La teoria musicale non ha fondamenti assiomatici nella matematica moderna, tuttavia la base del suono musicale può essere descritta matematicamente (in acustica) ed esibisce “una notevole serie di proprietà numeriche”. Elementi di musica come la sua forma, il ritmo e il metro, i toni delle sue note e il tempo del suo impulso possono essere correlati alla misurazione del tempo e della frequenza, offrendo analogie pronte in geometria.
La stretta relazione tra musica e matematica è stata studiata fin dall’antichità: un esempio classico è dato dalla Scuola Pitagorica, a cui la scoperta (i Pitagorici assegnano loro significati mistici), secondo cui i diversi toni di una scala sono legati al rapporto tra interi: un halter dimezzato suona l’ottava superiore, ridotto a 3/4 il quarto, ridotto a 2/3 il quinto, e così via.
Gran parte della matematica applicata nel campo musicale deriva dallo studio della fisica acustica e dei problemi correlati. Se la stessa divisione ritmica del metro musicale è indicata da una frazione matematica, sappiamo che alla base di ogni rumore c’è un contributo di innumerevoli onde stazionarie e che qualsiasi suono può essere scomposto in onde sinusoidali mediante analisi armonica ( espresso matematicamente con l’algoritmo di trasformazione di Fourier).
Il tentativo di strutturare e comunicare nuovi modi di comporre e ascoltare la musica ha portato ad applicazioni musicali di teoria degli insiemi, algebra astratta e teoria dei numeri. Alcuni compositori hanno incorporato il rapporto aureo e i numeri di Fibonacci nel loro lavoro.
In un modo più astratto, la musica era anche legata alla matematica nel suo aspetto compositivo (che richiede la distribuzione di suoni tra le varie altezze, in diversi momenti del tempo e tra le diverse voci degli artisti). Questo tipo di analisi musicale ha avuto musicisti illustri nel corso dei secoli (pensiamo alle geometrie musicali dei canoni di Bach) e ha conosciuto nuove fortune anche in tempi vicini a noi (nel 1900, ad esempio, l’Istituto Kranischstein di Darmstadt, Radio di Colonia Electronic Music Studio, Music Phonology Centre di Milano e IRCAM a Parigi).
Sebbene gli antichi cinesi, indiani, egiziani e mesopotamici abbiano studiato i principi matematici del suono, i Pitagorici (in particolare Filolao e Archita) dell’antica Grecia furono i primi ricercatori che avevano studiato l’espressione delle scale musicali in termini di rapporti numerici , in particolare i rapporti dei piccoli numeri interi. La loro dottrina centrale era che “tutta la natura consiste nell’armonia che nasce dai numeri”.
Dal tempo di Platone, l’armonia era considerata una branca fondamentale della fisica, ora nota come acustica musicale. I primi teorici indiani e cinesi mostrano approcci simili: tutti hanno cercato di dimostrare che le leggi matematiche degli armonici e dei ritmi erano fondamentali non solo per la nostra comprensione del mondo ma anche per il benessere umano. Confucio, come Pitagora, considerava i piccoli numeri 1,2,3,4 come la fonte di ogni perfezione.
Dal diciassettesimo secolo molti musicisti sono giunti alla prova di solide conoscenze matematiche (per esempio, Giuseppe Tartini ha dato prova in un trattato di musica secondo la vera scienza dell’armonia nel 1754 e così Iannis Xenakis in Musica formalizzato nel 1971, Pierre Boulez e Philip Laureati in vetro in matematica e sono stati ispirati dalla loro arte).
Senza i confini della struttura ritmica – una fondamentale disposizione regolare e regolare di ripetizione, accento, frase e durata dell’impulso – la musica non sarebbe possibile. L’uso musicale moderno di termini come metro e misura riflette anche l’importanza storica della musica, insieme all’astronomia, nello sviluppo del conteggio, dell’aritmetica e della misurazione esatta del tempo e della periodicità che è fondamentale per la fisica. [Citazione necessaria]
Gli elementi della forma musicale spesso costruiscono proporzioni rigorose o strutture ipermetriche (poteri dei numeri 2 e 3).
La forma musicale è il piano attraverso il quale viene esteso un breve brano musicale. Il termine “piano” è anche usato in architettura, a cui spesso viene confrontata la forma musicale. Come l’architetto, il compositore deve tener conto della funzione per la quale il lavoro è inteso e dei mezzi disponibili, praticando economia e facendo uso della ripetizione e dell’ordine. I tipi comuni di forma noti come binari e ternari (“duplice” e “triplice”) dimostrano ancora una volta l’importanza di piccoli valori integrali per l’intelligibilità e l’appeal della musica.
