गणित और कला
गणित और कला विभिन्न तरीकों से संबंधित हैं। गणित को ही सौंदर्य से प्रेरित कला के रूप में वर्णित किया गया है। गणित को संगीत, नृत्य, चित्रकला, वास्तुकला, मूर्तिकला और वस्त्र जैसे कलाओं में देखा जा सकता है। यह लेख, हालांकि, दृश्य कला में गणित पर केंद्रित है।
कला और गणित अक्सर प्लेटो की सुंदरता और सच्चाई के सादृश्य से जुड़े होते हैं। इस प्रश्न का परिसर अक्सर सोने की संख्या को बुलाता है। Phi पुनर्जागरण कला में मूर्तिकला और चित्रकला रचनाओं में अपनी आवर्ती उपस्थिति के माध्यम से कला से जुड़ा गणितीय निरंतर है। स्वर्ण अनुपात को एक नियम के रूप में माना जा रहा है कि एक हार्मोनल अनुपात प्राप्त करने के लिए पर्यवेक्षक के स्वाद को संतुष्ट करता है। यह प्रतिमान आंशिक है यदि कोई कला के इतिहास में और समकालीन सौंदर्य संबंधी क्रांतियों में गणित की भूमिका को समझना चाहता है। रचनात्मक प्रोटोकॉल, संरचनाओं और मॉर्फोजेनेस पर सवाल उठाना अधिक कुशल है। इसलिए रूपों और उन तरीकों के बारे में सवालों के पक्ष में प्लेटोनिक परिसर को छोड़ना आवश्यक है और वे माना जाता है। कला और गणित रुचि के संदर्भ में अभिसरण के कई अक्षों का निर्माण करते हैं जो गणितज्ञ और कलाकार परस्पर समर्थन करते हैं लेकिन उपयोग और प्रक्रियाओं के आसपास भी हैं। कई समकालीन सौंदर्य परियोजनाएं अधिक या कम स्पष्ट गणितीय प्रथाओं से आती हैं, लेकिन उनमें से सभी गणितीय संस्कृति के एक आश्चर्यजनक हद तक गवाह हैं। सौंदर्यशास्त्र और संरचनाओं के सवालों के सौंदर्य और सामंजस्य के सवाल से, गणित वास्तविकता की जटिलता, इसके अभ्यावेदन की संरचना, आकार और रूपों का आविष्कार करने की क्षमता की जांच करने के लिए कई उपकरण प्रदान करता है। प्रक्रिया।
गणित और कला का एक लंबा ऐतिहासिक रिश्ता है। 4 वीं शताब्दी ईसा पूर्व से कलाकारों ने गणित का उपयोग किया है, जब ग्रीक मूर्तिकार पॉलीक्लीटोस ने अपने कैनन को लिखा था, आदर्श पुरुष नग्न के लिए अनुपात 1: for2 के आधार पर अनुपातों को निर्धारित करते हुए। विश्वसनीय प्रमाणों के बिना प्राचीन कला और वास्तुकला में सुनहरे अनुपात के उपयोग के लिए लगातार लोकप्रिय दावे किए गए हैं। इतालवी पुनर्जागरण में, लुका पैसिओली ने कला में सुनहरे अनुपात के उपयोग पर लियोनार्डो दा विंची द्वारा वुडकट्स के साथ चित्रित प्रभावशाली ग्रंथ डी डिविना प्रोपोर्टियोन (1509) लिखा था। एक अन्य इतालवी चित्रकार, पिएरो डेला फ्रांसेस्का ने यू प्रोसीडेवा पिंगेंडी और उनके चित्रों में ग्रंथों में परिप्रेक्ष्य पर यूक्लिड के विचारों को विकसित किया। उकेरे अल्ब्रेक्ट ड्यूरर ने अपने काम में गणित के कई संदर्भ मेलेंकोलिया आई। आधुनिक समय में, ग्राफिक कलाकार एमसी एस्चर ने गणितज्ञ एचएसएम कॉक्सेटर की मदद से टेस्यूलेशन और हाइपरबोलिक ज्यामिति का गहन उपयोग किया, जबकि थियो के नेतृत्व में डी स्टिजल आंदोलन। वैन डोस्बर्ग और पीट मोंड्रियन ने स्पष्ट रूप से ज्यामितीय रूपों को अपनाया। गणित ने रजाई, बुनाई, क्रॉस-सिलाई, क्रोकेट, कढ़ाई, बुनाई, तुर्की और अन्य कालीन बनाने जैसी कपड़ा कलाओं के साथ-साथ किलिम को भी प्रेरित किया है। इस्लामी कला में, फ़ारसी गिरि और मोरक्को ज़िल्ली टिलवर्क के रूप में विविध रूप में स्पष्ट हैं, मुगल जाली ने पत्थर की स्क्रीन, और व्यापक मुकर्नास तिजोरी।
फ्रांस्वा मोरेल्ट अपने काम में गणित और ज्यामिति से लगातार प्रेरित थे। उनकी वेबसाइट से उद्धरण: फ्रांस्वा मोरेललेट के कार्यों को एक प्रणाली के अनुसार निष्पादित किया जाता है: प्रत्येक पसंद को पहले से स्थापित सिद्धांत द्वारा परिभाषित किया गया है। वह मौके का एक हिस्सा छोड़ते हुए कलात्मक सृजन को नियंत्रित करने के लिए छाप देना चाहता है, जो एक अप्रत्याशित तस्वीर देता है। वह सरल रूपों का उपयोग करता है, ठोस रंगों की एक छोटी संख्या और प्राथमिक रचनाएं (रसपोजिशन, सुपरपोजिशन, मौका, हस्तक्षेप, विखंडन)। वह इस प्रकार अपना पहला “फ्रेम” बनाता है, एक निर्धारित क्रम में सुपरिंपल की गई काली समानांतर लाइनों के नेटवर्क जो पेंटिंग्स की पूरी सतह को कवर करते हैं। ये सिस्टम Oulipo (Ouvroir de Littérature Potentielle) द्वारा प्रस्तावित संरचनाओं की याद दिलाते हैं और Raymond Queneau द्वारा वर्णित है: “हमारे काम का उद्देश्य क्या है? लेखकों को नए” संरचनाओं “की पेशकश करना, एक गणितीय प्रकृति, या यहां तक कि नए आविष्कार करना? कृत्रिम या यांत्रिक प्रक्रियाओं, साहित्यिक गतिविधि में योगदान “। इसके बाद, फ्रांस्वा मोरेललेट एक गणितीय ब्रह्मांड पर आधारित प्रणालियों का उपयोग करना जारी रखेगा।
