Matematica e architettura sono correlate, poiché, come per altre arti, gli architetti usano la matematica per diversi motivi. Oltre alla matematica necessaria per l’ingegneria degli edifici, gli architetti usano la geometria: per definire la forma spaziale di un edificio; dai Pitagorici del VI secolo aC in poi, per creare forme considerate armoniose, e quindi per stendere gli edifici e l’ambiente circostante secondo principi matematici, estetici e talvolta religiosi; decorare edifici con oggetti matematici come le tassellature; e per raggiungere gli obiettivi ambientali, in modo da ridurre al minimo la velocità del vento attorno alle basi di edifici alti.

Nell’antico Egitto, nell’antica Grecia, in India e nel mondo islamico, edifici, tra cui piramidi, templi, moschee, palazzi e mausolei, erano disposti con proporzioni specifiche per motivi religiosi. Nell’architettura islamica, forme geometriche e motivi geometrici di piastrelle sono usati per decorare edifici, sia all’interno che all’esterno. Alcuni templi indù hanno una struttura simile a un frattale in cui le parti assomigliano al tutto, trasmettendo un messaggio sull’infinito nella cosmologia indù. Nell’architettura cinese, i tulou della provincia del Fujian sono strutture difensive circolari e comunali. Nel ventunesimo secolo, gli ornamenti matematici vengono nuovamente usati per coprire gli edifici pubblici.

Nell’architettura rinascimentale, simmetria e proporzione furono volutamente enfatizzate da architetti come Leon Battista Alberti, Sebastiano Serlio e Andrea Palladio, influenzati dal De architectura di Vitruvio dall’antica Roma e dall’aritmetica dei Pitagorici dell’antica Grecia. Alla fine del diciannovesimo secolo, Vladimir Shukhov in Russia e Antoni Gaudí a Barcellona aprirono la strada all’uso di strutture iperboloidi; nella Sagrada Familia, Gaudí incorpora anche paraboloidi iperbolici, tassellature, arcate di catenarie, catenidi, elicoidi e superfici rigate. Nel ventesimo secolo, stili come l’architettura moderna e il decostruttivismo esplorarono diverse geometrie per ottenere gli effetti desiderati. Superfici minimali sono state sfruttate in coperture da tetto a forma di tenda come all’Aeroporto Internazionale di Denver, mentre Richard Buckminster Fuller è stato pioniere nell’uso delle forti strutture a guscio sottile note come cupole geodetiche.

Gli architetti Michael Ostwald e Kim Williams, considerando le relazioni tra architettura e matematica, osservano che i campi così comunemente compresi potrebbero sembrare solo debolmente connessi, dal momento che l’architettura è una professione interessata alla questione pratica della costruzione di edifici, mentre la matematica è la pura studio del numero e di altri oggetti astratti. Ma, sostengono, i due sono fortemente connessi e sono stati sin dall’antichità. Nell’Antica Roma, Vitruvio descriveva un architetto come un uomo che conosceva abbastanza di una serie di altre discipline, principalmente la geometria, per permettergli di sorvegliare abili artigiani in tutte le altre aree necessarie, come muratori e falegnami. Lo stesso valeva nel Medioevo, dove i laureati imparavano l’aritmetica, la geometria e l’estetica insieme al programma base di grammatica, logica e retorica (il trivio) in eleganti sale fatte da maestri costruttori che avevano guidato molti artigiani. Un capomastro al vertice della sua professione ottenne il titolo di architetto o ingegnere. Nel Rinascimento, il quadrivio dell’aritmetica, della geometria, della musica e dell’astronomia è diventato un programma aggiuntivo previsto per l’uomo del Rinascimento come Leon Battista Alberti. Allo stesso modo in Inghilterra, Sir Christopher Wren, conosciuto oggi come architetto, fu per la prima volta un noto astronomo.

Williams e Ostwald, che approfondiscono l’interazione tra matematica e architettura dal 1500 secondo l’approccio del sociologo tedesco Theodor Adorno, identificano tre tendenze tra gli architetti, vale a dire: essere rivoluzionari, introdurre idee completamente nuove; reazionario, non riuscendo a introdurre il cambiamento; o revivalista, in realtà andando indietro. Sostengono che gli architetti hanno evitato di guardare alla matematica per ispirarsi nei tempi della rinascita. Questo spiegherebbe perché nei periodi revivalisti, come il Gothic Revival nell’Inghilterra del 19 ° secolo, l’architettura avesse pochi collegamenti con la matematica. Allo stesso modo, notano che in tempi reazionari come il manierismo italiano del 1520-1580 circa, i movimenti barocchi e palladiani del XVII secolo, la matematica veniva a malapena consultata. Al contrario, i movimenti rivoluzionari dell’inizio del XX secolo come il futurismo e il costruttivismo respinsero attivamente le vecchie idee, abbracciando la matematica e conducendo all’architettura modernista. Verso la fine del 20 ° secolo, anche la geometria frattale fu rapidamente sfruttata dagli architetti, come le piastrelle aperiodiche, per fornire coperture interessanti e attraenti per gli edifici.