Il fenomeno del battito è quando vengono suonate due note di frequenza simili (ma non identiche). C’è poi l’impressione di sentire un suono di frequenza vicino a quelli dei primi due, la cui intensità oscilla comunque nel tempo lentamente come le frequenze dei primi due suoni erano vicine. Per questa ragione, i battiti sono usati per determinare se ci sono delle note in caduta o in aumento quando si sintonizza uno strumento.
La spiegazione di questo fenomeno risiede in parte nella natura fisica delle onde sonore e in parte nel modo in cui il nostro orecchio percepisce i suoni. Se focalizziamo la nostra attenzione sulla sovrapposizione di due toni puri (cioè che possono essere rappresentati da onde sinusoidali) e supponiamo, per semplicità,
Una scala musicale è un insieme discreto di passi usati per creare o descrivere la musica. La scala più importante nella tradizione occidentale è la scala diatonica, ma molti altri sono stati usati e proposti in varie epoche storiche e parti del mondo. Ogni passo corrisponde a una particolare frequenza, espressa in hertz (Hz), a volte indicata come cicli al secondo (c.p.s.). Una scala ha un intervallo di ripetizione, normalmente l’ottava. L’ottava di qualsiasi altezza si riferisce a una frequenza esattamente il doppio di quella del tono specificato.
Succedere a superoctavi sono altezze trovate a frequenze quattro, otto, sedici volte e così via, della frequenza fondamentale. I passi a frequenze di mezzo, un quarto, un ottavo e così via del fondamentale sono detti subottici. Non c’è caso nell’armonia musicale in cui, se un dato passo è considerato accordante, le sue ottave vengono considerate diversamente. Pertanto, qualsiasi nota e le sue ottave saranno generalmente identificate in modo simile nei sistemi musicali (ad esempio tutto sarà chiamato doh o A o Sa, a seconda dei casi).
Quando espresso come banda di frequenza un’ottava A2-A3 si estende da 110 Hz a 220 Hz (span = 110 Hz). L’ottava successiva sarà compresa tra 220 Hz e 440 Hz (span = 220 Hz). La terza ottava si estende da 440 Hz a 880 Hz (intervallo = 440 Hz) e così via. Ogni ottava successiva si estende su due volte la gamma di frequenze dell’ottava precedente.
Poiché siamo spesso interessati alle relazioni o ai rapporti tra le altezze (conosciute come intervalli) piuttosto che le stesse altezze stesse nel descrivere una scala, è usuale riferirsi a tutti i toni della scala in termini di rapporto tra una determinata altezza, che viene dato il valore di uno (spesso scritto 1/1), generalmente una nota che funge da tonico della scala. Per il confronto delle dimensioni dell’intervallo, vengono spesso usati centesimi.
Ci sono due famiglie principali di sistemi di sintonizzazione: temperamento equo e solo sintonizzazione. Le scale di temperamento equo sono costruite dividendo un’ottava in intervalli che sono uguali su una scala logaritmica, il che si traduce in scale perfettamente divise equamente, ma con rapporti di frequenze che sono numeri irrazionali. Solo le scale sono costruite moltiplicando le frequenze per numeri razionali, il che si traduce in rapporti semplici tra le frequenze, ma con divisioni di scala non uniformi.
Una delle principali differenze tra le accordature di temperamento equabile e le semplici accordature sono le differenze nel battito acustico quando due note vengono suonate insieme, il che influenza l’esperienza soggettiva di consonanza e dissonanza. Entrambi questi sistemi e la maggior parte della musica in generale hanno scale che si ripetono nell’intervallo di ogni ottava, che è definito come rapporto di frequenza di 2: 1. In altre parole, ogni volta che la frequenza viene raddoppiata, la scala indicata si ripete.
Di seguito sono elencati i file Ogg Vorbis che dimostrano la differenza tra l’intonazione e il temperamento equabile. Potrebbe essere necessario riprodurre i campioni più volte prima di poter scegliere la differenza.
Due onde sinusoidali suonate consecutivamente – questo campione ha un mezzo passo a 550 Hz (C♯ nella scala di intonazione giusta), seguito da un mezzo passo a 554,37 Hz (C♯ nella scala di temperamento equabile).
Stesse due note, impostate su un pedale A440: questo campione consiste in una “diade”. La nota inferiore è una costante A (440 Hz in entrambe le scale), la nota superiore è un C♯ nella scala di temperamento equabile per il primo 1 “, e un C♯ nella scala di intonazione giusta per l’ultimo 1”. Le differenze di fase semplificano la scelta della transizione rispetto al campione precedente.