उन्नीसवीं शताब्दी में, गॉस, लॉबेटचेव्स्की और रीमैन के कार्यों ने स्थानिक आयामों और विदेशी ज्यामिति के विचार को लोकप्रिय बनाया। अल्बर्ट आइंस्टीन, सापेक्षता के सिद्धांत को विकसित करने में, सुसंस्कृत सार्वजनिक नए प्रतिमानों का अवलोकन करते हैं, जो कुछ कलाकारों को प्रतिनिधित्व के अन्य तरीकों को खोजने के लिए जब्त करते हैं, अंतरिक्ष-समय का विचार उपजाऊ है और युवा ब्रिक और पिकासो सुनते हैं एक अंतरिक्ष के बारे में जो अब यूक्लिडियन नहीं है, लेकिन गोलाकार या अतिशयोक्तिपूर्ण है। यह कल्पना को उकसाता है और मार्सेल ड्युचैम्प सीढ़ी के वर्णन के नए तरीके प्रदान करता है और बीसवीं शताब्दी के पहले दशक के दौरान बटेऊ लावोर में निर्मित विश्लेषणात्मक क्यूबिज़्म, ब्रेक्स और पिकासो के सेमिनल कार्यों में। सदी। अंतरिक्ष की इस अवधारणा को बीसवीं सदी के कला इतिहास “एविग्नन की युवा महिलाओं” के मौलिक काम में सन्निहित किया जाएगा।
गणित ने सीधे तौर पर वैचारिक उपकरणों जैसे रैखिक परिप्रेक्ष्य, समरूपता के विश्लेषण और पॉलीहेड्रा और मोबीस पट्टी जैसे गणितीय वस्तुओं के साथ कला को प्रभावित किया है। मैग्नस वेनिंगर रंगीन स्टेल्टेड पॉलीहेड्रा बनाता है, मूल रूप से शिक्षण के लिए मॉडल के रूप में। पुनरावर्तन और तार्किक विरोधाभास जैसी गणितीय अवधारणाएं रेने मैग्रेट द्वारा और एम। सी। एचर द्वारा उत्कीर्ण चित्रों में देखी जा सकती हैं। कंप्यूटर कला अक्सर मंडेलब्रोट सेट सहित भग्न का उपयोग करती है, और कभी-कभी सेलुलर ऑटोमेटा जैसे अन्य गणितीय वस्तुओं की खोज करती है। विवादास्पद रूप से, कलाकार डेविड हॉकनी ने तर्क दिया है कि पुनर्जागरण के कलाकारों ने दृश्यों के सटीक प्रतिनिधित्व को आकर्षित करने के लिए कैमरा ल्यूसिडा का उपयोग किया; वास्तुकार फिलिप स्टैडमैन ने इसी तरह तर्क दिया कि वर्मीयर ने अपने विशिष्ट रूप से देखे गए चित्रों में कैमरा अस्पष्ट का उपयोग किया।
अन्य रिश्तों में एक्स-रे प्रतिदीप्ति स्पेक्ट्रोस्कोपी द्वारा कलाकृतियों का एल्गोरिदम विश्लेषण शामिल है, यह पता चलता है कि जावा के विभिन्न क्षेत्रों के पारंपरिक बैटिक में भिन्न भिन्नात्मक आयाम हैं, और गणित अनुसंधान के लिए उत्तेजनाएं हैं, विशेष रूप से फिलीपो ब्रुनेलेस्ची के परिप्रेक्ष्य के सिद्धांत, जो अंततः गिरार्ड डेसार्गस के अनुमान का कारण बना। ज्यामिति। एक सतत दृश्य, अंततः संगीत में सद्भाव की पायथागॉरियन धारणा पर आधारित है, यह मानता है कि सबकुछ नंबर द्वारा व्यवस्थित किया गया था, कि भगवान दुनिया का ज्यामिति है, और इसलिए दुनिया की ज्यामिति पवित्र है, जैसा कि विलियम ब्लेक की कलाकृतियों में देखा गया है समय से भी प्राचीन।
इतिहास में गणित और कला:
पॉलिक्लिटोस द बिग (c.450-420 ई.पू.) आर्गोस के स्कूल से एक ग्रीक मूर्तिकार था, और फिदियास का समकालीन था। उनकी कृतियों और प्रतिमाओं में मुख्य रूप से कांस्य और एथलीटों के थे। दार्शनिक और गणितज्ञ ज़ेनोक्रेट्स के अनुसार, पॉलीक्लीटोस को डॉरफोरस पर अपने काम के लिए शास्त्रीय पुरातनता के सबसे महत्वपूर्ण मूर्तिकारों और आर्गोस के हेरायन में हेरा की मूर्ति के रूप में स्थान दिया गया है। यद्यपि उनकी मूर्तियां शायद उतनी प्रसिद्ध नहीं हैं जितनी कि फिडियास की, वे बहुत प्रशंसित हैं। पॉलिक्लिटोस के कैनन में, एक ग्रंथ उन्होंने लिखा है जो पुरुष नग्न के “सही” शारीरिक अनुपात को दस्तावेज करने के लिए डिज़ाइन किया गया है, पॉलीक्लीटोस हमें मानव शरीर को मूर्तिकला करने के लिए गणितीय दृष्टिकोण प्रदान करता है।
Polykleitos मानव शरीर के अनुपात को निर्धारित करने के लिए मूल मॉड्यूल के रूप में छोटी उंगली के डिस्टल फालानक्स का उपयोग करता है। पोलीक्लीटोस, दूसरे चरण की दूरी पाने के लिए दो (√2) के वर्गमूल से डिस्टल फालानक्स की लंबाई को गुणा करता है और तीसरे फालैंग्स की लंबाई पाने के लिए लंबाई को फिर से √2 से गुणा करता है। इसके बाद, वह उंगली की लंबाई लेता है और उंगली के आधार से हथेली की लंबाई को पाने के लिए get2 तक गुणा करता है। माप की यह ज्यामितीय श्रृंखला तब तक आगे बढ़ती है जब तक कि पॉलिक्लिटोस ने हाथ, छाती, शरीर, और इसी तरह का गठन नहीं किया है।
Polykleitos के Canon का प्रभाव शास्त्रीय ग्रीक, रोमन और पुनर्जागरण मूर्तिकला में बहुत अधिक है, कई मूर्तिकार Polykleitos के पर्चे के बाद। जबकि पॉलिक्लिटोस के मूल कार्यों में से कोई भी जीवित नहीं है, रोमन प्रतियां भौतिक पूर्णता और गणितीय परिशुद्धता के अपने आदर्श को प्रदर्शित करती हैं। कुछ विद्वानों का तर्क है कि पाइथागोरस ने सोचा कि पॉलीक्लेइटोस के कैनन को प्रभावित किया है। कैनन ग्रीक ज्यामिति की बुनियादी गणितीय अवधारणाओं को लागू करता है, जैसे कि अनुपात, अनुपात और समरूपता (ग्रीक “सामंजस्यपूर्ण अनुपात” के लिए) और इसे निरंतर ज्यामितीय प्रगति की एक श्रृंखला के माध्यम से मानव रूप का वर्णन करने में सक्षम प्रणाली में बदल देता है।
शास्त्रीय समय में, दूर के आंकड़ों को रैखिक परिप्रेक्ष्य से छोटा करने के बजाय, चित्रकार वस्तुओं और आंकड़ों को उनके विषयगत महत्व के अनुसार आकार देते हैं। मध्य युग में, कुछ कलाकारों ने विशेष जोर देने के लिए रिवर्स परिप्रेक्ष्य का उपयोग किया। मुस्लिम गणितज्ञ अल्हज़ेन (इब्न अल-हयथम) ने 1021 में अपनी पुस्तक प्रकाशिकी में प्रकाशिकी के एक सिद्धांत का वर्णन किया, लेकिन इसे कभी कला में लागू नहीं किया। पुनर्जागरण ने शास्त्रीय ग्रीक और रोमन संस्कृति और विचारों का पुनर्जन्म देखा, उनमें से प्रकृति और कलाओं को समझने के लिए गणित का अध्ययन किया। दो प्रमुख उद्देश्यों ने देर से मध्य युग में कलाकारों और गणित के प्रति पुनर्जागरण को प्रेरित किया। सबसे पहले, चित्रकारों को यह पता लगाने की जरूरत थी कि दो-आयामी कैनवास पर तीन-आयामी दृश्यों को कैसे चित्रित किया जाए। दूसरे, दार्शनिक और कलाकार समान रूप से आश्वस्त थे कि गणित भौतिक दुनिया का सही सार था और कला सहित पूरे ब्रह्मांड को ज्यामितीय शब्दों में समझाया जा सकता है।
