Cinematica delle particelle

La cinematica delle particelle è lo studio della traiettoria di una particella. La posizione di una particella è definita come il vettore di coordinate dall’origine di una cornice di coordinate alla particella.

Cinematica di una traiettoria delle particelle in un sistema di riferimento non rotante
Nel caso più generale, un sistema di coordinate tridimensionale viene utilizzato per definire la posizione di una particella. Tuttavia, se la particella è vincolata a muoversi in una superficie, è sufficiente un sistema di coordinate bidimensionale. Tutte le osservazioni in fisica sono incomplete senza che tali osservazioni siano descritte rispetto ad un quadro di riferimento.

Il vettore di posizione di una particella è un vettore disegnato dall’origine del fotogramma di riferimento alla particella. Esprime sia la distanza del punto dall’origine e la sua direzione dall’origine.In tre dimensioni, la posizione del punto P può essere espressa come 

dove  ,  , e  sono le coordinate cartesiane e  ,  e  sono i vettori unitari lungo il  ,  , e  assi coordinati, rispettivamente. La grandezza del vettore posizione dà la distanza tra il punto  e l’origine.

I coseni di direzione del vettore posizione forniscono una misura quantitativa della direzione. È importante notare che il vettore di posizione di una particella non è unico. Il vettore di posizione di una data particella è diverso rispetto a diversi quadri di riferimento.

La traiettoria di una particella è una funzione vettoriale del tempo,  , che definisce la curva tracciata dalla particella mobile, data da 
dove le coordinate x P , y P e z P sono ciascuna funzione del tempo.

Velocità e velocità
La velocità di una particella è una quantità vettoriale che descrive la direzione del movimento e la grandezza del moto della particella. Più matematicamente, il tasso di variazione del vettore di posizione di un punto, rispetto al tempo è la velocità del punto. Considera il rapporto formato dividendo la differenza di due posizioni di una particella per l’intervallo di tempo. Questo rapporto è chiamato velocità media su quell’intervallo di tempo ed è definito come Velocity = spostamento / tempo impiegato

dove ΔP è la variazione nel vettore di posizione nell’intervallo di tempo Δt.
Nel limite in cui l’intervallo di tempo Δt diventa sempre più piccolo, la velocità media diventa la derivata temporale del vettore posizione, 

La velocità di un oggetto è la grandezza | V | della sua velocità. È una quantità scalare:

dove s è la lunghezza dell’arco misurata lungo la traiettoria della particella. Questa lunghezza d’arco percorsa da una particella nel tempo è una quantità non decrescente. Quindi, ds / dt è non negativo, il che implica che anche la velocità sia non negativa.

Accelerazione
Il vettore di velocità può cambiare in grandezza e direzione o entrambi contemporaneamente.Quindi, l’accelerazione è il tasso di variazione della grandezza del vettore di velocità più il tasso di cambiamento di direzione di quel vettore. Lo stesso ragionamento usato rispetto alla posizione di una particella per definire la velocità, può essere applicato alla velocità per definire l’accelerazione.L’accelerazione di una particella è il vettore definito dal tasso di variazione del vettore di velocità.L’accelerazione media di una particella su un intervallo di tempo è definita come il rapporto.

dove ΔV è la differenza nel vettore di velocità e Δt è l’intervallo di tempo.
L’accelerazione della particella è il limite dell’accelerazione media quando l’intervallo temporale si avvicina a zero, che è la derivata temporale, 
o

La grandezza dell’accelerazione di un oggetto è la grandezza | A | del suo vettore di accelerazione.È una quantità scalare:

Vettore di posizione relativo

qual è la differenza tra i componenti dei loro vettori di posizione.

Se il punto B ha componenti di posizione 

quindi la posizione del punto A rispetto al punto B è la differenza tra i loro componenti: 

Velocità relativa
La velocità di un punto rispetto a un altro è semplicemente la differenza tra le loro velocità

qual è la differenza tra i componenti delle loro velocità.
Se il punto A ha componenti di velocità 
e il punto B ha componenti di velocità 

quindi la velocità del punto A rispetto al punto B è la differenza tra i loro componenti: 
In alternativa, questo stesso risultato potrebbe essere ottenuto calcolando la derivata temporale del vettore di posizione relativa R B / A.

Nel caso in cui la velocità sia vicina alla velocità della luce c (generalmente entro il 95%), un altro schema di velocità relativa chiamato rapidità, che dipende dal rapporto tra V e c, è usato nella relatività speciale.

