टेसलेशन, या एक सपाट सतह का टाइलिंग एक ओवरलैप और कोई अंतराल के साथ एक या एक से अधिक ज्यामितीय आकृतियों का उपयोग करके एक विमान का टाइलिंग है। गणित में, tessellations को उच्च आयामों और विभिन्न ज्यामितीयताओं के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

समबाहु त्रिभुज, वर्ग और नियमित षट्भुज के बीच क्षेत्र-परिधि अनुपात की तुलना। हेक्स कवर सतह वाले हिस्से के लिए उपयोग की जाने वाली न्यूनतम परिधि के साथ विमान को विभाजित करता है। समतल ज्यामिति में, इसे डिमिंग कहा जाता है (कभी-कभी झुकाव या फर्श) विमान को एक या एक से अधिक ज्यामितीय आकृतियों के साथ कवर करने के तरीके, जो ओवरलैपिंग के बिना असीम रूप से दोहराए जाते हैं।

ये ज्यामितीय आंकड़े, (जिन्हें “डॉवल्स” कहा जाता है), अक्सर बहुभुज होते हैं, नियमित या नहीं, लेकिन घुमावदार पक्ष भी हो सकते हैं, या जिनमें कोई शीर्ष नहीं होता है। एकमात्र शर्त जो आमतौर पर उठती है कि वे जुड़े हुए हैं, बल्कि बस जुड़े हुए हैं (अर्थात, वे एक ही टुकड़े हैं और छेद नहीं हैं)।

यद्यपि यह स्थिति बहुत ही प्रतिबंधात्मक लग सकती है, लेकिन यह आपके द्वारा सोच सकने वाली किसी भी मंजिल से सम्मानित है। यह उपयोगी क्यों है इसका कारण यह है कि यह एक-दूसरे को विभिन्न रूपों के टन की तुलना करने की अनुमति देता है।

हालांकि, बुनियादी समानांतर चतुर्भुज टेम्पलेट, नियमित डॉटिंग को वर्गीकृत करने का सबसे पूर्ण तरीका नहीं है; इसके कोणों और पक्षों की माप को जानने से हमें अपने डिमिंग के ज्यामितीय विशेषताओं के साथ प्रमाणित करने की अनुमति नहीं मिलती है: ऐसा हो सकता है कि समांतर चतुर्भुज का एक छोटा हिस्सा हो (अधिक सटीक रूप से, समांतर चतुर्भुज का एक अनुपात) जिससे यह संभव है। सभी डीएक्यूलेशन (अब केवल अनुवाद के साथ, लेकिन अन्य आइसोमेट्रिक्स का उपयोग करके) को फिर से संगठित करने के लिए।

एक आवधिक टाइलिंग का दोहराव पैटर्न होता है। कुछ विशेष प्रकारों में नियमित रूप से बहुभुज टाइलों के साथ एक ही आकार के सभी नियमित टाइलिंग शामिल हैं, और एक से अधिक आकार के नियमित टाइलों के साथ और प्रत्येक कोने के साथ सेमेरीगुलर टाइलिंग की पहचान की जाती है। आवधिक झुकाव द्वारा गठित पैटर्न को 17 वॉलपेपर समूहों में वर्गीकृत किया जा सकता है। एक टाइलिंग जिसमें दोहराए जाने वाले पैटर्न का अभाव होता है, उसे “गैर-आवधिक” कहा जाता है। एक एपेरियोडिक टाइलिंग टाइल आकार का एक छोटा सा सेट का उपयोग करती है जो दोहराव पैटर्न नहीं बना सकती है। उच्च आयामों की ज्यामिति में, एक अंतरिक्ष-भरने या मधुकोश को अंतरिक्ष का एक टेसुलेशन भी कहा जाता है।

एक फुटपाथ या फुटपाथ एक परिमित सेट के तत्वों द्वारा एक अंतरिक्ष (आमतौर पर विमान या तीन आयामी अंतरिक्ष की तरह एक यूक्लिडियन स्थान) का एक विभाजन है, जिसे टाइल कहा जाता है (अधिक सटीक रूप से, वे गैर-खाली आंतरिक कॉम्पैक्ट हैं)। आम तौर पर, हम अनुवाद द्वारा झुकाव पर विचार करते हैं, यह कहना है कि दो समान फ़र्श टाइल हमेशा एक दूसरे से एक अनुवाद (कटौती या समरूपता को छोड़कर) से कटौती योग्य हैं। गैर-यूक्लिडियन रिक्त स्थान के भी tessellations हैं, सबसे प्रसिद्ध संदेह के बिना एम.सी. के कई फुटपाथ हैं। एस्चर (हाइपरबोलिक प्लेन (इन) के समान टेसेलेशन)।

एक वास्तविक शारीरिक टेसेलेशन सीमेंटेड सिरेमिक स्क्वायर या हेक्सागोन जैसी सामग्रियों से बना एक टाइलिंग है। इस तरह के झुकाव सजावटी पैटर्न हो सकते हैं, या टिकाऊ और पानी प्रतिरोधी फुटपाथ, फर्श या दीवार कवरिंग जैसे कार्य हो सकते हैं। ऐतिहासिक रूप से, प्राचीन रोम में और इस्लामिक कला में tessellations का उपयोग किया गया था जैसे कि Alhambra के महल की सजावटी ज्यामितीय टाइलिंग में। बीसवीं शताब्दी में, एम। सी। एस्चर के काम में अक्सर कलात्मक प्रभाव के लिए, साधारण यूक्लिडियन ज्यामिति और हाइपरबोलिक ज्यामिति दोनों में टेसलेशन का उपयोग किया जाता था। कभी-कभी क्विल्टिंग में सजावटी प्रभाव के लिए टेसेलेशन को नियोजित किया जाता है। टेसेलेशन प्रकृति में पैटर्न का एक वर्ग बनाते हैं, उदाहरण के लिए मधुकोश में पाए जाने वाले हेक्सागोनल कोशिकाओं के सरणियों में।