दृष्टिकोण की अशिष्टता Giotto (1266/7 – 1337) के साथ पहुंची, जिन्होंने दूर की रेखाओं के स्थान का निर्धारण करने के लिए एक बीजीय पद्धति का उपयोग करते हुए परिप्रेक्ष्य में आकर्षित करने का प्रयास किया। 1415 में, इतालवी वास्तुकार फिलिप्पो ब्रुनेलेस्ची और उनके मित्र लियोन बत्तीस्टा अल्बर्टी ने यूक्लिड द्वारा तैयार की गई समान त्रिकोणों का उपयोग करते हुए, दूर की वस्तुओं की स्पष्ट ऊंचाई का पता लगाने के लिए फ्लोरेंस में परिप्रेक्ष्य को लागू करने की ज्यामितीय विधि का प्रदर्शन किया। ब्रुनेलेस्ची के स्वयं के परिप्रेक्ष्य चित्र खो गए हैं, लेकिन मासिआस्को की पवित्र ट्रिनिटी की पेंटिंग काम में उनके सिद्धांतों को दर्शाती है।
इतालवी चित्रकार पाओलो उकेलो (1397-1475) को परिप्रेक्ष्य से मोहित किया गया था, जैसा कि द बैटल ऑफ सैन रोमानो (सी। 1435–1460) के उनके चित्रों में दिखाया गया है: टूटी हुई शेर परिप्रेक्ष्य लाइनों के साथ आसानी से झूठ बोलते हैं।
चित्रकार पिएरो डेला फ्रांसेस्का (c.1415–1492) ने इतालवी पुनर्जागरण की सोच में इस नई पारी का अनुकरण किया। वे डे प्रोस्पेक्टिवा पिंगेंडी (पेंटिंग के लिए परिप्रेक्ष्य), ट्राटाटो डीआबाको (अबाकस ट्रीसी), और डी कॉर्पोरस रेगुलरिबस (रेग्युलर सॉलिड्स) सहित ठोस ज्यामिति और परिप्रेक्ष्य पर किताबें लिखने वाले एक विशेषज्ञ गणितज्ञ और जियोमीटर थे। इतिहासकार वासरी ने अपने जीवन के चित्रकारों में पिएरो को “अपने समय का सबसे बड़ा ज्यामिति, या शायद किसी भी समय” कहा है। परिप्रेक्ष्य में पिएरो की रुचि पेरुगिया के पॉलिप्टिच, सैन एगोस्टीनो वेपरपीस और द फ्लैगेलेशन ऑफ क्राइस्ट सहित उनके चित्रों में देखी जा सकती है। ज्यामिति पर उनके काम ने बाद के गणितज्ञों और कलाकारों को प्रभावित किया, जिसमें लुका पैसिओली और उनके डी डिविना प्रॉपोर्टियोन और लियोनार्डो दा विंची शामिल थे। पिएरो ने शास्त्रीय गणित और आर्किमिडीज के कार्यों का अध्ययन किया। उन्हें “अबेकस स्कूलों” में व्यावसायिक अंकगणित सिखाया गया था; उनके लेखन को अबैकस स्कूल की पाठ्यपुस्तकों की तरह प्रारूपित किया गया है, शायद लियोनार्डो पिसानो (फाइबोनैचि) के 1202 लिबर अबकी सहित। रेखीय परिप्रेक्ष्य सिर्फ कलात्मक दुनिया में पेश किया जा रहा था। अल्बर्टी ने अपने १४३५ डी पिक्टुरा में समझाया: “प्रकाश की किरणें प्रेक्षित दृश्य में बिंदुओं से आंखों तक सीधी रेखाओं में यात्रा करती हैं, जो शिखर के रूप में आंख के साथ एक प्रकार का पिरामिड बनाती हैं।” रेखीय परिप्रेक्ष्य से निर्मित एक पेंटिंग उस पिरामिड का क्रॉस-सेक्शन है।
डी प्रोस्पेक्टिवा पिंगेंडी में, पिएरो गणितीय प्रमाणों के दृष्टिकोण से एक आकृति परिवर्तन के तरीके के अनुभवजन्य टिप्पणियों को बदल देता है। यूक्लिड की नस में उसका ग्रंथ शुरू होता है: वह बिंदु को “सबसे कठिन चीज जो आंख को समझना संभव है” के रूप में परिभाषित करता है। वह एक तीन आयामी शरीर के परिप्रेक्ष्य प्रतिनिधित्व के लिए पाठक का नेतृत्व करने के लिए निगमनात्मक तर्क का उपयोग करता है।
कलाकार डेविड हॉकनी ने अपनी पुस्तक सीक्रेट नॉलेज: द रिडीसओवरिंग द लॉस्ट टेक्नीक ऑफ़ द ओल्ड मास्टर्स में तर्क दिया कि कलाकारों ने 1420 के दशक से एक कैमरा ल्यूसिडा का उपयोग करना शुरू कर दिया था, जिसके परिणामस्वरूप सटीक और यथार्थवाद में अचानक बदलाव आया, और यह अभ्यास प्रमुख कलाकारों द्वारा जारी रखा गया था। इंगर्स, वैन आइक, और कारवागियो। आलोचक इस बात पर असहमत हैं कि हॉकनी सही थे या नहीं। इसी तरह, वास्तुकार फिलिप स्टीडमैन ने विवादास्पद रूप से तर्क दिया कि वर्मीयर ने अपने अलग-अलग देखे गए चित्रों को बनाने में मदद करने के लिए एक अलग उपकरण, कैमरा अस्पष्ट का उपयोग किया था।
1509 में, लुका पैसिओली (सी। 1447-1517) ने मानव चेहरे सहित गणितीय और कलात्मक अनुपात पर डी डिविना अनुपात प्रकाशित किया। लियोनार्डो दा विंची (1452-1515) ने नियमित ठोस पदार्थों के लकड़ी के पाठ का वर्णन किया, जबकि उन्होंने 1490 के दशक में पैकियोली के तहत अध्ययन किया था। लियोनार्डो के चित्र शायद कंकाल के ठोस पदार्थों के पहले चित्र हैं। ये, जैसे कि रोम्बिकुबॉक्टाहेड्रॉन, एक दूसरे के ऊपर मढ़ा जा रहा है, परिप्रेक्ष्य को प्रदर्शित करने के लिए सबसे पहले खींचा गया था। यह कार्य पियरो डेला फ्रांसेस्का, मेलोजो दा फोरलो और मार्को पाल्मेजानो के कार्यों में परिप्रेक्ष्य पर चर्चा करता है। दा विंची ने पैकियोली के सुम्मा का अध्ययन किया, जिसमें से उन्होंने आनुपातिक तालिकाओं की नकल की। मोना लिसा और द लास्ट सपर में, दा विंची के काम में स्पष्ट गहराई प्रदान करने के लिए एक लुप्त बिंदु के साथ रैखिक परिप्रेक्ष्य शामिल था। द लास्ट सपर का निर्माण 12: 6: 4: 3 के एक तंग अनुपात में किया गया है, जैसा कि राफेल के द स्कूल ऑफ एथेंस में है, जिसमें पायथागोरस के लिए पवित्र आदर्श अनुपात की एक गोली के साथ पाइथागोरस शामिल है। विट्रुवियन मैन में, लियोनार्डो ने रोमन वास्तुकार विट्रुवियस के विचारों को व्यक्त किया, जिसमें पुरुष आकृति को दो बार दिखाया गया था, और उसे एक चक्र और एक वर्ग दोनों में केंद्रित किया गया था।