L’accordatura a 5 limiti, la forma più comune di intonazione, è un sistema di sintonizzazione che usa toni che sono armoniche di numero regolari di una singola frequenza fondamentale. Questa era una delle scale che Johannes Kepler presentò nel suo Harmonices Mundi (1619) in connessione con il moto planetario. La stessa scala fu data in forma trasposta dal matematico scozzese e teorico musicale, Alexander Malcolm, nel 1721 nel suo “Trattato di musica: speculativa, pratica e storica”, e dal teorico Jose Wuerschmidt nel 20 ° secolo. Una forma di esso è usata nella musica del nord dell’India.
Anche il compositore americano Terry Riley ne fece uso nella sua “Arpa di New Albion”. Solo l’intonazione dà risultati superiori quando c’è poca o nessuna progressione di accordi: le voci e gli altri strumenti gravitano su una semplice intonazione quando possibile. Tuttavia, fornisce due diversi intervalli di tono (9: 8 e 10: 9) perché uno strumento accordato fisso, come un pianoforte, non può cambiare chiave. Per calcolare la frequenza di una nota in una scala data in termini di rapporti, il rapporto di frequenza viene moltiplicato per la frequenza di tonica. Ad esempio, con un tonico di A4 (A naturale sopra la C centrale), la frequenza è di 440 Hz e una quinta appena sintonizzata sopra di essa (E5) è semplicemente 440 × (3: 2) = 660 Hz.
La sintonizzazione pitagorica è accordatura basata solo sulle consonanze perfette, l’ottava (perfetta), la quinta perfetta e la quarta perfetta. Quindi il terzo maggiore è considerato non un terzo, ma un ditone, letteralmente “due toni”, ed è (9: 8) 2 = 81:64, piuttosto che l’indipendente e armonico appena 5: 4 = 80:64 direttamente sotto. Un tono intero è un intervallo secondario, derivato da due quinte perfette, (3: 2) 2 = 9: 8.
Il terzo maggiore, 5: 4 e il terzo minore, 6: 5, sono una virgola sintonica, 81:80, a parte i loro equivalenti pitagorici 81:64 e 32:27 rispettivamente. Secondo Carl Dahlhaus (1990, p 187), “il terzo dipendente si conforma al Pitagorico, il terzo indipendente all’armonica accordatura degli intervalli”.
La musica di pratica comune occidentale di solito non può essere suonata solo con intonazione, ma richiede una scala sistematicamente temperata. Il temperamento può comportare le irregolarità del temperamento o essere costruito come un temperamento regolare, o una qualche forma di temperamento equabile o qualche altro significato comune, ma in tutti i casi coinvolgerà le caratteristiche fondamentali del temperamento dei significati. Ad esempio, la radice di chord ii, se sintonizzata su una quinta sopra il dominante, sarebbe un tono intero maggiore (9: 8) sopra il tonico. Se accordato un terzo minore (6: 5) al di sotto di un grado appena sottodominante di 4: 3, tuttavia, l’intervallo dal tonico equivarrebbe a un tono intero minore (10: 9). Il temperamento dei toni medi riduce la differenza tra 9: 8 e 10: 9. Il loro rapporto, (9: 8) / (10: 9) = 81:80, viene trattato come un unisono. L’intervallo 81:80, chiamato la virgola o la virgola sintattica di Didimo, è la virgola chiave del temperamento significato.
In temperamento equabile, l’ottava è divisa in parti uguali sulla scala logaritmica. Mentre è possibile costruire una scala di temperamento equabile con un numero qualsiasi di note (ad esempio, il sistema di tono arabo a 24 toni), il numero più comune è 12, che costituisce la scala cromatica di temperamento equabile. Nella musica occidentale, si assume comunemente una divisione in dodici intervalli, a meno che non sia specificato diversamente.
Per la scala cromatica, l’ottava è divisa in dodici parti uguali, ogni semitono (mezzo passo) è un intervallo della dodicesima radice di due in modo che dodici di questi pari mezzi passi si sommano esattamente ad un’ottava. Con gli strumenti a cerchio è molto utile usare un temperamento equabile in modo che i tasti si allineano uniformemente sulle corde. Nella tradizione musicale europea, il temperamento equo è stato usato molto prima per musica per liuto e chitarra piuttosto che per altri strumenti, come le tastiere musicali. A causa di questa forza storica, il temperamento equabile a dodici toni è ora il sistema di intonazione dominante nel mondo occidentale e in gran parte non occidentale.
Sono state utilizzate bilance ugualmente temperate e strumenti costruiti utilizzando vari altri numeri di intervalli uguali. Il 19 temperamento equabile, proposto e utilizzato per la prima volta da Guillaume Costeley nel XVI secolo, utilizza 19 toni equidistanti, offrendo migliori terzi maggiori e terzi minori di gran lunga migliori del normale temperamento uguale a 12 semitoni al costo di un quinto più piatto. L’effetto complessivo è di maggiore consonanza. 24 temperamento equabile, con 24 toni equamente distanziati, è molto diffuso nella pedagogia e nella notazione della musica araba. Tuttavia, in teoria e in pratica, l’intonazione della musica araba è conforme ai rapporti razionali, in contrapposizione ai rapporti irrazionali di sistemi ugualmente temperati.