सुमेरियों द्वारा (लगभग 4000 ईसा पूर्व) मिट्टी की टाइलों के पैटर्न द्वारा बनाई गई दीवार की सजावट में निबंधों का उपयोग किया गया था।

छोटे वर्ग के खंडों से बने सजावटी मोज़ेक झुकाव को व्यापक रूप से शास्त्रीय पुरातनता में नियोजित किया गया था, कभी-कभी ज्यामितीय पैटर्न प्रदर्शित करते थे।

1619 में जोहान्स केपलर ने टेस्यूलेशन का प्रारंभिक दस्तावेजी अध्ययन किया। उन्होंने अपने हारमोंस मुंडी में नियमित और संगोष्ठी के बारे में लिखा; वह संभवतः पहले छत्ते और बर्फ के टुकड़े की षट्भुज संरचनाओं का पता लगाने और समझाने के लिए था।

1891 में कुछ दो सौ साल बाद, रूसी क्रिस्टलोग्राफर येवग्राफ फ्योडोरोव ने साबित कर दिया कि विमान की हर आवधिक टाइलिंग में समरूपता के सत्रह विभिन्न समूहों में से एक है। फ्योडोरोव के काम ने टेसेलेशन के गणितीय अध्ययन की अनौपचारिक शुरुआत को चिह्नित किया। अन्य प्रमुख योगदानकर्ताओं में शुभनिकोव और बेलोव (1964), और हेनरिक हेच और ओटो किंजल (1963) शामिल हैं।

लैटिन में, टेसेला मिट्टी, पत्थर या कांच का एक छोटा सा टुकड़ा है जिसे मोज़ाइक बनाने के लिए उपयोग किया जाता है। “टेसेला” शब्द का अर्थ है “छोटा वर्ग” (टेसेरा, वर्ग से, जो बदले में ग्रीक शब्द )ρα फोर से है)। यह रोज़मर्रा के शब्द टाइलिंग से मेल खाती है, जो कि अक्सर चमकता हुआ मिट्टी से बने टेसूलेशन के अनुप्रयोगों को संदर्भित करता है।

नियत किए गए नियमों के अनुसार, दो आयामों में टेसेलेशन या टाइलिंग ज्यामिति में एक विषय है जो अध्ययन करता है कि कैसे आकार, जिसे टाइल के रूप में जाना जाता है, बिना किसी अंतराल के एक विमान को भरने के लिए व्यवस्थित किया जा सकता है। ये नियम विविध हो सकते हैं। सामान्य यह है कि टाइलों के बीच कोई अंतराल नहीं होना चाहिए, और यह कि एक टाइल का कोई भी कोना दूसरे के किनारे पर नहीं रह सकता है। बंधुआ ईंटों द्वारा बनाए गए टेसल्स इस नियम को नहीं मानते हैं। ऐसा करने वालों के बीच, एक नियमित टेसलेशन में समान टाइलें और समान नियमित कोने या कोने दोनों होते हैं, जिसमें प्रत्येक टाइल के लिए आसन्न किनारों के बीच एक ही कोण होता है। केवल तीन आकृतियाँ हैं जो इस तरह के नियमित tessellations को बना सकती हैं: समबाहु त्रिभुज, वर्ग और नियमित षट्भुज। इन तीन आकृतियों में से किसी एक को बिना किसी अंतराल के एक विमान को भरने के लिए असीम रूप से दोहराया जा सकता है।

विभिन्न बाधाओं के तहत कई अन्य प्रकार के टेसेलेशन संभव हैं। उदाहरण के लिए, आठ प्रकार के अर्ध-नियमित टेशन होते हैं, जो एक से अधिक प्रकार के नियमित बहुभुज से बने होते हैं, लेकिन फिर भी हर कोने में पॉलीगॉन की समान व्यवस्था होती है। अन्य आकार जैसे पेंटागन, पॉलीओमीनो और वास्तव में लगभग किसी भी प्रकार के ज्यामितीय आकार से अनियमित टेसेलेशन भी किए जा सकते हैं। कलाकार एम। सी। एस्चर अनियमित इंटरलॉकिंग टाइलों के साथ टेसेलेशन बनाने के लिए प्रसिद्ध हैं, जो जानवरों और अन्य प्राकृतिक वस्तुओं के आकार का है। यदि अलग-अलग आकार की टाइलों के लिए उपयुक्त विपरीत रंग चुने जाते हैं, तो हड़ताली पैटर्न बनते हैं, और इनका उपयोग चर्च की फर्श जैसी भौतिक सतहों को सजाने के लिए किया जा सकता है।

अधिक औपचारिक रूप से, एक टेसलेशन या टाइलिंग, यूक्लिडियन प्लेन का एक कवर होता है, जिसे एक सेट संख्या में बंद सेट्स कहा जाता है, जैसे कि टाइलें केवल उनकी सीमाओं पर प्रतिच्छेद करती हैं। ये टाइलें पॉलीगॉन या किसी अन्य आकार की हो सकती हैं। बहुत से टेस्यूलेशन बहुत से प्रोटोटाइल्स की संख्या से बनते हैं जिसमें टेसलेशन में सभी टाइलें दिए गए प्रोटोटाइल्स के लिए बधाई होती हैं। यदि एक ज्यामितीय आकार का उपयोग टेसटेशन बनाने के लिए एक प्रोटोटाइल के रूप में किया जा सकता है, तो आकृति को टेसेलेट या विमान को टाइल करने के लिए कहा जाता है। कॉनवे मानदंड एक पर्याप्त है, लेकिन यह तय करने के लिए नियमों का आवश्यक सेट नहीं है कि किसी दिए गए आकार में विमान को समय-समय पर प्रतिबिंब के बिना टाइल किया जाता है: कुछ टाइलें कसौटी पर विफल होती हैं लेकिन फिर भी विमान को टाइल करती हैं। यह निर्धारित करने के लिए कोई सामान्य नियम नहीं पाया गया है कि क्या दी गई आकृति विमान को टाइल कर सकती है या नहीं, जिसका अर्थ है कि tellellations के संबंध में कई अनसुलझी समस्याएं हैं।