Gli architetti usano la matematica per diversi motivi, lasciando da parte l’uso necessario della matematica nell’ingegneria degli edifici. In primo luogo, usano la geometria perché definisce la forma spaziale di un edificio. In secondo luogo, usano la matematica per progettare forme considerate belle o armoniose. Dal tempo dei Pitagorici con la loro filosofia religiosa del numero, architetti nell’antica Grecia, nell’antica Roma, nel mondo islamico e nel Rinascimento italiano hanno scelto le proporzioni dell’ambiente costruito – gli edifici e il loro ambiente progettato – secondo la matematica e l’estetica e a volte principi religiosi. Terzo, possono usare oggetti matematici come tassellazioni per decorare edifici. In quarto luogo, possono utilizzare la matematica sotto forma di modellizzazione al computer per raggiungere gli obiettivi ambientali, in modo da ridurre al minimo le correnti d’aria vorticose alla base di edifici alti.

Vitruvio:
L’influente architetto romano antico Vitruvio sostenne che la progettazione di un edificio come un tempio dipende da due qualità, proporzione e simmetria. La proporzione garantisce che ogni parte di un edificio si colleghi armoniosamente a ogni altra parte. La simmetria nell’uso di Vitruvio significa qualcosa di più vicino al termine inglese modularità rispetto alla simmetria speculare, come ancora una volta riguarda l’assemblaggio di parti (modulari) nell’intero edificio. Nella sua Basilica di Fano utilizza rapporti di piccoli numeri interi, in particolare i numeri triangolari (1, 3, 6, 10, …) per proporzionare la struttura in moduli (vitruviani). Così la larghezza della Basilica è di 1: 2; il corridoio attorno ad esso è alto quanto largo, 1: 1; le colonne sono spesse cinque piedi e alte cinquanta piedi, 1:10.

Vitruvio chiamò tre qualità richieste dell’architettura nel suo De architectura, c. 15 B.C .: fermezza, utilità (o “Commodity” nell’inglese di Henry Wotton del XVI secolo), e delizia. Questi possono essere usati come categorie per classificare i modi in cui la matematica è usata in architettura. La fermezza comprende l’uso della matematica per assicurare che un edificio si regga in piedi, da qui gli strumenti matematici utilizzati nella progettazione e per supportare la costruzione, ad esempio per garantire stabilità e modellare le prestazioni. L’utilità deriva in parte dall’efficace applicazione della matematica, dal ragionamento e dall’analisi delle relazioni spaziali e di altre relazioni in un progetto. Delight è un attributo dell’edificio risultante, derivante dall’incarnazione di relazioni matematiche nell’edificio; include qualità estetiche, sensuali e intellettuali.

Il Pantheon:
Il Pantheon a Roma è sopravvissuto intatto, illustrando la struttura classica romana, le proporzioni e la decorazione. La struttura principale è una cupola, l’apice lasciato aperto come un occhio circolare per far entrare la luce; è preceduto da un breve colonnato con un frontone triangolare. L’altezza dell’occhio e il diametro del cerchio interno sono uguali, 43,3 metri (142 piedi), quindi l’intero interno si adatterebbe esattamente all’interno di un cubo e l’interno potrebbe ospitare una sfera dello stesso diametro. Queste dimensioni hanno più senso quando espresse nelle unità di misura dell’antica Roma: la cupola si estende su 150 piedi romani); l’occhio ha 30 piedi di diametro romano; la porta è alta 40 piedi romani. Il Pantheon rimane la più grande cupola in cemento armato non armato del mondo.

Il primo trattato rinascimentale sull’architettura fu il 1450 De re aedificatoria di Leon Battista Alberti (On the Art of Building); divenne il primo libro stampato sull’architettura nel 1485. In parte era basato sul De architectura di Vitruvio e, tramite Nicomaco, sull’aritmetica pitagorica. Alberti inizia con un cubo e ne ricava dei rapporti. Quindi la diagonale di una faccia dà il rapporto 1: √2, mentre il diametro della sfera che circoscrive il cubo dà 1: √3. Alberti ha anche documentato la scoperta lineare di Filippo Brunelleschi, sviluppata per consentire la progettazione di edifici che sarebbero ben proporzionati se visti da una distanza conveniente.