15 वीं शताब्दी के प्रारंभ में, वक्रतापूर्ण परिप्रेक्ष्य को छवि विकृतियों में रुचि रखने वाले कलाकारों द्वारा चित्रों में अपना रास्ता मिल गया। जैन वान आइक के 1434 अर्नोल्लिनी पोर्ट्रेट में दृश्य में लोगों के प्रतिबिंबों के साथ उत्तल दर्पण होता है, जबकि पार्मिगियनिनो के स्व-चित्र में उत्तल दर्पण, सी। १५२३-१५२४, केंद्र में कलाकार के बड़े पैमाने पर बिना रुके चेहरे को दर्शाता है, जिसमें एक मजबूत घुमावदार पृष्ठभूमि और किनारे के आसपास कलाकार का हाथ है।
त्रि-आयामी अंतरिक्ष को कला में, तकनीकी ड्राइंग के रूप में, परिप्रेक्ष्य के अलावा अन्य साधनों के द्वारा स्पष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है। ओब्लिक अनुमानों, जिनमें कैवलियर परिप्रेक्ष्य (18 वीं शताब्दी में फ्रांसीसी सैन्य कलाकारों द्वारा किलेबंदी को चित्रित करने के लिए उपयोग किया जाता है) शामिल हैं, पहली और दूसरी शताब्दी से चीनी कलाकारों द्वारा 18 वीं शताब्दी तक लगातार और सर्वव्यापी रूप से उपयोग किया गया था। चीनियों ने भारत से तकनीक का अधिग्रहण किया, जिसने इसे प्राचीन रोम से प्राप्त किया। ओब्लिक प्रक्षेपण को जापानी कला में देखा जाता है, जैसे कि टोरी कियोनागा के उकियॉ-ए चित्रों में (1752-1815)।
गोल्डन अनुपात (लगभग 1.618 के बराबर) यूक्लिड के लिए जाना जाता था। मिस्र, यूनान और अन्य जगहों पर पूर्वजों द्वारा विश्वसनीय प्रमाणों के बिना कला और स्थापत्य कला में स्वर्ण अनुपात का लगातार दावा किया गया है। यह दावा “गोल्डन मीन” के साथ भ्रम से उत्पन्न हो सकता है, जिसका अर्थ प्राचीन यूनानियों के लिए “किसी भी दिशा में अधिकता से बचना” था, अनुपात नहीं। उन्नीसवीं सदी के बाद से पिरामिडविज्ञानी पिरामिड डिजाइन में सुनहरे अनुपात के लिए संदिग्ध गणितीय आधारों पर तर्क देते रहे हैं। एथेंस में 5 वीं शताब्दी ई.पू. मंदिर, पार्थेनन का दावा किया गया है कि इसके अग्रभाग और तल योजना में सुनहरे अनुपात का उपयोग किया जाता है, लेकिन ये दावे भी माप से अस्वीकृत हैं। ट्यूनीशिया में केयूरान की महान मस्जिद को इसी तरह से इसके डिजाइन में सुनहरे अनुपात का उपयोग करने का दावा किया गया है, लेकिन अनुपात मस्जिद के मूल हिस्सों में दिखाई नहीं देता है। वास्तुकला के इतिहासकार फ्रेडरिक मैकोडी लुंड ने 1919 में तर्क दिया कि कैथेड्रल ऑफ चार्ट्रेस (12 वीं शताब्दी), नोट्रे-डेम ऑफ लोन (1157-1205) और नोट्रे डेम डे पेरिस (1160) को सुनहरे अनुपात, ड्राइंग रेगुलेटर लाइनों के अनुसार बनाया गया है। उसका मामला बनाओ। अन्य विद्वानों का तर्क है कि 1509 में पैसिओली के काम तक, कलाकारों और वास्तुकारों के लिए स्वर्ण अनुपात अज्ञात था। उदाहरण के लिए, लाओण के नोट्रे-डेम के सामने की ऊंचाई और चौड़ाई का अनुपात 8/5 या 1.6 है, न कि 1.618। इस तरह के फाइबोनैचि अनुपात जल्दी से सुनहरे अनुपात से अलग हो जाते हैं। पचियोली के बाद, लियोनार्डो की मोना लिसा सहित कलाकृतियों में निश्चित रूप से सुनहरा अनुपात अधिक स्पष्ट है।
एक और अनुपात, केवल अन्य आकार की संख्या, 1928 में डच वास्तुकार हंस वैन डेर लान (मूल रूप से फ्रांसीसी में ले नामब्रे रेडिएंट नाम) द्वारा प्लास्टिक नंबर का नाम दिया गया था। इसका मान घन समीकरण का हल है
सहस्राब्दी के लिए प्लेन समरूपता का कालीन, जाली, वस्त्र और झुकाव जैसी कलाकृतियों में शोषण किया गया है।
कई पारंपरिक आसनों, चाहे ढेर कालीन या फ्लैटवाइव किकिम्स, एक केंद्रीय क्षेत्र और एक फ़्रेमिंग सीमा में विभाजित हैं; दोनों में समरूपता हो सकती है, हालांकि हाथ से बने कालीनों में ये अक्सर छोटे विवरण, पैटर्न के बदलाव और बुनकर द्वारा पेश किए गए रंगों में बदलाव से थोड़ा टूट जाते हैं। अनातोलिया से किलो में, इस्तेमाल किए गए रूपांकनों को खुद आमतौर पर सममित रूप से रखा जाता है। सामान्य लेआउट, भी, आम तौर पर मौजूद है, जैसे कि धारियों, धारियों के रूप में बारी-बारी से आकृति की पंक्तियों के साथ व्यवस्था, और लगभग हेक्सागोनल रूपांकनों के पैक्ड सरणियों। फ़ील्ड को आमतौर पर एक वॉलपेपर समूह जैसे कि पम्मी के साथ वॉलपेपर के रूप में बाहर रखा जाता है, जबकि सीमा को फ्रिज़ समूह pm11, pmm2 या pma2 के फ्रिजी के रूप में रखा जा सकता है। तुर्की और मध्य एशियाई किलों में अक्सर अलग-अलग फ्रेज़ समूहों में तीन या अधिक सीमाएँ होती हैं। बुनकरों में निश्चित रूप से समरूपता का इरादा था, इसके गणित के स्पष्ट ज्ञान