संबंधित न्यूनतम डिजाइनों का आकार समान है
दो डौलरों में से प्रत्येक को प्राप्त करने के लिए न्यूनतम डिज़ाइनों पर लागू होने वाले परिवर्तनों को समान होना चाहिए
उदाहरण के लिए, पक्ष में छवि में हम इसके आधार समांतर चतुर्भुज (एक वर्ग) और इसकी न्यूनतम डिजाइन (एक त्रिकोण आयत) के साथ एक डॉटिंग देखते हैं। वर्ग का अनुवाद करके, लेकिन केवल त्रिभुज आयत का अनुवाद और प्रतिबिंबित करके भी वोट प्राप्त किया जा सकता है। इसके बजाय, त्रिभुज का कोई छोटा हिस्सा नहीं है जिसके साथ सभी लटकन को फिर से बनाया जा सकता है।

यह साबित होता है कि नियमित दोहरीकरण कक्षाएं ठीक 17 हैं। किसी भी दोहरीकरण को सूचीबद्ध करने के लिए, इसे न्यूनतम डिजाइन से उत्पन्न करने के लिए आवश्यक परिवर्तनों को जानना पर्याप्त है, जैसा कि निम्नलिखित तालिका में दिखाया गया है:

आलंकारिक, अमूर्त कला और वास्तुकला में डॉटिंग हमेशा सौंदर्यशास्त्र के संयोजन का एक तरीका रहा है,

गणितीय रूप से, ट्यूसेलेशन को यूक्लिडियन विमान के अलावा अन्य स्थानों तक बढ़ाया जा सकता है। स्विस जियोमीटर लुडविग श्लाफली ने पॉलीसीम को परिभाषित करते हुए इसका बीड़ा उठाया, जिसे गणितज्ञ आजकल पॉलीटोप कहते हैं। ये अधिक आयाम वाले स्थानों में बहुभुज और पॉलीहेड्रा के एनालॉग हैं। उन्होंने आगे चलकर Schläfli सिंबल नोटेशन को परिभाषित किया, जिससे पॉलीटोप का वर्णन करना आसान हो सके। उदाहरण के लिए, एक समभुज त्रिभुज के लिए श्लाफली प्रतीक {3} है, जबकि एक वर्ग के लिए यह {4} है। श्लाफली संकेतन से झुकाव का वर्णन करना संभव हो जाता है। उदाहरण के लिए, नियमित हेक्सागोन के एक टाइलिंग में प्रत्येक शीर्ष पर तीन छह-पक्षीय बहुभुज होते हैं, इसलिए इसका स्लैफ़ली प्रतीक {6,3} है।

पॉलीगोनल झुकाव के वर्णन के लिए अन्य विधियां भी मौजूद हैं। जब टेसलेशन नियमित पॉलीगॉन से बना होता है, तो सबसे आम संकेतन है वर्टेक्स कॉन्फ़िगरेशन, जो पॉलीगॉन के चारों ओर के पक्षों की संख्या की एक सूची है। वर्ग टाइलिंग में 4.4.4.4, या 44 का वर्टीकल कॉन्फ़िगरेशन है। नियमित हेक्सागोन्स की टाइलिंग 6.6.6 या 6 बताई गई है।

गणित में:
गणितज्ञ जब झुकाव पर चर्चा करते हैं तो कुछ तकनीकी शब्दों का उपयोग करते हैं। एक किनारा दो सीमा टाइलों के बीच का चौराहा है; यह अक्सर एक सीधी रेखा होती है। एक शीर्ष तीन या अधिक सीमा टाइलों के चौराहे का बिंदु है। इन शब्दों का उपयोग करते हुए, एक आइसोगोनल या वर्टेक्स-ट्रान्सिटिव टाइलिंग एक टाइलिंग है जहां प्रत्येक शीर्ष बिंदु समान है; अर्थात्, प्रत्येक शीर्ष के बारे में बहुभुज की व्यवस्था समान है। मौलिक क्षेत्र एक आकार है जैसे कि एक आयत जिसे टेसलेशन बनाने के लिए दोहराया जाता है। उदाहरण के लिए, वर्गों के साथ विमान के एक नियमित टसेलेशन में प्रत्येक शीर्ष पर चार वर्गों की बैठक होती है।

बहुभुज के किनारे आवश्यक रूप से टाइल के किनारों के समान नहीं हैं। एज-टू-एज टाइलिंग किसी भी बहुभुज tessellation है जहां आसन्न टाइलें केवल एक पूर्ण पक्ष साझा करती हैं, अर्थात, कोई भी टाइल किसी भी पक्ष में या किसी अन्य टाइल के साथ एक से अधिक पक्ष साझा नहीं करती है। एज-टू-एज टाइलिंग में, बहुभुज के किनारे और टाइल्स के किनारे समान होते हैं। परिचित “ईंट की दीवार” टाइलिंग एज-टू-एज नहीं है क्योंकि प्रत्येक आयताकार ईंट का लंबा किनारा दो सीमा ईंटों के साथ साझा किया गया है।

एक सामान्य टाइलिंग एक टेसेलेशन है, जिसके लिए प्रत्येक टाइल एक डिस्क के बराबर स्थैतिक रूप से होती है, किसी भी दो टाइलों का प्रतिच्छेदन एक एकल जुड़ा सेट या खाली सेट होता है, और सभी टाइल समान रूप से बंधे होते हैं। इसका मतलब यह है कि त्रिज्या का एक एकल चक्कर लगाना और एक एकल शिलालेख त्रिज्या का उपयोग पूरे टाइलिंग में सभी टाइलों के लिए किया जा सकता है; स्थिति उन टाइलों को अस्वीकार कर देती है जो विकृतिगत रूप से लंबी या पतली होती हैं।