Il testo successivo seguente era Regole generali d’architettura di Sebastiano Serlio; il primo volume apparve a Venezia nel 1537; il volume del 1545 (libri 1 e 2) copriva la geometria e la prospettiva. Due dei metodi di Serlio per costruire prospettive erano sbagliati, ma ciò non impediva che il suo lavoro fosse ampiamente utilizzato.

Nel 1570, Andrea Palladio pubblicò l’influente I quattro libri dell’architettura a Venezia. Questo libro ampiamente stampato era largamente responsabile della diffusione delle idee del Rinascimento italiano in tutta Europa, coadiuvato da sostenitori come il diplomatico inglese Henry Wotton con il suo 1624 The Elements of Architecture. Le proporzioni di ogni stanza all’interno della villa erano calcolate su semplici rapporti matematici come 3: 4 e 4: 5, e le diverse stanze all’interno della casa erano collegate da questi rapporti. Gli architetti precedenti avevano usato queste formule per bilanciare una singola facciata simmetrica; tuttavia, i progetti di Palladio si riferivano all’intera, solitamente quadrata, villa. Palladio ha permesso una serie di rapporti nei Quattro libri, affermando:

Ci sono sette tipi di stanze che sono le più belle e ben proporzionate e risultano migliori: possono essere rese circolari, sebbene queste siano rare; o quadrato; o la loro lunghezza sarà uguale alla diagonale del quadrato della larghezza; o un quadrato e un terzo; o un quadrato e mezzo; o un quadrato e due terzi; o due quadrati.

Nel 1615, Vincenzo Scamozzi pubblicò il tardo trattato rinascimentale L’Idea dell’Architettura Universale (L’idea di un’architettura universale). Tentò di collegare il progetto di città ed edifici alle idee di Vitruvio e dei Pitagorici e alle idee più recenti del Palladio.

XIX secolo:
Le strutture iperboloidi furono utilizzate a partire verso la fine del XIX secolo da Vladimir Shukhov per alberi, fari e torri di raffreddamento. La loro straordinaria forma è esteticamente interessante e forte, utilizzando economicamente materiali strutturali. La prima torre iperboloidale di Shukhov fu esposta a Nizhny Novgorod nel 1896.

XX secolo:
Il movimento del primo Novecento L’architettura moderna, pioniere del costruttivismo russo, utilizzava la geometria rettilinea euclidea (detta anche cartesiana). Nel movimento De Stijl, l’orizzontale e il verticale erano visti come costituenti l’universale. La forma architettonica consiste nel mettere insieme queste due tendenze direzionali, usando i piani del tetto, i piani delle pareti e i balconi, che scivolano o si intersecano tra loro, come nella Rietveld Schröder House del 1924 di Gerrit Rietveld.

Gli architetti modernisti erano liberi di utilizzare le curve e gli aerei. La stazione Arnos di Charles Holden del 1933 ha una biglietteria circolare in mattoni con un tetto in cemento. Nel 1938, il pittore Bauhaus Laszlo Moholy-Nagy adottò i sette elementi biotecnici di Raoul Heinrich Francé, vale a dire il cristallo, la sfera, il cono, il piano, la striscia (cubica), l’asta (cilindrica) e la spirale, come blocchi elementari di architettura ispirati alla natura.

Le Corbusier propose una scala antropometrica delle proporzioni in architettura, il Modulor, basato sulla presunta altezza di un uomo. La Chapelle Notre Dame du Haut del 1955 di Le Corbusier utilizza curve a forma libera non descrivibili in formule matematiche. Si dice che le forme siano evocative di forme naturali come la prua di una nave o le mani in preghiera. Il design è solo alla scala più grande: non c’è gerarchia di dettagli a scale più piccole, e quindi nessuna dimensione frattale; lo stesso vale per altri famosi edifici del XX secolo come la Sydney Opera House, l’aeroporto internazionale di Denver e il Guggenheim Museum di Bilbao.

L’architettura contemporanea, secondo i 90 principali architetti che hanno risposto a una World Architecture Survey del 2010, è estremamente diversificata; il migliore è stato giudicato il Guggenheim Museum di Frank Gehry, a Bilbao.

L’edificio del terminal dell’aeroporto internazionale di Denver, completato nel 1995, ha un tetto in tessuto supportato come una superficie minima (vale a dire, la sua curvatura media è zero) da cavi di acciaio. Evoca le montagne innevate del Colorado e le tende da teepee dei nativi americani.