के बिना। गणितज्ञ और वास्तुविद सिद्धांतवादी निकोस सालिंगारोस का सुझाव है कि “महान कालीन” की “शक्तिशाली उपस्थिति” (सौंदर्य प्रभाव) जैसे कि 17 वीं शताब्दी का सर्वश्रेष्ठ कोन्या दो-मेडल कालीन वास्तुकार क्रिस्टोफर के सिद्धांतों से संबंधित गणितीय तकनीकों से बनाया गया है। अलेक्जेंडर। इन तकनीकों में विरोधी जोड़े बनाना शामिल है; रंग मूल्यों का विरोध; ज्यामितीय रूप से विभेदित क्षेत्रों, चाहे पूरक आकृतियों का उपयोग करके या तेज कोणों की दिशात्मकता को संतुलित करके; छोटे स्तर की जटिलता प्रदान करना (ऊपर से गाँठ के स्तर पर) और दोनों छोटे और बड़े पैमाने पर समरूपता; विभिन्न तराजू के पदानुक्रम पर तत्वों को दोहराते हुए (प्रत्येक स्तर से लगभग 2.7 के अनुपात के साथ)। सालिंगारोस का तर्क है कि “सभी सफल कालीन उपरोक्त दस नियमों में से कम से कम नौ को संतुष्ट करते हैं” और सुझाव देते हैं कि इन नियमों से एक मीट्रिक बनाना संभव हो सकता है।
भारतीय जाली के काम में विस्तृत जाली पाए जाते हैं, जो संगमरमर और मकबरों को सजाने के लिए संगमरमर में उकेरे गए हैं। चीनी लट्टे, हमेशा कुछ समरूपता के साथ, 17 वॉलपेपर समूहों में से 14 में मौजूद होते हैं; उनके पास अक्सर दर्पण, डबल दर्पण, या घूर्णी समरूपता होती है। कुछ में एक केंद्रीय पदक होता है, और कुछ में एक फ्रिज़ समूह में सीमा होती है। कई चीनी अक्षांशों का विश्लेषण गणितीय रूप से डैनियल एस। डाई द्वारा किया गया है; वह शिल्प के केंद्र के रूप में सिचुआन की पहचान करता है।
कपड़ा कलाओं में रजाई, बुनाई, क्रॉस-सिलाई, क्रोकेट, कढ़ाई और बुनाई सहित प्रमुख हैं, जहां वे पूरी तरह से सजावटी हो सकते हैं या स्थिति के निशान हो सकते हैं। घूर्णी समरूपता गुंबदों जैसी गोलाकार संरचनाओं में पाई जाती है; इन्हें कभी-कभी इस्फ़हान में 1619 शेख लुतफुल्ला मस्जिद के अंदर और बाहर सममित पैटर्न के साथ सजाया गया है। कढ़ाई और फीता के काम जैसे कि टेबलक्लोथ और टेबल मैट जैसे सामान, बॉबिन का उपयोग करके या टेटिंग द्वारा बनाए जाते हैं, इसमें व्यापक रूप से परावर्तक और घूर्णी समरूपताएं हो सकती हैं जो गणितीय रूप से खोजी जा रही हैं।
इस्लामिक कला अपने कई कलाकृतियों में समरूपता का शोषण करती है, विशेष रूप से गिरि झुकाव में। ये पांच टाइल आकृतियों के एक सेट का उपयोग करके बनाए गए हैं, अर्थात् एक नियमित डेकोगन, एक लम्बी षट्भुज, एक धनुष टाई, एक रोम्बस और एक नियमित पेंटागन। इन टाइलों के सभी पक्षों की लंबाई समान है; और उनके सभी कोण 36 ° (5/5 रेडियन) के गुणक हैं, जो पाँच गुना और दस गुना समरूपता प्रदान करते हैं। टाइलों को स्ट्रैपवर्क लाइनों (गिरह) से सजाया जाता है, जो आमतौर पर टाइल की सीमाओं से अधिक दिखाई देती हैं। 2007 में, भौतिकविदों पीटर लू और पॉल स्टीनहर्ट ने तर्क दिया कि गिरि क्वैस्क्रिस्टलाइन पेनरोस टिलिंग्स जैसा दिखता था। मोरोक्कन आर्किटेक्चर में विस्तृत ज्यामितीय ज़ूलिंग टिलवर्क एक विशिष्ट तत्व है। मुकर्नस वाल्ट्स तीन आयामी हैं, लेकिन ज्यामितीय कोशिकाओं के चित्र के साथ दो आयामों में डिजाइन किए गए थे।
प्लेटोनिक ठोस और अन्य पॉलीहेड्रा पश्चिमी कला में एक आवर्ती विषय हैं। उदाहरण के लिए, वे एक संगमरमर मोज़ेक में हैं, जिसमें छोटे स्टेलेटेड डोडेकेर्रोन की विशेषता है, जो वेनिस में सैन मार्को बेसिलिका के फर्श में पाओलो उकेलो के लिए जिम्मेदार है; लिओनार्दो दा विंची के नियमित पॉलीहेड्रा के आरेखों में लुका पैसिओली की 1509 की पुस्तक द डिवाइन प्रॉपर के लिए चित्र के रूप में तैयार किया गया है; जैकोपो डे बारारी के पचोइली के चित्र में एक ग्लास rhombicuboctahedron के रूप में, 1495 में चित्रित; अल्ब्रेक्ट ड्यूरर के उत्कीर्णन मेलेंकोलिया I में काटे गए पॉलीहेड्रॉन (और विभिन्न अन्य गणितीय वस्तुओं); और साल्वाडोर डाली की पेंटिंग द लास्ट सपर जिसमें मसीह और उनके शिष्यों को एक विशालकाय डोडेकाहेड्रोन के अंदर चित्रित किया गया है।
अल्ब्रेक्ट ड्यूरर (1471-1528) एक जर्मन पुनर्जागरण प्रिंटमेकर था, जिसने अपनी 1525 की किताब, अंडरवेयसुंग डेर मेसुंग (माप पर शिक्षा) में पॉलीहेडल साहित्य में महत्वपूर्ण योगदान दिया, जिसका अर्थ था रेखीय परिप्रेक्ष्य, वास्तुकला में ज्यामिति, प्लेटोनिक ठोस, और नियमित बहुभुज। ड्यूरर की इटली यात्रा के दौरान लुका पसिओली और पिएरो डेला फ्रांसेस्का के कामों से प्रभावित होने की संभावना थी। जबकि अंडरवेयसुंग डेर मेसुंग में परिप्रेक्ष्य के उदाहरण अविकसित हैं और इसमें अशुद्धियां शामिल हैं, इसमें पॉलीहेड्रा की विस्तृत चर्चा है। ड्यूरर पाठ में पहली बार पॉलीहेड्रल नेट के विचार को पेश करता है, पॉलीहेड्रा मुद्रण के लिए फ्लैट झूठ बोलता है। Dürer ने 1528 में Vier Bücher von Menschlicher Proportion (फोर बुक ऑन ह्यूमन प्रोपोशन) नामक मानव अनुपात पर एक और प्रभावशाली पुस्तक प्रकाशित की।
