तर्क में वैधता

तर्क में, एक तर्क मान्य है अगर और केवल अगर यह एक ऐसा रूप लेता है जो परिसर को सच होने के लिए असंभव बनाता है और निष्कर्ष तब भी गलत है। एक मान्य तर्क के लिए ऐसा परिसर होना आवश्यक नहीं है जो वास्तव में सत्य हो, लेकिन ऐसा परिसर हो कि, यदि वे सत्य थे, तो तर्क के निष्कर्ष की सच्चाई की गारंटी होगी। एक सूत्र मान्य है अगर और केवल अगर यह हर व्याख्या के तहत सच है, और एक तर्क फॉर्म (या स्कीमा) वैध है और यदि केवल उस तार्किक रूप का प्रत्येक तर्क वैध है।

व्याख्या की अवधारणा, जो इस स्पष्टीकरण के लिए केंद्रीय है, सहज ज्ञान युक्त रूप में समझा जा सकता है कि प्रस्तावक तर्कशास्त्र में चर असाइनमेंट के सामान्यीकरण के रूप में: केवल एक प्रस्ताव के सूत्र के प्रस्ताव चर के असाइनमेंट से सूत्र पूरे विशेषता के रूप में एक सत्य मूल्य हो सकता है। अधिक जटिल लॉजिक्स में भी सूत्र के औपचारिक घटकों को असाइनमेंट किया जाना चाहिए, जो समग्र सूत्र के सत्य मूल्य को निर्धारित करते हैं। उदाहरण के लिए, विधेय तर्क में, एक ब्रह्मांड की परिभाषा और विधेय प्रतीकों की एक भविष्यवाणी (इस ब्रह्मांड पर) और कार्य प्रतीकों के लिए कार्य प्रतीकों की भविष्यवाणी (इस ब्रह्मांड पर) होती है। केवल एक विचारशील दुनिया में वस्तुओं के एक सेट का हवाला देकर यह पता लगाया जा सकता है कि क्या एक फार्मूला पूरा किया जा सकता है और क्या यह हमेशा पूरा हो सकता है, यानी सार्वभौमिक रूप से मान्य है।

निम्न तालिका कुछ बारीकी से संबंधित शब्दों और समानार्थक शब्दों को सूचीबद्ध करती है। स्तंभ और  एक समतुल्य संबंध में हैं, उदाहरण के लिए बी केवल सार्वभौमिक रूप से वैध है, अगर    असंतोषजनक है।

समानार्थक शब्द शर्त
सार्वभौमिक टॉटोलॉजिकल (प्रपोजल लॉजिक में) सभी व्याख्याएं सूत्र से मिलती हैं। अप्राप्य
तृप्तियोग्य सुसंगत, सुसंगत एक व्याख्या है जो सूत्र को संतुष्ट करती है। झूठा साबित किया
झूठा साबित किया खंडन करने योग्य एक व्याख्या है जो सूत्र को नापसंद करती है। तृप्तियोग्य
अप्राप्य असंगत, विरोधाभासी कोई भी व्याख्या सूत्र को पूरा नहीं करती है। सार्वभौमिक

तर्क
एक तर्क मान्य है यदि और केवल तभी जब उसके परिसर की सच्चाई उसके निष्कर्ष की सच्चाई को जोड़ती है और तर्क में प्रत्येक चरण, उप-तर्क, या तार्किक संचालन मान्य है। ऐसी शर्तों के तहत परिसर की पुष्टि करना और निष्कर्ष से इनकार करना आत्म-विरोधाभासी होगा। एक मान्य तर्क का संगत सशर्त एक तार्किक सत्य है और इसके संबंधित सशर्त का निषेध एक विरोधाभास है। निष्कर्ष इसके परिसर का एक तार्किक परिणाम है।

एक तर्क जो मान्य नहीं है, उसे “अमान्य” कहा जाता है।

एक मान्य तर्क का एक उदाहरण निम्नलिखित जाने-माने न्यासवाद द्वारा दिया गया है:

सभी पुरुष नश्वर हैं।
सुकरात एक आदमी है।
इसलिए, सुकरात नश्वर है।

जो इसे एक मान्य तर्क बनाता है, वह यह नहीं है कि इसका वास्तविक परिसर और सही निष्कर्ष है, बल्कि निष्कर्ष की तार्किक आवश्यकता है, जिसे दो परिसर दिए गए हैं। यह तर्क उतना ही मान्य होगा जितना कि परिसर और निष्कर्ष गलत थे। निम्न तर्क समान तार्किक रूप का है लेकिन गलत परिसर और गलत निष्कर्ष के साथ, और यह समान रूप से मान्य है:

सभी कप हरे हैं।
सुकरात एक कप है।
इसलिए, सुकरात हरा है।

कोई फर्क नहीं पड़ता कि ब्रह्मांड का निर्माण कैसे किया जा सकता है, यह कभी भी नहीं हो सकता है [क्यों?] कि इन तर्कों को एक साथ सच परिसर लेकिन एक गलत निष्कर्ष निकलना चाहिए। उपरोक्त तर्क निम्नलिखित अमान्य के साथ विपरीत हो सकते हैं:

सभी पुरुष अमर हैं।
सुकरात एक आदमी है।
इसलिए, सुकरात नश्वर है।

इस मामले में, निष्कर्ष पूर्ववर्ती परिसर के कटौतीत्मक तर्क का खंडन करता है, बजाय इसके कि इससे व्युत्पन्न होने के। इसलिए, तर्क तार्किक रूप से ‘अमान्य’ है, भले ही निष्कर्ष को सामान्य शब्दों में ‘सही’ माना जा सकता है। ‘सभी पुरुष अमर हैं’ का आधार इसी तरह शास्त्रीय तर्क के ढांचे के बाहर गलत माना जाएगा। हालाँकि, उस प्रणाली के भीतर ‘सत्य’ और ‘गलत’ अनिवार्य रूप से गणितीय स्थितियों जैसे कि बाइनरी 1s और 0s जैसे दार्शनिक अवधारणाओं की तुलना में सामान्य रूप से कार्य करते हैं जो सामान्य रूप से उन शर्तों से जुड़े होते हैं।

एक मानक दृष्टिकोण यह है कि क्या कोई तर्क मान्य है, तर्क के तार्किक रूप का मामला है। तर्क की तार्किक रूप का प्रतिनिधित्व करने के लिए तर्कशास्त्रियों द्वारा कई तकनीकों को नियोजित किया जाता है। उपरोक्त उदाहरणों में से दो पर लागू होने वाला एक सरल उदाहरण निम्नलिखित है: अक्षर ‘P’, ‘Q’ और ‘S’ स्टैंड को क्रमशः पुरुषों के सेट, मॉर्टल्स के सेट और सुकरात के लिए दें। इन प्रतीकों का उपयोग करते हुए, पहले तर्क को संक्षिप्त किया जा सकता है:

सभी P, Q हैं।
S एक P है।
इसलिए, S एक Q है।

इसी तरह, दूसरा तर्क बन जाता है:

सभी P, Q नहीं हैं।
S एक P है।
इसलिए, S एक Q है।
एक तर्क को औपचारिक रूप से वैध करार दिया जाता है, यदि इसमें संरचनात्मक आत्म-संगति हो, अर्थात यदि परिसर के बीच संचालन सभी सही हैं, तो व्युत्पन्न निष्कर्ष हमेशा सही होता है। । तीसरे उदाहरण में, प्रारंभिक परिसर तार्किक रूप से निष्कर्ष में परिणाम नहीं कर सकता है और इसलिए इसे अमान्य तर्क के रूप में वर्गीकृत किया गया है।

मान्य सूत्र
एक औपचारिक भाषा का एक सूत्र एक वैध सूत्र है यदि और केवल अगर यह भाषा की हर संभव व्याख्या के तहत सच है। प्रपोजल लॉजिक में, वे टॉटोलॉजी हैं।

ये दलीलें मान्य हैं क्योंकि इन दोनों के बीच एक असहमतिपूर्ण व्यवहारवाद का रूप है, जो एक मान्य तर्क योजना है:

poq
No p
इसलिए, q
एक विशिष्ट तर्क की वैधता का निर्धारण करने के लिए, फिर, यह अपने तर्क योजना की वैधता निर्धारित करने के लिए पर्याप्त है, और यह अर्थगत साधनों या वाक्यगत साधनों द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।

सिमेंटिक विधि सिमेंटिक पद्धति
में, एक तर्क योजना को वैध कहा जाता है, जब परिसर का सत्य होना और निष्कर्ष का गलत होना असंभव है। यह निर्धारित करने के लिए कि क्या यह मामला है, परिसर की सच्चाई को मान लिया गया है, और सत्य की परिभाषाओं को लागू करके, व्यक्ति निष्कर्ष से सत्य को हटाने की कोशिश करता है। या फिर, परिसर को सच माना जाता है और निष्कर्ष गलत होता है, और सत्य की परिभाषाओं को लागू करके, एक विरोधाभास (बेतुकी कमी) को दूर करने का प्रयास किया जाता है।