एक मोनोहेड्रल टाइलिंग एक टेसेलेशन है जिसमें सभी टाइलें बधाई होती हैं; इसमें केवल एक ही प्रोटोटाइल है। एक विशेष रूप से दिलचस्प प्रकार का मोनोहाइड्रल टेस्यूलेशन सर्पिल मोनोहाइड्रल टाइलिंग है। 1936 में हेंज वोडरबर्ग द्वारा पहली सर्पिल मोनोहाइड्रल टाइलिंग की खोज की गई थी; वोडरबर्ग टाइलिंग में एक यूनिट टाइल है जो एक नॉनवॉन्क्स एन्नेगॉन है। माइकल डी। हिर्शचोर और डीसी हंट द्वारा 1985 में प्रकाशित हिर्शचॉर्न टाइलिंग, अनियमित पेंटागन का उपयोग करते हुए एक पेंटागन है: नियमित पेंटागन यूक्लिडियन विमान को नियमित पेंटागन के आंतरिक कोण के रूप में टाइल नहीं कर सकते हैं, 3π / 5, 2π का भाजक नहीं है। ।

इओहाइडल टाइलिंग एक मोनोहेड्रल टाइलिंग का एक विशेष रूपांतर है जिसमें सभी टाइलें एक ही ट्रांज़िटिविटी क्लास से संबंधित हैं, अर्थात, सभी टाइलें टाइलिंग के समरूपता समूह के तहत एक ही प्रोटोटाइल के रूपांतरित होती हैं। यदि एक प्रोटोटाइल एक टाइलिंग को स्वीकार करता है, लेकिन इस तरह का कोई भी टाइलिंग आइसोहेड्रल नहीं है, तो प्रोटोटाइल को आइज़ोहेड्रल कहा जाता है और आइज़ोहेड्रल टाइलिंग बनाता है।

एक नियमित टेस्यूलेशन एक समान आकार के सभी बहुभुज है, जो एक नियमित रूप से बहुभुज से बना एज-टू-एज एज है। केवल तीन नियमित tessellations हैं: जो समबाहु त्रिकोण, वर्ग, या नियमित हेक्सागोन्स से बना है। ये तीनों झुकाव आइसोगोनल और मोनोहेड्रल हैं।

कुछ aperiodic tilings दूसरों की तुलना में कम हैं … दूसरे शब्दों में, aperiodicity की डिग्री निर्धारित की जा सकती है।

इस तरह, हम उदाहरण के लिए, पुनरावृत्ति और एक समान पुनरावृत्ति (या क्वासिपरियोडेसी) की धारणा का हवाला दे सकते हैं।

एक टाइलिंग को बार-बार कहा जाता है यदि, जब एक पैटर्न (टाइल्स का बारीक सेट) एक बार दिखाई देता है, तो यह किसी भी पर्याप्त बड़े क्षेत्र में दिखाई देता है। यदि, इसके अलावा, कोई पैटर्न के आकार के अनुसार इस क्षेत्र के आकार को ठीक कर सकता है, तो फ़र्श को समान रूप से आवर्तक (या क्वासिपरियोडिक) कहा जाता है।

इस प्रकार, विमान का समान रूप से आवर्तक टाइलिंग ऐसा होता है कि यदि हम किसी भी पैटर्न को त्रिज्या के एक वृत्त में प्रदर्शित होने पर विचार करते हैं जो कि टाइलिंग पर ट्रेस होता है, तो एक नंबर R मौजूद होता है जैसे कि हम यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि यह पैटर्न किसी भी सर्कल में फिर से दिखाई देता है त्रिज्या R फुटपाथ पर पता लगाया।

विशेष रूप से, आवधिक झुकाव समान रूप से आवर्तक (एक फोर्टियोरी आवर्तक) हैं। यही हाल पेनरोज़ पेविंग का भी है। वास्तव में, यह दिखाया जा सकता है कि यदि टाइलों का एक सेट विमान को प्रशस्त करता है, तो वह इसे समान रूप से आवर्तक तरीके से भी प्रशस्त कर सकता है (प्रमाण एक विकर्ण तर्क पर आधारित है)।

एक अर्ध-नियमित (या आर्किमिडियन) टेसलेशन एक आइसोगोनल व्यवस्था में एक से अधिक प्रकार के नियमित बहुभुज का उपयोग करता है। आठ अर्ध-नियमित झुकाव हैं (या नौ अगर झुकाव की दर्पण-छवि जोड़ी दो के रूप में गिना जाता है)। उनका वर्णन उनके शीर्ष विन्यास द्वारा किया जा सकता है; उदाहरण के लिए, चौकों और नियमित अष्टकोनों का उपयोग करके एक अर्ध-नियमित टाइलिंग में शीर्ष विन्यास 4.82 है (प्रत्येक शीर्ष में एक वर्ग और दो अष्टक हैं)। यूक्लिडियन प्लेन के कई नॉन-एज-टू-एज टिलर संभव हैं, जिसमें पाइथोगोरियन झुकाव के परिवार सहित, टेसेलेशन जो वर्ग के दो (पैरामीटर) आकार का उपयोग करते हैं, प्रत्येक वर्ग दूसरे आकार के चार वर्गों को छूता है। एक एज टेसेलेशन वह है जिसमें पड़ोसी टाइल की स्थिति लेने के लिए प्रत्येक टाइल को एक किनारे पर परावर्तित किया जा सकता है, जैसे कि समबाहु या समद्विबाहु त्रिभुजों की एक सरणी में।