L’architetto Richard Buckminster Fuller è famoso per la progettazione di strutture a guscio sottile note come cupole geodetiche. La cupola di Montréal Biosphère è alta 61 metri (200 piedi); il suo diametro è di 76 metri (249 piedi).

La Sydney Opera House ha un tetto spettacolare costituito da volte bianche che svettano, che ricordano le vele della nave; per rendere possibile la loro costruzione utilizzando componenti standardizzati, i caveau sono tutti composti da sezioni triangolari di gusci sferici con lo stesso raggio. Questi hanno la necessaria curvatura uniforme in ogni direzione.

Il movimento del decostruttivismo del tardo XX secolo crea deliberatamente disordine con quello che Nikos Salingaros in A Theory of Architecture chiama forme casuali di alta complessità utilizzando pareti non parallele, griglie sovrapposte e superfici bidimensionali complesse, come nella Disney Concert Hall di Frank Gehry e nel Museo Guggenheim , Bilbao. Fino al XX secolo, gli studenti di architettura erano obbligati ad avere un fondamento in matematica. Salingaros sostiene che il primo decostruttivismo “eccessivamente semplicistico, politicamente guidato” e poi “anti-scientifico” ha effettivamente separato l’architettura dalla matematica. Crede che questo “capovolgimento dei valori matematici” sia dannoso, poiché “l’estetica pervasiva” dell’architettura non matematica allena le persone “a rifiutare le informazioni matematiche nell’ambiente costruito”; sostiene che ciò ha effetti negativi sulla società.

Antico Egitto:
Le piramidi dell’Antico Egitto sono tombe costruite con proporzioni deliberatamente scelte, ma di cui queste erano state discusse. L’angolo della faccia è di circa 51 ° 85 ‘e il rapporto tra l’altezza inclinata e la metà della lunghezza della base è 1.619, inferiore all’1% rispetto alla sezione aurea. Se questo fosse il metodo di progettazione, implicherebbe l’uso del triangolo di Keplero (angolo di faccia 51 ° 49 ‘). Tuttavia è più probabile che la pendenza delle piramidi sia stata scelta dal triangolo 3-4-5 (angolo di faccia 53 ° 8 ‘), noto dal Papiro matematico Rhind (1650 – 1550 aC circa); o dal triangolo con base al rapporto ipotenusa 1: 4 / π (angolo di faccia 51 ° 50 ‘).

Il possibile uso del triangolo 3-4-5 per tracciare angoli retti, come per il piano terra di una piramide, e la conoscenza del teorema di Pitagora che ciò implicherebbe, è stato molto affermato. Fu inizialmente ipotizzato dallo storico Moritz Cantor nel 1882. È noto che gli angoli retti erano disposti con precisione nell’antico Egitto; che i loro topografi usavano corde annodate per la misurazione; che Plutarco registrò in Iside e Osiride (intorno al 100 dC) che gli egiziani ammiravano il triangolo 3-4-5; e che il papiro di Berlino 6619 del Regno di Mezzo (prima del 1700 aC) affermava che “l’area di un quadrato di 100 è uguale a quella di due quadrati più piccoli: il lato di uno è ½ + ¼ il lato dell’altro”. Lo storico della matematica Roger L. Cooke osserva che “è difficile immaginare che qualcuno sia interessato a tali condizioni senza conoscere il teorema di Pitagora”. Contro questo, Cooke nota che nessun testo egiziano prima del 300 aC menziona effettivamente l’uso del teorema per trovare la lunghezza dei lati di un triangolo e che esistono modi più semplici per costruire un angolo retto. Cooke conclude che la congettura di Cantor rimane incerta: suppone che gli antichi egizi probabilmente conoscessero il teorema di Pitagora, ma che “non ci sono prove che lo usassero per costruire angoli retti”.

Antica India:
Vaastu Shastra, gli antichi canoni indiani dell’architettura e dell’urbanistica, impiega disegni simmetrici chiamati mandala. I calcoli complessi vengono utilizzati per raggiungere le dimensioni di un edificio e dei suoi componenti. I progetti hanno lo scopo di integrare l’architettura con la natura, le funzioni relative di varie parti della struttura e le antiche credenze utilizzando schemi geometrici (yantra), simmetria e allineamenti direzionali. Tuttavia, i primi costruttori potrebbero aver preso proporzioni matematiche per caso. Il matematico Georges Ifrah nota che semplici “trucchi” con corda e picchetti possono essere usati per disporre forme geometriche, come ellissi e angoli retti.