ड्यूरर के प्रसिद्ध उत्कीर्णन मेलेंकोलिया I में एक कुंठित त्रिकोणीय ट्रैपेज़ोहेड्रॉन और एक जादू वर्ग द्वारा बैठे एक निराश विचारक को दर्शाया गया है। ये दो वस्तुएं, और समग्र रूप में उत्कीर्णन, लगभग किसी भी अन्य प्रिंट की सामग्री की तुलना में अधिक आधुनिक व्याख्या का विषय रहा है, जिसमें पीटर-क्लॉस शस्टर द्वारा दो-खंड पुस्तक, और इरविन पैनोफस्की के ड्यूरर के मोनोग्राफ में एक प्रभावशाली चर्चा शामिल है। । साल्वाडोर डाली के कॉर्पस हाइपरक्यूबस में हाइपरक्यूब, चार-आयामी नियमित पॉलीहेड्रॉन के लिए तीन-आयामी नेट दर्शाया गया है।
कपड़े पर पारंपरिक इंडोनेशियाई वैक्स-विरोध बैटिक डिज़ाइन, सार और कुछ अराजक तत्वों के साथ प्रतिनिधित्वात्मक रूपांकनों (जैसे पुष्प और वनस्पति तत्व) को जोड़ते हैं, जिसमें मोम प्रतिरोध को लागू करने में अशुद्धता और मोम के टूटने से उत्पन्न यादृच्छिक भिन्नता शामिल है। बाटिक डिजाइनों में 1 और 2 के बीच एक भिन्नात्मक आयाम होता है, जो विभिन्न क्षेत्रीय शैलियों में भिन्न होता है। उदाहरण के लिए, साइरबन के बैटिक में भग्न आयाम 1.1 है; मध्य जावा में योग्याकार्ता और सुरकार्ता (सोलो) के बैटिक का भग्न आयाम 1.2 से 1.5 है; और जावा के उत्तरी तट पर लसेम और पश्चिम जावा में तसिकमालय के बैटिकों में 1.5 और 1.7 के बीच एक फ्रैक्टल आयाम है।
आधुनिक कलाकार जैक्सन पोलक के ड्रिप पेंटिंग कार्य उनके भग्न आयाम में समान रूप से विशिष्ट हैं। उनके 1948 नंबर 14 में 1.45 का तटरेखा जैसा आयाम है, जबकि उनके बाद के चित्रों में क्रमिक रूप से उच्च भग्न आयाम थे और तदनुसार अधिक विस्तृत पैटर्न। उनके अंतिम कार्यों में से एक, ब्लू पोल्स को बनाने में छह महीने लगे, और इसका भग्न आयाम 1.72 है।
गणित और कला का जटिल संबंध:
खगोलशास्त्री गैलीलियो गैलीली ने अपने इल सागीगटोर में लिखा है कि “[ब्रह्मांड] गणित की भाषा में लिखा गया है, और इसके पात्र त्रिकोण, वृत्त और अन्य ज्यामितीय आकृतियाँ हैं।” प्रकृति का अध्ययन करने के लिए प्रयास करने वाले कलाकारों को सबसे पहले, गैलीलियो के दृष्टिकोण में, गणित को पूरी तरह से समझना चाहिए। गणितज्ञों, इसके विपरीत, ज्यामिति और तर्कसंगतता के लेंस के माध्यम से कला की व्याख्या और विश्लेषण करने की मांग की है। गणितज्ञ फेलिप कूकर का सुझाव है कि गणित, और विशेष रूप से ज्यामिति, “नियम-संचालित कलात्मक निर्माण” के लिए नियमों का एक स्रोत है, हालांकि केवल एक ही नहीं है। परिणामस्वरूप जटिल संबंधों के कई किस्में में से कुछ नीचे वर्णित हैं।
गणितज्ञ जेरी पी। किंग ने गणित को एक कला के रूप में वर्णित किया है, जिसमें कहा गया है कि “गणित की कुंजी सुंदरता और लालित्य है न कि नीरसता और तकनीकीता”, और यह सुंदरता गणितीय अनुसंधान के लिए प्रेरक शक्ति है। राजा गणितज्ञ जी। एच। हार्डी के 1940 के निबंध ए मैथेमेटिशियन के माफी का हवाला देते हैं। इसमें, हार्डी ने चर्चा की कि वे शास्त्रीय काल के दो प्रमेयों को पहली दर के रूप में क्यों पाते हैं, अर्थात् यूक्लिड के प्रमाण में असीम रूप से कई अभाज्य संख्याएँ हैं, और यह प्रमाण कि 2 का वर्गमूल अपरिमेय है। राजा ने गणितीय लालित्य के लिए हार्डी के मानदंडों के खिलाफ अंतिम मूल्यांकन किया: “गंभीरता, गहराई, व्यापकता, अप्रत्याशितता, अपरिहार्यता, और अर्थव्यवस्था” (राजा के इटालिक्स), और “सौंदर्यवादी रूप से मनभावन” के रूप में प्रमाण का वर्णन करता है। हंगेरियन गणितज्ञ पॉल एर्दो ने सहमति व्यक्त की कि गणित में सुंदरता थी, लेकिन स्पष्टीकरण से परे कारणों पर विचार किया: “संख्या सुंदर क्यों हैं? यह पूछने जैसा है कि बीथोवेन की नौवीं सिम्फनी सुंदर क्यों है। यदि आप नहीं देखते हैं, तो कोई आपको बता नहीं सकता है। मुझे नहीं पता। नंबर सुंदर हैं। ”
गणित को कई कलाओं जैसे संगीत, नृत्य, चित्रकला, वास्तुकला और मूर्तिकला में देखा जा सकता है। इनमें से प्रत्येक गणित से समृद्ध रूप से जुड़ा हुआ है। दृश्य कला के कनेक्शन के बीच, गणित कलाकारों के लिए उपकरण प्रदान कर सकता है, जैसे कि ब्रुक टेलर और जोहान लैम्बर्ट द्वारा वर्णित रेखीय परिप्रेक्ष्य के नियम, या वर्णनात्मक ज्यामिति के तरीके, जो अब ठोस पदार्थों के सॉफ्टवेयर मॉडलिंग में लागू होते हैं, जो अल्फ्रेड को वापस डेटिंग करते हैं। ड्यूरर और गैसपार्ड स्पंज। मध्य युग में लुका पसिओली के कलाकारों और पुनर्जागरण में लियोनार्डो दा विंची और अल्ब्रेक्ट ड्यूरर ने अपने कलात्मक कार्यों की खोज में गणितीय विचारों का उपयोग और विकास किया है। प्राचीन ग्रीस की वास्तुकला में कुछ भ्रूण usages के बावजूद परिप्रेक्ष्य का उपयोग शुरू हुआ, 13 वीं शताब्दी में Giotto जैसे इतालवी चित्रकारों के साथ; लुप्त होने के बिंदु जैसे नियम पहली बार 1413 में ब्रुनेलेस्की द्वारा तैयार किए गए थे, उनका सिद्धांत लियोनार्डो और ड्यूर को प्रभावित करता है। आइजैक न्यूटन के ऑप्टिकल स्पेक्ट्रम पर काम ने गोएथ्स की थ्योरी ऑफ कलर्स को प्रभावित किया और फिलिप ओटो रनगे, जे। एम। डब्ल्यू। टर्नर, प्री-राफेलाइट्स और वासिली कैंडिंस्की जैसे कलाकारों को प्रभावित किया। कलाकार किसी दृश्य की समरूपता का विश्लेषण करने का विकल्प भी चुन सकते हैं। उपकरण गणितज्ञों द्वारा लागू किए जा सकते हैं, जो कला की खोज कर रहे हैं, या गणित से प्रेरित कलाकार, जैसे कि एमसी एस्चर (एचएसएम कॉक्सटर से प्रेरित) और वास्तुकार फ्रैंक गेहरी, जिन्होंने और अधिक दृढ़ता से तर्क दिया कि कंप्यूटर एडेड डिजाइन ने उन्हें पूरी तरह से नए रूप में व्यक्त करने में सक्षम बनाया। मार्ग।