दो स्वतंत्र दिशाओं में अनुवादक समरूपता के साथ झुकाव वॉलपेपर समूहों द्वारा वर्गीकृत किया जा सकता है, जिनमें से 17 मौजूद हैं। यह दावा किया गया है कि इन समूहों में से सभी सत्रह स्पेन के ग्रेनेडा में अल्हाम्ब्रा महल में प्रतिनिधित्व करते हैं। हालांकि यह विवादित है, अलहम्ब्रा के झुकाव की विविधता और परिष्कार ने आधुनिक शोधकर्ताओं को आश्चर्यचकित किया है। तीन नियमित झुकाव में से दो p6m वॉलपेपर समूह में हैं और एक p4m में है। 2 डी में केवल एक दिशा में अनुवादिक समरूपता के साथ झुकाव को सात फ्रिज़ समूहों द्वारा संभावित फ्रिज़ पैटर्न का वर्णन करके वर्गीकृत किया जा सकता है। यूक्लिडियन प्लेन के वॉलपेपर समूहों का वर्णन करने के लिए ऑर्बॉफोल्ड नोटेशन का उपयोग किया जा सकता है।

पेनरोज़ टिलिंग्स, जो दो अलग-अलग चतुर्भुज का उपयोग करते हैं, टाइल्स का सबसे अच्छा ज्ञात उदाहरण है जो जबरन गैर-आवधिक पैटर्न बनाते हैं। वे एपेरियोडिक झुकाव के एक सामान्य वर्ग से संबंधित हैं, जो उन टाइलों का उपयोग करते हैं जो समय-समय पर टेसलेट नहीं कर सकते हैं। प्रतिस्थापन टाइलिंग की पुनरावर्ती प्रक्रिया एपेरियोडिक झुकाव उत्पन्न करने की एक विधि है। एक वर्ग जो इस तरह से उत्पन्न किया जा सकता है, वह रिप-टाइल्स है; इन झुकावों में आश्चर्यजनक रूप से आत्म-प्रतिकृति गुण हैं। पिनव्हील टाइलिंग गैर-आवधिक हैं, जो रेप-टाइल निर्माण का उपयोग कर रहे हैं; टाइल्स असीम रूप से कई झुकावों में दिखाई देते हैं। यह सोचा जा सकता है कि एक गैर-आवधिक पैटर्न पूरी तरह से समरूपता के बिना होगा, लेकिन ऐसा नहीं है। एपेरियोडिक झुकाव, अनुवादकीय समरूपता में कमी करते हुए, टाइलिंग के किसी भी बंधे हुए पैच के अनंत दोहराव और उन पैचों के कुछ परिमित समूहों या प्रतिबिंबों के अनंत पुनरावृत्ति द्वारा समरूपता रखते हैं। एक प्रतिस्थापन नियम, जैसे कि टाइलों की असेंबली का उपयोग करके कुछ पेनरोज़ पैटर्न उत्पन्न करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है, जिसे rhombs कहा जाता है, स्केलिंग समरूपता दिखाता है। एक फाइबोनैचि शब्द का उपयोग एपेरियोडिक टाइलिंग का निर्माण करने के लिए किया जा सकता है, और क्वासिक क्रिस्टल का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है, जो एपेरियोडिक ऑर्डर के साथ संरचनाएं हैं।

वांग टाइलें प्रत्येक किनारे पर रंगीन होती हैं, और इन्हें रखा जाता है ताकि आसन्न टाइलों के किनारों को अलग किया जा सके; इसलिए उन्हें कभी-कभी वांग डोमिनोज़ कहा जाता है। वांग डोमिनोज़ का एक उपयुक्त सेट विमान को टाइल कर सकता है, लेकिन केवल एपेरियोडिक रूप से। यह ज्ञात है क्योंकि किसी भी ट्यूरिंग मशीन को वैंग डोमिनोज के एक सेट के रूप में दर्शाया जा सकता है जो प्लेन को टाइल करता है यदि और केवल अगर ट्यूरिंग मशीन रुक न जाए। चूंकि रुकने की समस्या अनिर्दिष्ट है, इसलिए यह तय करने की समस्या कि क्या एक वैंग डोमिनो सेट विमान को टाइल कर सकता है, भी असाध्य है।

ट्रुचेट टाइलें चौकोर टाइलें हैं जिन्हें पैटर्न से सजाया गया है ताकि उनमें घूर्णी समरूपता न हो; 1704 में, सेबास्टियन ट्रूचेट ने विषम रंगों के दो त्रिकोणों में एक वर्ग टाइल विभाजन का उपयोग किया। ये विमान को समय-समय पर या अनियमित रूप से टाइल कर सकते हैं।

कभी-कभी टाइल के रंग को टाइलिंग के हिस्से के रूप में समझा जाता है; अन्य समय पर मनमाने रंग बाद में लागू किए जा सकते हैं। जब रंगों में प्रदर्शित होने वाली टाइलिंग पर चर्चा की जाती है, तो अस्पष्टता से बचने के लिए किसी को यह निर्दिष्ट करने की आवश्यकता होती है कि रंग टाइलिंग का हिस्सा हैं या इसके चित्रण का हिस्सा हैं। यह प्रभावित करता है कि क्या एक ही आकार वाली टाइलें लेकिन अलग-अलग रंगों को समान माना जाता है, जो बदले में समरूपता के सवालों को प्रभावित करता है। चार रंग प्रमेय में कहा गया है कि एक सामान्य यूक्लिडियन प्लेन के हर टेस्यूलेशन के लिए, चार उपलब्ध रंगों के एक सेट के साथ, प्रत्येक टाइल को एक रंग में रंगा जा सकता है जैसे कि समान रंग की कोई भी टाइल सकारात्मक लंबाई के वक्र पर नहीं मिलती है। चार-रंग प्रमेय द्वारा गारंटीकृत रंग आमतौर पर टेसूलेशन की समरूपता का सम्मान नहीं करता है। एक रंग बनाने के लिए जो करता है, यह आवश्यक है कि रंगों को टेसेलेशन के हिस्से के रूप में माना जाए। यहाँ, सात रंगों की आवश्यकता हो सकती है, जैसा कि चित्र में सही है।

नियमित बहुभुजों द्वारा विभिन्न झुकावों के आगे, अन्य बहुभुजों द्वारा झुकाव का भी अध्ययन किया गया है।