La matematica dei frattali è stata utilizzata per dimostrare che la ragione per cui gli edifici esistenti hanno un appeal universale e sono visivamente soddisfacenti è perché forniscono allo spettatore un senso di scala a diverse distanze di visione. Ad esempio, nelle alte gatehouse gopuram dei templi indù come il Tempio Virupaksha di Hampi costruito nel settimo secolo, e altri come il Tempio Kandariya Mahadev a Khajuraho, le parti e il tutto hanno lo stesso carattere, con la dimensione frattale nel intervallo da 1,7 a 1,8. Il gruppo di torri più piccole (shikhara, “montagna” illuminata) sulla torre più alta, centrale, che rappresenta il santo Monte Kailash, dimora di Lord Shiva, raffigura l’infinita ripetizione degli universi nella cosmologia indù. Lo studioso di studi religiosi William J. Jackson osservò il modello di torri raggruppate in torri più piccole, raggruppate tra torri ancora più piccole, che:

La forma ideale elaborata con grazia suggerisce gli infiniti livelli in ascesa dell’esistenza e della coscienza, espandendo le dimensioni che salgono verso la trascendenza al di sopra e allo stesso tempo ospitano il sacro interiore.

Il Tempio di Meenakshi Amman è un grande complesso con più santuari, con le strade di Madurai disposte concentricamente attorno ad esso secondo gli shastra. Le quattro porte sono alte torri (gopuram) con struttura ripetitiva simile a frattali come a Hampi. I recinti attorno a ciascun santuario sono rettangolari e circondati da alte mura di pietra.

Grecia antica:
Pitagora (569 circa – 475 a.C.) e i suoi seguaci, i Pitagorici, sostenevano che “tutte le cose sono numeri”. Hanno osservato le armonie prodotte da note con specifici rapporti di piccolo-intero di frequenza e hanno sostenuto che anche gli edifici dovrebbero essere progettati con tali rapporti. La parola greca simmetria originariamente denotava l’armonia delle forme architettoniche in rapporti precisi dai più piccoli dettagli di un edificio fino al suo intero design.

Il Partenone è lungo 69,5 metri (228 piedi), largo 30,9 metri (101 piedi) e alto 13,7 metri (45 piedi) rispetto al cornicione. Questo dà un rapporto tra larghezza e lunghezza di 4: 9, e lo stesso per altezza in larghezza. Mettendo insieme questi dà altezza: larghezza: lunghezza di 16:36:81, o per la gioia dei Pitagorici 42:62:92. Questo imposta il modulo come 0,858 m. Un rettangolo 4: 9 può essere costruito come tre rettangoli contigui con i lati nel rapporto 3: 4. Ogni mezzo rettangolo è quindi un comodo triangolo 3: 4: 5, che consente di controllare angoli e lati con una corda opportunamente annodata. Allo stesso modo l’area interna (naos) ha proporzioni 4: 9 (21,44 metri (70,3 piedi) di larghezza per 48,3 m di lunghezza); il rapporto tra il diametro delle colonne esterne, 1.905 metri (6.25 ft) e la spaziatura dei loro centri, 4.293 metri (14.08 ft), è anche 4: 9.

Il Partenone è considerato da autori come John Julius Norwich “il tempio dorico più perfetto mai costruito”. Le elaborate raffinatezze architettoniche includono “una sottile corrispondenza tra la curvatura dello stilobate, il cono delle pareti del naos e l’entasia delle colonne”. Entasi si riferisce alla sottile diminuzione del diametro delle colonne mentre si alzano. Lo stilobate è la piattaforma su cui poggiano le colonne. Come in altri classici templi greci, la piattaforma ha una leggera curvatura verso l’alto parabolica per gettare acqua piovana e rinforzare l’edificio contro i terremoti. Le colonne potrebbero quindi essere inclinate verso l’esterno, ma in realtà si inclinano leggermente verso l’interno in modo che se continuassero, si incontrerebbero a circa un miglio sopra il centro dell’edificio; poiché sono tutti della stessa altezza, la curvatura del bordo degli stilobati viene trasmessa all’architrave e al tetto sovrastante: “tutti seguono la regola di essere costruiti su curve delicate”.

Il rapporto aureo era noto nel 300 a.C., quando Euclide descriveva il metodo della costruzione geometrica. È stato sostenuto che il rapporto aureo era usato nella progettazione del Partenone e di altri edifici dell’antica Grecia, così come sculture, dipinti e vasi. Autori più recenti come Nikos Salingaros, tuttavia, dubitano di tutte queste affermazioni. Gli esperimenti dello scienziato informatico George Markowsky non sono riusciti a trovare alcuna preferenza per il rettangolo dorato.