प्रोपोजल लॉजिक में, एक वैकल्पिक विधि एक तर्क को अपने संबंधित सूत्र में बदलना है, और एक सत्य तालिका का निर्माण करना है। यदि सूत्र तार्किक सत्य है, तो तर्क मान्य है। इसका कारण यह है कि कटौती प्रमेय और इसकी व्याख्या मान्य है, लेकिन यह भी क्योंकि प्रस्ताव तर्क निर्णायक है, और इसलिए हमेशा यह निर्धारित करने के लिए एक एल्गोरिदमिक प्रक्रिया की प्रशंसा करता है कि क्या कोई सूत्र एक तार्किक सत्य है या नहीं।

{{प्रदर्शनशाला {\ start {सरणी} {c | सी || सी | सी | सी | c} p & q & (p \ lor q) & \ negative p & (p \ lor q) \ land \ negative p & [(p \ lor q) \ land \ negative p] \ q to \\\ hline V & V & V & F & F & V \\ V & F & V & F & F & V \\ F & V & V & V & V & V \\ F & F & F & V & F & V \ \\ अंत {सरणी}}}

सिंटैक्टिक विधि सिंटैक्टिक पद्धति
में, एक तर्क योजना को मान्य किया जाता है जब तर्क के परिसर और सिस्टम के स्वयंसिद्धों से निष्कर्ष की कटौती होती है, केवल अनुमत इंजेक्शन नियमों का उपयोग करते हुए।

एक प्राकृतिक कटौती प्रणाली में, यह ऐसा है जैसे अक्षतंतु का सेट खाली है, एक तर्क योजना तब मान्य होगी जब परिसर से निष्कर्ष की कटौती हो, केवल लंबाई के अनुमत नियमों का उपयोग करते हुए।

कथन
एक कथन को वैध, यानी तार्किक सत्य कहा जा सकता है, यदि यह सभी व्याख्याओं में सत्य है।

कटौती की ध्वनि वैधता की सच्चाई या निष्कर्ष की सच्चाई से प्रभावित नहीं होती है। निम्नलिखित कटौती पूरी तरह से मान्य है:

सभी जानवर मंगल पर रहते हैं।
सभी इंसान जानवर हैं।
इसलिए सभी मनुष्य मंगल पर रहते हैं।

तर्क के साथ समस्या यह है कि यह ध्वनि नहीं है। ध्वनि करने के लिए एक आगमनात्मक तर्क के लिए, कटौती वैध होनी चाहिए और सभी परिसर सही होंगे।

संतुष्टि
मॉडल सिद्धांत उपयुक्त गणितीय संरचनाओं में व्याख्या के विशेष वर्गों के संबंध में सूत्रों का विश्लेषण करता है। इस पढ़ने पर, सूत्र मान्य है यदि ऐसी सभी व्याख्याएं इसे सच बनाती हैं। एक अनुमान वैध है यदि सभी व्याख्याएं जो परिसर को मान्य करती हैं निष्कर्ष को मान्य करती हैं। इसे शब्दार्थ वैधता के रूप में जाना जाता है।

परिरक्षण
सत्य-संरक्षण की वैधता में, वह व्याख्या जिसके तहत सभी चरों को ‘सत्य’ का सत्य मान दिया जाता है, ‘सत्य’ का सत्य मान उत्पन्न करता है।

झूठी-संरक्षण वैधता में, वह व्याख्या जिसके तहत सभी चर को ‘असत्य’ का सत्य मान दिया जाता है और ‘असत्य’ का सत्य मान उत्पन्न करता है।

परिरक्षण गुण तार्किक संयोजी वाक्य
सही और गलत संरक्षण: प्रस्ताव • तार्किक संयुग्मन (और  \ भूमि  ) • तार्किक विघटन (या,  \ lor  )
सही संरक्षण केवल: टॉटोलॉजी ( \ शीर्ष  ) • बीकंडिशनल (XNOR, \ leftrightarrow  ) • इम्प्लीकेशन (  ) • कन्वर्सेशन  इम्प्लीकेशन  \दायां तीर  (  \बायां तीर  )
केवल झूठी सुरक्षा: विरोधाभास (  \ बॉट  ) • विशेष रूप से विच्छेद (XOR,  \ oplus  ) • गैर-आयाम (  \ nrightarrow  ) • विपरीत गैर-मूल्यांकन (  \ nleftarrow  )
गैर-संरक्षण: निषेध (  \ neg  ) • वैकल्पिक इनकार (नंद,  \ऊपर की ओर तीर  ) • संयुक्त इनकार (NOR,  \नीचे का तीर  )