किसी भी त्रिभुज या चतुर्भुज (यहां तक ​​कि गैर-उत्तल) को एक मोनोटेल्ड टेस्यूलेशन बनाने के लिए एक प्रोटोटाइल के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है, अक्सर एक से अधिक तरीकों से। एक मनमाना चतुर्भुज की प्रतियां सभी पक्षों के मध्य बिंदुओं पर केंद्रों के साथ अनुवादिक समरूपता और 2-गुना घूर्णी समरूपता के साथ एक कटाई बना सकती हैं। एक असममित चतुर्भुज के लिए यह टाइलिंग वॉलपेपर समूह P2 से संबंधित है। मूलभूत डोमेन के रूप में हमारे पास चतुर्भुज है। समान रूप से, हम एक घूर्णी केंद्र से शुरू होने वाले अनुवाद वैक्टर के न्यूनतम सेट द्वारा समांतर चतुर्भुज का निर्माण कर सकते हैं। हम इसे एक विकर्ण द्वारा विभाजित कर सकते हैं, और मौलिक डोमेन के रूप में एक आधा (एक त्रिकोण) ले सकते हैं। इस तरह के त्रिकोण में चतुर्भुज के समान क्षेत्र होता है और इसे काटने और चिपकाने से बनाया जा सकता है।

यदि टाइल के केवल एक आकार की अनुमति है, तो एन 3, 4, 5 और 6 के बराबर के लिए उत्तल एन-गोंन्स के साथ झुकाव मौजूद है। एन = 5 के लिए, पेंटागोनल टाइलिंग देखें और एन = 6 के लिए, हेक्सागोनल टाइलिंग देखें।

Polyominoes के साथ विमान को खंगालने के परिणामों के लिए, Polyomino poly Polyominoes का उपयोग देखें।

वोरोनोई या डिरिक्लेट टिल्स वे टेस्यूलेशन हैं जहां प्रत्येक टाइल को परिभाषित बिंदुओं के असतत सेट में एक अंक के निकटतम बिंदुओं के सेट के रूप में परिभाषित किया जाता है। (भौगोलिक क्षेत्रों के बारे में सोचें, जहां प्रत्येक क्षेत्र किसी दिए गए शहर या पोस्ट ऑफिस के निकटतम बिंदुओं के रूप में परिभाषित किया गया है।) प्रत्येक परिभाषित बिंदु के लिए वोरोनोई सेल एक उत्तल बहुभुज है। डेलॉनाय ट्राइग्यूलेशन एक टेसेलेशन है जो एक वोरोनोई टेसैलेशन का दोहरी ग्राफ है। Delaunay triangulations भाग में संख्यात्मक सिमुलेशन में उपयोगी होते हैं क्योंकि परिभाषित करने वाले बिंदुओं के सभी संभव त्रिकोणों में से, Delaunay त्रिकोण किनारों द्वारा गठित कोणों के न्यूनतम को अधिकतम करते हैं। Voronoi tilings को बेतरतीब ढंग से रखे गए बिंदुओं के साथ विमान के बेतरतीब झुकाव के निर्माण के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है।

टेसेलेशन को तीन आयामों तक बढ़ाया जा सकता है। कुछ पॉलीहेड्रा को एक नियमित क्रिस्टल पैटर्न में (या टाइल) तीन-आयामी स्थान भरने के लिए स्टैक्ड किया जा सकता है, जिसमें क्यूब (ऐसा करने के लिए एकमात्र प्लैटोनिक पॉलीहेड्रॉन), रंबिक डोडेकेर्रॉन, ट्रंकयुक्त ऑक्टाहेड्रोन, और त्रिकोणीय, चतुर्भुज और षट्कोणीय प्रिज्म शामिल हैं। , दूसरों के बीच में। इस कसौटी पर खरा उतरने वाले किसी भी पॉलीहेड्रॉन को प्लेसीहेड्रॉन के रूप में जाना जाता है, और इसके पास 4 से 38 चेहरे हो सकते हैं। स्वाभाविक रूप से होने वाले रंबिक डोडेकाहेड्रा को अरैडाइट (एक प्रकार का गार्नेट) और फ्लोराइट के क्रिस्टल के रूप में पाया जाता है।

श्वार्ज़ त्रिकोण एक गोलाकार त्रिकोण है जिसका उपयोग एक क्षेत्र को टाइल करने के लिए किया जा सकता है।

तीन या अधिक आयामों में होने वाले तनाव को मधुकोश कहते हैं। तीन आयामों में सिर्फ एक नियमित छत्ते है, जिसमें प्रत्येक पॉलीहेड्रोन शीर्ष पर आठ क्यूब्स हैं। इसी तरह, तीन आयामों में सिर्फ एक क्सीरिगुलर हनीकॉम्ब है, जिसमें प्रत्येक पॉलीहेड्रोन शीर्ष पर आठ टेट्राहेड्रा और छह ऑक्टाहेड्रा हैं। हालांकि, तीन आयामों में कई संभावित अर्धवृत्ताकार छत्ते हैं। विथॉफ निर्माण का उपयोग करके वर्दी पॉलीहेड्रा का निर्माण किया जा सकता है।

श्मिट-कॉनवे बिप्रिस्म एक उत्तल पॉलीहेड्रॉन है जो केवल एपरोडिक रूप से टाइलिंग स्पेस की संपत्ति के साथ है।

हाइपरबोलिक ज्यामिति जैसे गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति में टेसलेट करना संभव है। हाइपरबोलिक प्लेन में एक समान टाइलिंग (जो नियमित हो सकती है, क्वासिरगुलर या सेमीरेगुलर) हाइपरबोलिक प्लेन का एक एज-टू-एज फिलिंग है, जिसमें चेहरे के रूप में नियमित बहुभुज होते हैं; ये वर्टेक्स-ट्रांसेटिव (इसके शीर्ष पर सकर्मक), और आइसोगोनल (किसी भी अन्य पर किसी भी शीर्ष पर आइसोमेट्री मैपिंग है)।