Architettura islamica:
Lo storico dell’arte islamica Antonio Fernandez-Puertas suggerisce che l’Alhambra, come la Grande Moschea di Cordoba, sia stata progettata usando il piede o codo ispano-musulmano di circa 0,62 metri (2,0 piedi). Nella Corte dei Leoni del palazzo, le proporzioni seguono una serie di surds. Un rettangolo con i lati 1 e √2 ha (per il teorema di Pitagora) una diagonale di √3, che descrive il triangolo rettangolo formato dai lati del campo; la serie continua con √4 (dando un rapporto 1: 2), √5 e così via. I motivi decorativi sono proporzionati in modo simile, √2 generano quadrati all’interno di cerchi e stelle a otto punte, √3 generano stelle a sei punte. Non ci sono prove a sostegno di precedenti affermazioni secondo cui la sezione aurea sarebbe stata utilizzata nell’Alhambra. La Corte dei Leoni è sostenuta dalla Sala delle Due Sorelle e dalla Sala degli Abencerrajes; un esagono regolare può essere estratto dai centri di queste due sale e dai quattro angoli interni della Corte dei Leoni.

La Moschea Selimiye di Edirne, in Turchia, fu costruita da Mimar Sinan per fornire uno spazio dove il mihrab potesse essere visto da qualsiasi punto all’interno dell’edificio. Lo spazio centrale molto grande è di conseguenza organizzato come un ottagono, formato da 8 enormi pilastri, e ricoperto da una cupola circolare di 31,25 metri (102,5 piedi) di diametro e 43 metri (141 piedi) di altezza. L’ottagono è formato in un quadrato con quattro semidomi, ed esternamente da quattro minareti eccezionalmente alti, alti 83 metri (272 piedi). Il piano dell’edificio è quindi un cerchio all’interno di un ottagono all’interno di un quadrato.

Architettura Mughal:
L’architettura moghul, vista nella città imperiale abbandonata di Fatehpur Sikri e nel complesso del Taj Mahal, ha un peculiare ordine matematico e una forte estetica basata sulla simmetria e l’armonia.

Il Taj Mahal esemplifica l’architettura di Mughal, che rappresenta il paradiso e mostra il potere dell’imperatore Mughal Shah Jahan attraverso la sua scala, la simmetria e le costose decorazioni. Il mausoleo in marmo bianco, decorato con pietra dura, la grande porta (Darwaza-i rauza), altri edifici, i giardini e le strade insieme formano un design gerarchico unificato. Gli edifici includono una moschea in arenaria rossa a ovest e un edificio quasi identico, la Jawab o “risposta” a est per mantenere la simmetria bilaterale del complesso. Il charbagh formale (‘quadruplice giardino’) è in quattro parti, che simboleggia i quattro fiumi del paradiso, e offre viste e riflessioni del mausoleo. Questi sono divisi a turno in 16 parterres.

Il complesso del Taj Mahal era disposto su una griglia, suddivisa in griglie più piccole. Gli storici dell’architettura Koch e Barraud concordano con i resoconti tradizionali che danno la larghezza del complesso come 374 cantieri Mughal o gaz, l’area principale essendo tre quadrati da 374-gaz. Questi erano divisi in aree come il bazar e il caravanserraglio in moduli da 17 gaz; il giardino e le terrazze sono in moduli di 23 gaz e sono larghe 368 gaz (16 x 23). Il mausoleo, la moschea e la guest house sono disposti su una griglia di 7 gaz. Koch e Barraud osservano che se un ottagono, usato ripetutamente nel complesso, ha lati di 7 unità, allora ha una larghezza di 17 unità, il che può aiutare a spiegare la scelta dei rapporti nel complesso.

Architettura cristiana:
La basilica patriarcale cristiana di Haghia Sophia a Bisanzio (ora Istanbul), costruita per la prima volta nel 537 (e ricostruita due volte), fu per mille anni la più grande cattedrale mai costruita. Ha ispirato molti edifici successivi, tra cui Sultan Ahmed e altre moschee della città. L’architettura bizantina comprende una navata coronata da una cupola circolare e da due mezze cupole, tutte dello stesso diametro (31 metri (102 piedi)), con ulteriori cinque semipeste più piccole che formano un’abside e quattro angoli arrotondati di un vasto rettangolo interno. Questo è stato interpretato da architetti medievali che rappresentano il banale sottostante (la base quadrata) e il divino cielo sopra (la cupola sferica svettante). L’imperatore Giustiniano usò come geometri due geometri, Isidoro di Mileto e Antemio di Tralles; Isidoro compilò le opere di Archimede su una solida geometria, e fu influenzato da lui.