Mentre qualsiasi analogico al quarto tono ugualmente temperato è del tutto assente dai sistemi di intonazione araba, spesso si verificano analoghi a un tono di tre quarti o di un secondo neutro. Questi secondi neutrali, tuttavia, variano leggermente nei loro rapporti dipendenti dal maqam, così come dalla geografia. Infatti, lo storico della musica araba Habib Hassan Touma ha scritto che “l’ampiezza della deviazione di questo passo musicale è un ingrediente cruciale nel sapore peculiare della musica araba: temperare la scala dividendo l’ottava in ventiquattro quarti di tono uguale sarebbe di cedere uno degli elementi più caratteristici di questa cultura musicale “.
Il grafico seguente mostra con quanta accuratezza le varie scale di uguale intensità si approssimano a tre importanti identità armoniche: la terza maggiore (quinta armonica), la quinta perfetta (terza armonica) e la “settima armonica” (7a armonica). [Nota: i numeri sopra le barre designano la scala di temperamento equabile (vale a dire, “12” indica la scala temperata di 12 toni, ecc.)]
Il problema dell’intonazione, come detto sopra, deriva dalla necessità di essere in grado di accordare strumenti a corda come il pianoforte o le corde in modo che possano suonare in diverse tonalità. Nessuno dei due metodi finora risolve questo problema con accuratezza, come si può vedere dalla seguente procedura.
Un modo per mettere a punto uno strumento di accordatura fisso è preservare la quinta gamma da una corda di base. In questo modo viene accordato seguendo il cosiddetto ciclo di loop: Do, Sol, King, La, Me, Si, Do, Do, Solò, Reè, La, Fa (o Miè), Do sette ottave ritorna alla fondamentale Nota. È facile vedere che nessuno dei metodi qui esaminati può far coincidere il Do8 con quello ottenuto dal ciclo di loop: infatti, sia per il temperamento naturale che per quello di Pitagora, le frequenze di ottava sono multiple di potenze di due, mentre nel ciclo del ciclo le frequenze sono multiple di poteri di 3/2: nessuna potenza di due è anche una potenza di 3/2. Questo argomento si applica anche ad altre relazioni considerate.
Si vede quindi che un accordatore che vuole accordare uno strumento cercando di preservare tutti i range giusti (terzo, quarto, quinto) si troverà ad affrontare un problema insolubile e dovrebbe comunque cercare un compromesso: questo è ciò che equivale al temperamento.
La teoria degli insiemi musicali usa il linguaggio della teoria degli insiemi matematici in modo elementare per organizzare gli oggetti musicali e descrivere le loro relazioni. Per analizzare la struttura di un brano musicale (tipicamente atonale) usando la teoria degli insiemi musicali, uno di solito inizia con una serie di toni, che potrebbero formare motivazioni o accordi. Applicando semplici operazioni come la trasposizione e l’inversione, è possibile scoprire strutture profonde nella musica. Operazioni quali la trasposizione e l’inversione sono chiamate isometrie perché conservano gli intervalli tra i toni di un set.
Espandendo i metodi della teoria degli insiemi musicali, alcuni teorici hanno usato l’algebra astratta per analizzare la musica. Ad esempio, le classi di intonazione in un’ottava ugualmente temperata formano un gruppo abeliano con 12 elementi. È possibile descrivere solo l’intonazione in termini di un gruppo abeliano libero.
La teoria trasformazionale è una branca della teoria musicale sviluppata da David Lewin. La teoria consente una grande generalità perché enfatizza le trasformazioni tra oggetti musicali, piuttosto che gli oggetti musicali stessi.
I teorici hanno anche proposto applicazioni musicali di concetti algebrici più sofisticati. La teoria dei temperamenti regolari è stata ampiamente sviluppata con un’ampia gamma di sofisticate matematiche, ad esempio associando ciascun temperamento regolare a un punto razionale su un Grassmanniano.
Sono state utilizzate anche analisi reali e complesse, ad esempio applicando la teoria della funzione zeta di Riemann allo studio di divisioni uguali dell’ottava.
Lo sviluppo della matematica musicale contemporanea (dall’analisi alla composizione, al gesto nell’interpretazione musicale) è dovuto principalmente al contributo del matematico e musicista Guerino Mazzola, professore negli Stati Uniti presso l’Università del Minnesota.
L’SMCM, Società per la matematica e l’informatica in musica, organizza conferenze biennali sui risultati della ricerca matematica e musicale.