हाइपरबोलिक स्पेस में एक समान छत्ते में एक समान पॉलीहेड्रल कोशिकाओं का एक समान टेसेलेशन होता है। 3-आयामी हाइपरबोलिक स्पेस में कॉम्पैक्ट कॉनवेक्स यूनिफ़ॉर्म हनीकॉम्स के नौ कॉक्सटर समूह परिवार हैं, जो कि विथॉफ़ निर्माण के रूप में उत्पन्न होते हैं, और प्रत्येक परिवार के लिए कॉक्सटर आरेख के छल्ले के क्रमपरिवर्तन द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है।

वास्तुकला में:
वास्तुकला में, प्राचीन काल से सजावटी रूपांकनों को बनाने के लिए tessellations का उपयोग किया गया है। मोज़ेक झुकाव में अक्सर ज्यामितीय पैटर्न होते थे। बाद की सभ्यताओं ने बड़ी टाइलों का उपयोग किया, या तो सादे या व्यक्तिगत रूप से सजाया गया। अलहम्ब्रा और ला मेज़क्विता जैसी इमारतों में गिरीश और ज़िल्लेई टाइलों का उपयोग करते हुए, कुछ सबसे सजावटी इस्लामिक वास्तुकला की मूरिश वॉल टाइलिंग थे।

इस्तांबुल पुरातत्व संग्रहालय में सानना: यह कोई संयोग नहीं है कि फर्श को फुटपाथ भी कहा जाता है: वास्तव में एक टाइल के आकार के फर्श के साथ फर्श को कवर करने का हर संभव तरीका एक लटकन से ज्यादा कुछ नहीं है। यही कारण है कि टाइलें आवश्यक रूप से इतिहास के दौरान बनाई गई अधिकांश इमारतों में मौजूद हैं। विशेष रूप से, रंगीन डॉवल्स को अक्सर फर्श, या दीवार को घेरने के साधन के रूप में देखा जाता है।

प्रसिद्ध किस्में हैं जो ग्रेनेडा में अल्हाम्ब्रा कॉम्प्लेक्स की कई दीवारों को कवर करती हैं, अरब कला का फल और नवजात वंश का स्वाद: अरब हमेशा गणित और ज्यामिति के महान विद्वान रहे हैं, और इस तरह के ज्ञान भी उनकी कला को आकर्षित करते हैं, ताकि अरबी अभी भी आमतौर पर ज्यामितीय सजावटी रूपांकनों को इंगित करने के लिए उपयोग किया जाता है।

कला में:
डच कलाकार मौरिट्स कॉर्नेलिस एचर की अधिकांश रचनाएँ टैसल हैं, जिनके डॉट्स आमतौर पर मछली, पक्षी, घोड़े, चमगादड़ हैं, लेकिन मानवजनित आंकड़े भी हैं। एस्चर ने न केवल खंजर की प्राप्ति के लिए एक बड़ा ध्यान समर्पित किया, जो वास्तव में जानवरों का प्रतिनिधित्व करना चाहता था, बल्कि गणितीय अध्ययन और डॉटिंग के कैटलॉगिंग भी थे, जो अपने समय के गणितज्ञों के साथ तुलना करते थे।

उनके गणितीय दृष्टिकोण से, उनके साहसिक कार्य संभवतः वे हैं जिनमें उन्होंने एक साधारण यूक्लिडियन विमान पर नहीं बल्कि गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति पर चलते हुए डॉटिंग की व्यवस्था की है। हालांकि ये औपचारिक रूप से बिंदीदार नहीं होते हैं (चूंकि डॉवल्स को न केवल दोहराया जाता है, बल्कि स्केल भी किया जाता है), बुनियादी ज्यामितीय तर्क समान होते हैं, जो चुने गए गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति मॉडल के अनुकूल होते हैं। उदाहरण के लिए, प्रसिद्ध सर्कल लिमिट श्रृंखला में आप हेनरी पोनकारे द्वारा अध्ययन की गई हाइपरबोलिक योजना के पदों को पहचान सकते हैं।

उल्लेखनीय रूप से मेटामॉर्फोसिस श्रृंखला भी है, जिसमें एस्चर एक लंबी पट्टी में विभिन्न जियोमेट्रिक या हाथ से तैयार रूपांकनों के लिए अलग-अलग डिमिंग करते हैं, इस प्रकार यह विचार भी देते हैं कि सरल ज्यामितीय नियम डैल्सेल के आधार पर हर जगह और आधार पर मौजूद हैं प्रकृति का ही।

अक्सर एम। सी। एस्चर की ग्राफिक कला में टेसलेशन दिखाई दिए; जब वह 1936 में स्पेन का दौरा किया तो अल्हाम्ब्रा जैसे स्थानों में समरूपता के दलदल के उपयोग से प्रेरित था। एचर ने टाइलिंग के चार “सर्कल लिमिट” चित्र बनाए जो हाइपरबोलिक ज्यामिति का उपयोग करते हैं। अपने वुडकट “सर्कल लिमिट IV” (1960) के लिए, एस्चर ने आवश्यक ज्यामिति दिखाते हुए एक पेंसिल और स्याही अध्ययन तैयार किया। एस्चर ने स्पष्ट किया कि “सभी श्रृंखलाओं का कोई भी एकल घटक, जो असीम रूप से दूर से उठता है जैसे रॉकेट सीमा से लंबवत होते हैं और अंतिम बार इसमें खो जाते हैं, कभी सीमा रेखा तक पहुँच जाते हैं।”

टेसेलेटेड डिज़ाइन अक्सर वस्त्रों पर दिखाई देते हैं, चाहे वे बुने, सिले या मुद्रित हों। रजाई में पैच आकृतियों के इंटरलॉकिंग रूपांकनों को डिजाइन करने के लिए टेसेलेशन पैटर्न का उपयोग किया गया है।