L’importanza del battesimo in acqua nel cristianesimo si rifletteva nella scala dell’architettura battesimale. Il più antico, il Battistero Lateranense a Roma, costruito nel 440, stabilì una tendenza per battistrada ottagonale; il fonte battesimale all’interno di questi edifici era spesso ottagonale, anche se il più grande battistero italiano, a Pisa, costruito tra il 1152 e il 1363, è circolare, con un carattere ottagonale. È alto 54,86 metri (180,0 piedi), con un diametro di 34,13 metri (112,0 piedi) (un rapporto di 8: 5). Sant’Ambrogio scrisse che i caratteri e i battisteri erano ottagonali “perché l’ottavo giorno, crescendo, Cristo scioglie la schiavitù della morte e riceve i morti dalle loro tombe”. Allo stesso modo sant’Agostino ha descritto l’ottavo giorno come “eterno … consacrato dalla risurrezione di Cristo”. Il Battistero ottagonale di San Giovanni, a Firenze, costruito tra il 1059 e il 1128, è uno degli edifici più antichi di quella città e uno degli ultimi nella tradizione diretta dell’antichità classica; ebbe un ruolo estremamente influente nel successivo Rinascimento fiorentino, poiché i principali architetti, tra cui Francesco Talenti, Alberti e Brunelleschi, lo usarono come modello di architettura classica.

Il numero cinque viene usato “esuberante” nella chiesa di pellegrinaggio di San Giovanni Nepomuceno del 1721 a Zelená hora, vicino a Žďár nad Sázavou, nella Repubblica Ceca, progettata da Jan Blažej Santini Aichel. La navata centrale è circolare, circondata da cinque coppie di colonne e cinque cupole ovali alternate a absidi ogivali. La chiesa ha inoltre cinque porte, cinque cappelle, cinque altari e cinque stelle; una leggenda sostiene che quando san Giovanni Nepomuceno fu martirizzato, cinque stelle apparvero sulla sua testa. La quintupla architettura può anche simboleggiare le cinque ferite di Cristo e le cinque lettere di “Tacui” (in latino: “Ho tenuto il silenzio” [sui segreti del confessionale]).

Antoni Gaudí ha utilizzato una grande varietà di strutture geometriche, alcune delle quali minime, nella Sagrada Família di Barcellona, ​​iniziata nel 1882 (e non completata nel 2015). Questi includono paraboloidi iperbolici e iperboloidi di rivoluzione, tassellature, archi di catenaria, catenidi, elicoidi e superfici rigate. Questo variegato mix di geometrie è combinato creativamente in diversi modi attorno alla chiesa. Ad esempio, nella facciata della Passione della Sagrada Familia, Gaudí ha assemblato “rami” di pietra sotto forma di paraboloidi iperbolici, che si sovrappongono alle loro cime (direttrici) senza, quindi, incontrarsi in un punto. Al contrario, nel colonnato ci sono superfici paraboliche iperboliche che si uniscono facilmente ad altre strutture per formare superfici illimitate. Inoltre, Gaudí sfrutta modelli naturali, essi stessi matematici, con colonne derivate dalle forme degli alberi, e architravi realizzati in basalto non modificato, naturalmente incrinato (mediante raffreddamento dalla roccia fusa) in colonne esagonali.

La Cattedrale di Santa Maria Assunta del 1971, a San Francisco, ha un tetto a capanna composto da otto segmenti di paraboloidi iperbolici, disposti in modo tale che la sezione trasversale orizzontale inferiore del tetto sia quadrata e la sezione trasversale superiore sia una croce cristiana. L’edificio è un quadrato 77,7 metri (255 piedi) su un lato e 57,9 metri (190 piedi) di altezza. La Cattedrale di Brasilia del 1970 di Oscar Niemeyer fa un uso diverso di una struttura iperboloide; è costituito da 16 travi di cemento identiche, ognuna del peso di 90 tonnellate, disposte in un cerchio per formare un iperboloide di rivoluzione, i raggi bianchi che creano una forma simile a mani che pregano il cielo. Solo la cupola è visibile dall’esterno: la maggior parte dell’edificio è sotto terra.

Diverse chiese medievali in Scandinavia sono circolari, di cui quattro sull’isola danese di Bornholm. Uno dei più antichi di questi, Østerlars Church from c. 1160, ha una navata circolare attorno a una massiccia colonna circolare in pietra, traforata con archi e decorata da un affresco. La struttura circolare ha tre piani ed era apparentemente fortificata, l’ultimo piano era servito per la difesa.