Accelerazione relativa
L’accelerazione di un punto C rispetto ad un altro punto B è semplicemente la differenza tra le loro accelerazioni.

qual è la differenza tra i componenti delle loro accelerazioni.
Se il punto C ha componenti di accelerazione 
e il punto B ha componenti di accelerazione 

quindi l’accelerazione del punto C rispetto al punto B è la differenza tra i loro componenti: 
In alternativa, questo stesso risultato potrebbe essere ottenuto calcolando la derivata secondo tempo del vettore di posizione relativa P B / A.

Traiettorie delle particelle in costante accelerazione
Nel caso di accelerazione costante, l’equazione differenziale Eq 1) può essere integrata poiché il vettore di accelerazione A di un punto P è costante in grandezza e direzione. Si dice che un tale punto subisca un moto uniformemente accelerato . In questo caso, la velocità V (t) e quindi la traiettoria P (t) della particella possono essere ottenute integrando l’equazione di accelerazione A rispetto al tempo.

Supponendo che le condizioni iniziali della posizione,  e velocità  alla volta sono noti, la prima integrazione produce la velocità della particella in funzione del tempo.

Una seconda integrazione fornisce il suo percorso (traiettoria),

Ulteriori relazioni tra spostamento, velocità, accelerazione e tempo possono essere derivate. Poiché l’accelerazione è costante,  può essere sostituito nell’equazione sopra per dare:

Una relazione tra velocità, posizione e accelerazione senza dipendenza temporale esplicita può essere ottenuta risolvendo l’accelerazione media per tempo e sostituendo e semplificando

dove ∘ indica il prodotto punto, che è appropriato in quanto i prodotti sono scalari piuttosto che vettori.

Il punto può essere sostituito dal coseno dell’angolo  tra i vettori e i vettori per le loro grandezze, nel qual caso:

Nel caso di accelerazione sempre nella direzione del movimento, l’angolo tra i vettori (  ) è 0, quindi  , e 

Questo può essere semplificato usando la notazione per le grandezze dei vettori  dove  può essere qualsiasi percorso sinuoso preso come l’accelerazione tangenziale costante viene applicata lungo quel percorso , quindi 

Questo riduce le equazioni parametriche del moto della particella a una relazione cartesiana di velocità contro posizione. Questa relazione è utile quando il tempo è sconosciuto. Lo sappiamo anche noi  o  è l’area sotto av, t graph. Possiamo prendere aggiungendo l’area superiore e l’area inferiore. L’area inferiore è un rettangolo e l’area di un rettangolo è il  dove  è la larghezza e  è l’altezza. In questo caso  e  (nota che il  qui è diverso dall’accelerazione  ). Ciò significa che l’area inferiore è  . Ora troviamo l’area in alto (un triangolo). L’area di un trangle è  dove  è la base e  è l’altezza. In questo caso,  &  o  . Aggiunta  e  risultati nell’equazione  risultati nell’equazione  . Questa equazione è molto utile quando la velocità finale  è sconosciuto.

Traiettorie delle particelle in coordinate cilindriche-polari
Spesso è conveniente formulare la traiettoria di una particella P (t) = (X (t), Y (t) e Z (t)) usando le coordinate polari nel piano X-Y. In questo caso, la sua velocità e accelerazione assumono una forma conveniente.

Ricordiamo che la traiettoria di una particella P è definita dal suo vettore di coordinate P misurato in una trama di riferimento fissa F. Mentre la particella si muove, il suo vettore di coordinate P (t) traccia la sua traiettoria, che è una curva nello spazio, data da:

dove i, j, ek sono i vettori unitari lungo gli assi X, Y e Z del telaio di riferimento F, rispettivamente.

Consideriamo una particella P che si muove solo sulla superficie di un cilindro circolare R (t) = costante, è possibile allineare l’asse Z del telaio fisso F con l’asse del cilindro. Quindi, l’angolo θ attorno a questo asse nel piano X-Y può essere usato per definire la traiettoria come, 

Le coordinate cilindriche per P (t) possono essere semplificate introducendo i vettori di unità radiali e tangenziali, 

e i loro derivati ​​del tempo dal calcolo elementare:



 .

Usando questa notazione, P (t) assume la forma,

dove R è costante nel caso della particella che si muove solo sulla superficie di un cilindro di raggio R.