Tessellations भी ओरिगेमी (पेपर फोल्डिंग) में एक मुख्य शैली है, जहां दोहराए जाने वाले फैशन में अणुओं को एक साथ मोड़ने के लिए प्लेट्स का उपयोग किया जाता है।

विनिर्माण क्षेत्र में:
कार के दरवाजे या पेय के डिब्बे जैसी वस्तुओं के लिए आकृतियाँ काटते समय शीट मेटल जैसे मटीरियल (अपव्यय) के अपव्यय को कम करने के लिए विनिर्माण उद्योग में टेसेलेशन का उपयोग किया जाता है।

सूक्ष्म फिल्मों और नैनोटेक्नोलाजी का उपयोग करते हुए आत्म-संगठन की डिग्री के साथ – पतली फिल्मों के खुर की तरह दरार में स्पष्ट है।

प्रकृति में:
छत्ते अपने षट्कोणीय कोशिकाओं के साथ प्रकृति में tessellation का एक प्रसिद्ध उदाहरण प्रदान करता है।

वनस्पति विज्ञान में, शब्द “टेसलेट” एक चेकर पैटर्न का वर्णन करता है, उदाहरण के लिए एक फूल की पंखुड़ी, पेड़ की छाल या फल पर। फ्रिल्लरी और कोलचिकम की कुछ प्रजातियों सहित फूल चरित्रहीन रूप से टेसलेट हैं।

प्रकृति में कई पैटर्न सामग्री की चादरों में दरार से बनते हैं। इन पैटर्नों को गिल्बर्ट टेस्यूलेशन द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जिन्हें यादृच्छिक दरार नेटवर्क के रूप में भी जाना जाता है। गिल्बर्ट टेसलेशन, मैडक्रैक, सुई जैसे क्रिस्टल और इसी तरह की संरचनाओं के निर्माण के लिए एक गणितीय मॉडल है। मॉडल, एडगर गिल्बर्ट के नाम पर, दरारें विमान पर बेतरतीब ढंग से बिखरे से शुरू करने की अनुमति देता है; प्रत्येक दरार दीक्षा बिंदु के माध्यम से एक रेखा के साथ दो विपरीत दिशाओं में फैलती है, इसका ढलान यादृच्छिक रूप से चुना जाता है, जिससे अनियमित उत्तल बहुभुज का एक मेल होता है। बेसाल्टिक लावा प्रवाह अक्सर संकुचन बलों के परिणामस्वरूप स्तंभ स्तंभ को जोड़ते हुए प्रदर्शित करते हैं, जिससे लावा ठंडा हो जाता है। व्यापक दरार वाले नेटवर्क जो अक्सर विकसित होते हैं, लावा के हेक्सागोनल कॉलम का उत्पादन करते हैं। इस तरह के स्तंभों का एक उदाहरण उत्तरी आयरलैंड में जायंट्स कॉजवे है। टेसेलेटेड फुटपाथ, जिसका एक विशिष्ट उदाहरण तस्मानिया के तस्मान प्रायद्वीप पर ईगलहॉक नेक में पाया जाता है, एक दुर्लभ तलछटी चट्टान का निर्माण है जहां चट्टान आयताकार खंडों में फ्रैक्चर हो गया है।

अन्य प्राकृतिक पैटर्न फोम में होते हैं; इन्हें पठार के नियमों के अनुसार पैक किया जाता है, जिसमें न्यूनतम सतहों की आवश्यकता होती है। इस तरह के फोम से कोशिकाओं को कसकर संभव के रूप में पैक करने में एक समस्या पेश होती है: 1887 में, लॉर्ड केल्विन ने केवल एक ठोस का उपयोग करके एक पैकिंग का प्रस्ताव दिया, बहुत कम मुड़े हुए चेहरे के साथ कटे हुए घन मधुकोश। 1993 में, डेनिस वीयर और रॉबर्ट फेलन ने वीयर-फेलन संरचना का प्रस्ताव दिया, जो कि केल्विन के फोम की तुलना में समान मात्रा की कोशिकाओं को अलग करने के लिए कम सतह क्षेत्र का उपयोग करता है।

पहेलियाँ और मनोरंजक गणित में:
पारंपरिक आरा पहेली (लकड़ी या कार्डबोर्ड के अनियमित टुकड़ों के साथ) और तांग्राम से अधिक आधुनिक पहेली के लिए कई प्रकार की टाइलिंग पहेली को जन्म दिया है, जिसमें अक्सर गणितीय आधार होता है। उदाहरण के लिए, पॉलिअमोंड्स और पॉलीओमीनो नियमित त्रिकोण और वर्गों के आंकड़े हैं, जिनका उपयोग अक्सर टाइलिंग पज़ल्स में किया जाता है। हेनरी ड्यूडेनी और मार्टिन गार्डनर जैसे लेखकों ने मनोरंजक गणित में टेसूलेशन के कई उपयोग किए हैं। उदाहरण के लिए, ड्यूडेनी ने टिका हुआ विच्छेदन का आविष्कार किया, जबकि गार्डनर ने रेप-टाइल के बारे में लिखा था, एक आकृति जिसे उसी आकार की छोटी प्रतियों में विच्छेदित किया जा सकता है। साइंटिफिक अमेरिकन में गार्डनर के लेखों से प्रेरित होकर, शौकिया गणितज्ञ मार्जोरी राइस को चार नए टेसू मिले हैं, जो कि प्यादों के साथ हैं। वर्ग को जोड़ना केवल अन्य अभिन्न वर्गों का उपयोग करके एक अभिन्न वर्ग (जिनके पक्ष में पूर्णांक लंबाई है) को टाइल करने की समस्या है। एक विस्तार विमान को चुकता कर रहा है, इसे वर्गों द्वारा टाइलिंग करता है जिनके आकार पुनरावृत्ति के बिना सभी प्राकृतिक संख्याएं हैं; जेम्स और फ्रेडरिक हेनले ने साबित किया कि यह संभव था।