaknin et al.

Probabilità e reti spaziali
Nel mondo “reale” molti aspetti delle reti non sono deterministici – la casualità gioca un ruolo importante. Ad esempio, i nuovi collegamenti, che rappresentano le amicizie, nei social network sono in un certo modo casuali. La modellazione delle reti spaziali rispetto alle operazioni stocastiche è conseguente. In molti casi il processo spaziale di Poisson viene utilizzato per approssimare set di dati di processi su reti spaziali. Altri aspetti stocastici di interesse sono:

Il processo di linea di Poisson
Geometria stocastica: il grafico Erdős-Rényi
Teoria della percolazione
Approccio dalla teoria della sintassi spaziale
Un’altra definizione di rete spaziale deriva dalla teoria della sintassi spaziale. Può essere notoriamente difficile decidere quale dovrebbe essere un elemento spaziale in spazi complessi che coinvolgono grandi aree aperte o molti percorsi interconnessi. Gli autori della sintassi spaziale, Bill Hillier e Julienne Hanson usano linee assiali e spazi convessi come elementi spaziali. In modo approssimativo, una linea assiale è la “più lunga linea di vista e accesso” attraverso lo spazio aperto, e uno spazio convesso il “poligono massimo convesso” che può essere disegnato nello spazio aperto. Ciascuno di questi elementi è definito dalla geometria del confine locale in diverse regioni della mappa dello spazio. La scomposizione di una mappa spaziale in un insieme completo di linee assiali intersecanti o spazi convessi sovrapposti produce rispettivamente la mappa assiale o la mappa convessa sovrapposta. Esistono definizioni algoritmiche di queste mappe, e questo consente la mappatura da una mappa spaziale di forma arbitraria a una rete suscettibile di rappresentare la matematica da eseguire in modo relativamente ben definito. Le mappe assiali sono utilizzate per analizzare le reti urbane, dove il sistema generalmente comprende segmenti lineari, mentre le mappe convesse sono più spesso utilizzate per analizzare piani di costruzione in cui gli schemi spaziali sono spesso articolati in modo più convesso, tuttavia in entrambe le situazioni possono essere utilizzate sia mappe convesse che assiali.

Attualmente, vi è un movimento all’interno della comunità della sintassi spaziale per integrarsi meglio con i sistemi di informazione geografica (GIS) e gran parte del software che producono collegamenti con i sistemi GIS disponibili in commercio.

Storia
Mentre reti e grafici erano già da molto tempo oggetto di numerosi studi in matematica, sociologia matematica, informatica, reti spaziali sono stati studiati intensamente negli anni ’70 in geografia quantitativa. Gli oggetti di studio in geografia sono tra l’altro luoghi, attività e flussi di individui, ma anche reti che si evolvono nel tempo e nello spazio. La maggior parte dei problemi importanti come la posizione dei nodi di una rete, l’evoluzione delle reti di trasporto e la loro interazione con la popolazione e la densità di attività sono affrontati in questi studi precedenti. D’altra parte, molti punti importanti rimangono ancora poco chiari, in parte perché in quel momento mancavano i set di dati di reti di grandi dimensioni e capacità di computer più grandi. Recentemente, le reti spaziali sono state oggetto di studi in Statistica, per collegare probabilità e processi stocastici con reti nel mondo reale.