In generale, la traiettoria P (t) non è vincolata a giacere su un cilindro circolare, quindi il raggio R varia col tempo e la traiettoria della particella in coordinate cilindriche-polari diventa:

Dove R, theta e Z potrebbero essere funzioni di tempo continuamente differenziabili e la notazione della funzione è lasciata cadere per semplicità. Il vettore di velocità V P è la derivata temporale della traiettoria P (t), che produce:  .

Allo stesso modo, l’accelerazione A P , che è la derivata temporale della velocità V P , è data da: 

Il termine  agisce verso il centro di curvatura del sentiero in quel punto del percorso, è comunemente chiamata accelerazione centripeta. Il termine  si chiama accelerazione di Coriolis.

Raggio costante
Se la traiettoria della particella è vincolata a giacere su un cilindro, allora il raggio R è costante e i vettori di velocità e accelerazione semplificano. La velocità di V P è la derivata temporale della traiettoria P (t),

Il vettore di accelerazione diventa:

Traiettorie circolari piane
Un caso speciale di una traiettoria delle particelle su un cilindro circolare si verifica quando non vi è alcun movimento lungo l’asse Z:

dove R e Z 0 sono costanti. In questo caso, la velocità V P è data da:

dove

è la velocità angolare del vettore unitario θ attorno all’asse z del cilindro.
L’accelerazione A P della particella P è ora data da:

I componenti

sono chiamati, rispettivamente, le componenti radiali e tangenziali dell’accelerazione.
La notazione per velocità angolare e accelerazione angolare viene spesso definita come

quindi anche le componenti di accelerazione radiale e tangenziale per le traiettorie circolari sono scritte come

Traccia le traiettorie di un corpo che si muove nel piano

Rappresentazione a matrice
La combinazione di una rotazione e traslazione nel piano R 2 può essere rappresentata da un certo tipo di matrice 3×3 nota come trasformazione omogenea. La trasformazione omogenea 3×3 è costituita da una matrice di rotazione 2×2 (φ) e dal vettore di traduzione 2×1 d = (d x , d y ), come: 

Queste trasformazioni omogenee eseguono trasformazioni rigide sui punti del piano z = 1, cioè su punti con coordinate p = (x, y, 1).

In particolare, lascia che p definisca le coordinate di punti in un frame di riferimento M coincidente con un frame F fisso. Quindi, quando l’origine di M è spostata dal vettore di traslazione d relativo all’origine di Fand ruotato dall’angolo φ relativo al asse x di F, le nuove coordinate in F di punti in M ​​sono date da:

Le trasformazioni omogenee rappresentano trasformazioni affini. Questa formulazione è necessaria perché una traduzione non è una trasformazione lineare di R 2 . Tuttavia, usando la geometria proiettiva, in modo che R 2 sia considerato un sottoinsieme di R 3 , le traduzioni diventano trasformazioni lineari affini.

Traduzione pura
Se un corpo rigido si muove in modo tale che il suo telaio di riferimento M non ruoti (∅ = 0) rispetto al telaio F fisso, il movimento viene chiamato traslazione pura. In questo caso, la traiettoria di ogni punto del corpo è un offset della traiettoria d (t) dell’origine di M, ovvero: 

Quindi, per i corpi in pura traslazione, la velocità e l’accelerazione di ogni punto P nel corpo sono date da: 

dove il punto indica la derivata rispetto al tempo e V O e A O sono la velocità e l’accelerazione, rispettivamente, dell’origine del telaio mobile M. Richiamare il vettore di coordinate p in M ​​è costante, quindi la sua derivata è zero.

Rotazione di un corpo attorno ad un asse fisso
La cinematica rotazionale o angolare è la descrizione della rotazione di un oggetto. La descrizione della rotazione richiede un metodo per descrivere l’orientamento. Descrizioni comuni includono angoli di Eulero e la cinematica delle curve indotta da prodotti algebrici.

In quanto segue, l’attenzione è limitata alla rotazione semplice attorno a un asse di orientamento fisso. L’asse z è stato scelto per comodità.

Posizione
Ciò consente la descrizione di una rotazione come la posizione angolare di un frame di riferimento planare M rispetto ad una F fissa attorno a questo asse z condiviso. Le coordinate p = (x, y) in M ​​sono legate alle coordinate P = (X, Y) in F dall’equazione della matrice:

dove

è la matrice di rotazione che definisce la posizione angolare di M rispetto a F in funzione del tempo.