Decorazione architettonica islamica:
Gli edifici islamici sono spesso decorati con motivi geometrici che tipicamente utilizzano diverse tessellazioni matematiche, formate da piastrelle di ceramica (girih, zellige) che possono essere semplici o decorate con strisce. Simmetrie come stelle con sei, otto o multipli di otto punti sono usate nei modelli islamici. Alcuni di questi sono basati sul ‘Khatem Sulemani’ o sul sigillo di Salomone, che è una stella a otto punte composta da due quadrati, uno ruotato di 45 gradi dall’altro sullo stesso centro. I modelli islamici sfruttano molti dei 17 possibili gruppi di sfondi; già nel 1944, Edith Müller dimostrò che l’Alhambra utilizzava 11 gruppi di carte da parati nelle sue decorazioni, mentre Branko Grünbaum nel 1986 sosteneva di aver trovato 13 gruppi di carte da parati nell’Alhambra, affermando controverso che i restanti 4 gruppi non si trovano da nessuna parte nell’Islam ornamento.

Decorazione architettonica moderna:
Verso la fine del 20 ° secolo, gli architetti hanno colto nuovi costrutti matematici come la geometria frattale e la piastrellatura aperiodica per fornire coperture interessanti e attraenti per gli edifici. Nel 1913, l’architetto modernista Adolf Loos aveva dichiarato che “Ornamento è un crimine”, influenzando il pensiero architettonico per il resto del 20 ° secolo. Nel 21 ° secolo, gli architetti stanno nuovamente iniziando a esplorare l’uso dell’ornamento. L’ornamento del XXI secolo è estremamente vario. Il Centro per concerti e conferenze Harpa di Henning Larsen nel 2011, Reykjavik ha quello che sembra una parete di roccia di cristallo fatta di grandi blocchi di vetro. Il Ravensbourne College 2010 di Foreign Office Architects, Londra, è decorato a mosaico con 28.000 piastrelle in alluminio anodizzato in rosso, bianco e marrone, con finestre circolari interconnesse di diverse dimensioni. La tassellatura utilizza tre tipi di tessere, un triangolo equilatero e due pentagoni irregolari. La Kanazawa Umimirai Library di Kazumi Kudo crea una griglia decorativa fatta di piccoli blocchi circolari di vetro incastonati in semplici muri di cemento.

Difesa dell’Europa:
The architecture of fortifications evolved from medieval fortresses, which had high masonry walls, to low, symmetrical star forts able to resist artillery bombardment between the mid-fifteenth and nineteenth centuries. The geometry of the star shapes was dictated by the need to avoid dead zones where attacking infantry could shelter from defensive fire; the sides of the projecting points were angled to permit such fire to sweep the ground, and to provide crossfire (from both sides) beyond each projecting point. Well-known architects who designed such defences include Michelangelo, Baldassare Peruzzi, Vincenzo Scamozzi and Sébastien Le Prestre de Vauban.

The architectural historian Siegfried Giedion argued that the star-shaped fortification had a formative influence on the patterning of the Renaissance ideal city: “The Renaissance was hypnotized by one city type which for a century and a half—from Filarete to Scamozzi—was impressed upon all utopian schemes: this is the star-shaped city.”

China Defence:
In Chinese architecture, the tulou of Fujian province are circular, communal defensive structures with mainly blank walls and a single iron-plated wooden door, some dating back to the sixteenth century. The walls are topped with roofs that slope gently both outwards and inwards, forming a ring. The centre of the circle is an open cobbled courtyard, often with a well, surrounded by timbered galleries up to five stories high.

Environmental goals:
Architects may also select the form of a building to meet environmental goals. For example, Foster and Partners’ 30 St Mary Axe, London, known as “The Gherkin” for its cucumber-like shape, is a solid of revolution designed using parametric modelling. Its geometry was chosen not purely for aesthetic reasons, but to minimise whirling air currents at its base. Despite the building’s apparently curved surface, all the panels of glass forming its skin are flat, except for the lens at the top. Most of the panels are quadrilaterals, as they can be cut from rectangular glass with less wastage than triangular panels.

The traditional yakhchal (ice pit) of Persia functioned as an evaporative cooler. Above ground, the structure had a domed shape, but had a subterranean storage space for ice and sometimes food as well. The subterranean space and the thick heat-resistant construction insulated the storage space year round. The internal space was often further cooled with windcatchers. The ice was available in the summer to make the frozen dessert faloodeh.