कलाकार रिचर्ड राइट का तर्क है कि जिन गणितीय वस्तुओं का निर्माण किया जा सकता है, उन्हें “घटनाओं को अनुकरण करने के लिए प्रक्रियाओं” या “कंप्यूटर कला” के कार्यों के रूप में देखा जा सकता है। वह गणितीय विचार की प्रकृति पर विचार करता है, यह देखते हुए कि भग्न गणितज्ञों के लिए एक सदी से पहले ज्ञात थे, क्योंकि उन्हें इस तरह से मान्यता दी गई थी। राइट ने यह कहते हुए निष्कर्ष निकाला कि गणितीय वस्तुओं को किसी भी तरीके के अधीन करने के लिए उपयुक्त है, “कला की तरह सांस्कृतिक कलाकृतियों के साथ आने के लिए, निष्पक्षता और व्यक्तिवाद के बीच तनाव, उनके रूपक अर्थ और प्रतिनिधित्व प्रणालियों के चरित्र।” वह उदाहरण के रूप में मैंडेलब्रॉट सेट से एक छवि, एक सेल्यूलर ऑटोमैटन एल्गोरिथ्म, और एक कंप्यूटर प्रदान की गई छवि से उत्पन्न छवि देता है और ट्यूरिंग परीक्षण के संदर्भ में चर्चा करता है कि क्या एल्गोरिथम उत्पाद कला हो सकते हैं। Sasho Kalajdzievski’s Math and Art: विज़ुअल मैथमेटिक्स का एक परिचय एक समान दृष्टिकोण लेता है, जो अनुकूल रूप से दृश्य गणित विषयों जैसे कि झुकाव, भग्न और हाइपरबोलिक ज्यामिति को देखता है।
कंप्यूटर कला की कुछ पहली रचनाएँ डेसमंड पॉल हेनरी की “ड्राइंग मशीन 1” द्वारा बनाई गई थीं, जो एक बमबारी कंप्यूटर पर आधारित एक एनालॉग मशीन थी और 1962 में प्रदर्शित की गई थी। मशीन जटिल, अमूर्त, विषम, घुंघराले, लेकिन दोहराव वाली रेखा बनाने में सक्षम थी। चित्र। अभी हाल ही में, हामिद नादेरी येगनेह ने वास्तविक दुनिया की वस्तुओं जैसे मछली और पक्षियों की आकृति का निर्माण किया है, जो फ़ार्मुलों या कोण रेखाओं के परिवारों को खींचने के लिए क्रमिक रूप से विविध हैं। Mikael Hvidtfeldt Christensen जैसे कलाकार एक सॉफ्टवेयर सिस्टम के लिए स्क्रिप्ट लिखकर जेनेरिक या एल्गोरिथम कला के काम का निर्माण करते हैं जैसे कि स्ट्रक्चर सिंथ: कलाकार प्रभावी रूप से डेटा के चुने हुए सेट पर गणितीय संचालन के वांछित संयोजन को लागू करने के लिए सिस्टम को निर्देशित करता है।
गणितज्ञ और सैद्धांतिक भौतिक विज्ञानी हेनरी पोनकारे के विज्ञान और परिकल्पना को क्यूबिस्टों द्वारा व्यापक रूप से पढ़ा गया था, जिसमें पाब्लो पिकासो और जीन मेटज़िंगर शामिल थे। पोनकारे ने यूक्लिडियन ज्यामिति को एक पूर्ण उद्देश्य सत्य के बजाय कई संभावित ज्यामितीय विन्यासों में से एक के रूप में देखा। चौथे आयाम के संभावित अस्तित्व ने कलाकारों को शास्त्रीय पुनर्जागरण के परिप्रेक्ष्य पर सवाल उठाने के लिए प्रेरित किया: गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति एक वैध विकल्प बन गया। चित्रकला की अवधारणा को रंग और रूप में गणितीय रूप से व्यक्त किया जा सकता है, ने कलावाद में योगदान दिया, कला आंदोलन जिसने अमूर्त कला का नेतृत्व किया। मेटज़िंगर ने 1910 में लिखा था कि: “[पिकासो] एक स्वतंत्र, मोबाइल परिप्रेक्ष्य देता है, जिसमें से उस कुशल गणितज्ञ मौरिस प्रिंसेट ने एक पूरी ज्यामिति काटा है”। बाद में, मेटज़िंगर ने अपने संस्मरणों में लिखा:
मौरिस प्रिंसेट अक्सर हमारे साथ शामिल हुए … यह एक कलाकार के रूप में था कि उन्होंने गणित को एक सिद्धांतवादी के रूप में अवधारणाबद्ध किया था कि उन्होंने एन-आयामी सातत्य का आह्वान किया था। वह अंतरिक्ष में नए विचारों में रुचि रखने वाले कलाकारों को प्राप्त करना पसंद करते थे जो श्लेगल और कुछ अन्य लोगों द्वारा खोले गए थे। वह उस पर सफल रहा।
गणितीय रूपों के शिक्षण या अनुसंधान मॉडल बनाने का आवेग स्वाभाविक रूप से उन वस्तुओं को बनाता है जिनमें समरूपता और आश्चर्यजनक या मनभावन आकृतियाँ होती हैं। इनमें से कुछ ने डेडिस्ट्स मैन रे, मार्सेल ड्यूचम्प और मैक्स अर्न्स्ट जैसे कलाकारों और मैन रे, हिरोशी सुगिमोटो का अनुसरण करने के लिए प्रेरित किया है।
मैन रे ने पेरिस में इंस्टीट्यूट हेनरी पोनकारे में कुछ गणितीय मॉडल का फोटो खींचा, जिसमें ओबेट गणित (गणितीय वस्तु) शामिल है। उन्होंने उल्लेख किया कि यह छद्म क्षेत्र से प्राप्त निरंतर नकारात्मक वक्रता के साथ एननेपर सतहों का प्रतिनिधित्व करता था। यह गणितीय आधार उसके लिए महत्वपूर्ण था, क्योंकि इससे उसे इनकार करने की अनुमति मिली कि वस्तु “अमूर्त” थी, बजाय यह दावा करते हुए कि यह उतना ही वास्तविक था जितना कि डुकैम्प ने कला के काम में बनाया था। मैन रे ने स्वीकार किया कि ऑब्जेक्ट का [एनीपर सतह] सूत्र “मेरे लिए कुछ भी नहीं था, लेकिन स्वयं के रूप प्रकृति में किसी भी रूप में विविध और प्रामाणिक थे।” उन्होंने गणितीय मॉडल के अपने चित्रों का उपयोग अपनी श्रृंखला में आंकड़ों के रूप में किया जो उन्होंने शेक्सपियर के नाटकों पर किया था, जैसे कि उनकी 1934 