Velocità
Se il punto p non si muove in M, la sua velocità in F è data da

È conveniente eliminare le coordinate p e scriverle come un’operazione sulla traiettoria P (t), 

dove la matrice

è conosciuta come la matrice di velocità angolare di M relativa a F. Il parametro ω è la derivata temporale dell’angolo θ, cioè:

Accelerazione
L’accelerazione di P (t) in F è ottenuta come derivata temporale della velocità,

che diventa

dove

è la matrice di accelerazione angolare di M su F, e

La descrizione della rotazione coinvolge quindi queste tre quantità:

Posizione angolare: la distanza orientata da un’origine selezionata sull’asse di rotazione a un punto di un oggetto è un vettore r (t) che individua il punto. Il vettore r (t) ha qualche proiezione (o, equivalentemente, qualche componente) r  (t) su un piano perpendicolare all’asse di rotazione.Quindi la posizione angolare di quel punto è l’angolo θ da un asse di riferimento (tipicamente l’asse x positivo) al vettore r  (t) in un senso di rotazione noto (tipicamente dato dalla regola della mano destra).

Velocità angolare: la velocità angolare ω è la velocità con cui la posizione angolare θ cambia rispetto al tempo t:

La velocità angolare è rappresentata nella figura 1 da un vettore Ω che punta lungo l’asse di rotazione con grandezza ω e senso determinato dalla direzione di rotazione come indicato dalla regola della mano destra.

Accelerazione angolare: la grandezza dell’accelerazione angolare a è la velocità con cui la velocità angolare ω cambia rispetto al tempo t:

Le equazioni della cinematica traslazionale possono essere estese facilmente alla cinematica rotazionale piana per un’accelerazione angolare costante con scambi variabili semplici:



Qui θ i e θ f sono, rispettivamente, le posizioni angolari iniziale e finale, ω i e ω f sono, rispettivamente, le velocità angolari iniziali e finali, e α è l’accelerazione angolare costante. Sebbene la posizione nello spazio e la velocità nello spazio siano entrambi dei veri vettori (in termini delle loro proprietà in rotazione), così come la velocità angolare, l’angolo stesso non è un vettore vero.

Traccia le traiettorie del corpo che si muovono in tre dimensioni
Formule importanti della cinematica definiscono la velocità e l’accelerazione dei punti in un corpo in movimento mentre tracciano traiettorie nello spazio tridimensionale. Questo è particolarmente importante per il centro di massa di un corpo, che è usato per derivare equazioni di moto usando la seconda legge di Newton o le equazioni di Lagrange.

Posizione
Per definire queste formule, il movimento di un componente B di un sistema meccanico è definito dall’insieme di rotazioni [A (t)] e traslazioni d (t) assemblate nella trasformazione omogenea [T (t)] = [A (t), d (t)]. Se p è le coordinate di un punto P in B misurato nel frame di riferimento mobile M, allora la traiettoria di questo punto tracciata in F è data da: 

Questa notazione non distingue tra P = (X, Y, Z, 1) e P = (X, Y, Z), che si spera sia chiaro nel contesto.
Questa equazione per la traiettoria di P può essere invertita per calcolare il vettore di coordinate p in M ​​come: 

Questa espressione usa il fatto che anche la trasposizione di una matrice di rotazione è inversa, cioè:

Velocità
La velocità del punto P lungo la sua traiettoria P (t) è ottenuta come derivata temporale di questo vettore posizione, 

Il punto indica la derivata rispetto al tempo; poiché p è costante, la sua derivata è zero.

Questa formula può essere modificata per ottenere la velocità di P operando sulla sua traiettoria P (t) misurata nel frame fisso F. Sostituendo la trasformata inversa per p nei rendimenti dell’equazione della velocità: 

La matrice [S] è data da:

dove

è la matrice di velocità angolare.

Moltiplicando per l’operatore [S], la formula per la velocità V P assume la forma:

dove il vettore ω è il vettore di velocità angolare ottenuto dai componenti della matrice [Ω]; il vettore

è la posizione di P relativa all’origine O del telaio mobile M; e
{\ textbf {V}} _ {O} = {\ dot {\ textbf {d}}},

è la velocità dell’origine O.

Accelerazione
L’accelerazione di un punto P in un corpo in movimento B è ottenuta come derivata temporale del suo vettore di velocità: 

Questa equazione può essere ampliata in primo luogo tramite l’elaborazione

e

La formula per l’accelerazione A P può ora essere ottenuta come:

o

dove α è il vettore di accelerazione angolare ottenuto dalla derivata della matrice di velocità angolare;

è il vettore di posizione relativo (la posizione di P relativa all’origine O del telaio mobile M); e

è l’accelerazione dell’origine del telaio mobile M.