की पेंटिंग एंटनी और क्लियोपेट्रा। ForbesLife में लिखने वाले आर्ट रिपोर्टर जोनाथन कीट्स का तर्क है कि मैन रे ने “किल्की मोंटपार्नेस्से की अपनी तस्वीरों के समान कामुक प्रकाश में अण्डाकार पैराबोइड्स और शंकुर बिंदुओं” की फोटो खींची, और “गणित की टोपोलॉजी को प्रकट करने के लिए गणित की शांत गणनाओं को निष्ठापूर्वक दोहराता है। इच्छा”। Twentieth century sculptors such as Henry Moore, Barbara Hepworth and Naum Gabo took inspiration from mathematical models. Moore wrote of his 1938 Stringed Mother and Child: “Undoubtedly the source of my stringed figures was the Science Museum … I was fascinated by the mathematical models I saw there … It wasn’t the scientific study of these models but the ability to look through the strings as with a bird cage and to see one form within another which excited me.”
The artists Theo van Doesburg and Piet Mondrian founded the De Stijl movement, which they wanted to “establish a visual vocabulary comprised of elementary geometrical forms comprehensible by all and adaptable to any discipline”. Many of their artworks visibly consist of ruled squares and triangles, sometimes also with circles. De Stijl artists worked in painting, furniture, interior design and architecture. After the breakup of De Stijl, Van Doesburg founded the Avant-garde Art Concret movement, describing his 1929–1930 Arithmetic Composition, a series of four black squares on the diagonal of a squared background, as “a structure that can be controlled, a definite surface without chance elements or individual caprice”, yet “not lacking in spirit, not lacking the universal and not … empty as there is everything which fits the internal rhythm”. The art critic Gladys Fabre observes that two progressions are at work in the painting, namely the growing black squares and the alternating backgrounds.
The mathematics of tessellation, polyhedra, shaping of space, and self-reference provided the graphic artist M. C. Escher (1898—1972) with a lifetime’s worth of materials for his woodcuts. In the Alhambra Sketch, Escher showed that art can be created with polygons or regular shapes such as triangles, squares, and hexagons. Escher used irregular polygons when tiling the plane and often used reflections, glide reflections, and translations to obtain further patterns. Many of his works contain impossible constructions, made using geometrical objects which set up a contradiction between perspective projection and three dimensions, but are pleasant to the human sight. Escher’s Ascending and Descending is based on the “impossible staircase” created by the medical scientist Lionel Penrose and his son the mathematician Roger Penrose.
Some of Escher’s many tessellation drawings were inspired by conversations with the mathematician H. S. M. Coxeter on hyperbolic geometry. Escher was especially interested in five specific polyhedra, which appear many times in his work. The Platonic solids—tetrahedrons, cubes, octahedrons, dodecahedrons, and icosahedrons—are especially prominent in Order and Chaos and Four Regular Solids. These stellated figures often reside within another figure which further distorts the viewing angle and conformation of the polyhedrons and provides a multifaceted perspective artwork.
The visual intricacy of mathematical structures such as tessellations and polyhedra have inspired a variety of mathematical artworks. Stewart Coffin makes polyhedral puzzles in rare and beautiful woods; George W. Hart works on the theory of polyhedra and sculpts objects inspired by them; Magnus Wenninger makes “especially beautiful” models of complex stellated polyhedra.
The distorted perspectives of anamorphosis have been explored in art since the sixteenth century, when Hans Holbein the Younger incorporated a severely distorted skull in his 1553 painting The Ambassadors. Many artists since then, including Escher, have make use of anamorphic tricks.
The mathematics of topology has inspired several artists in modern times. The sculptor John Robinson (1935–2007) created works such as Gordian Knot and Bands of Friendship, displaying knot theory in polished bronze. Other works by Robinson explore the topology of toruses. Genesis is based on Borromean rings – a set of three circles, no two of which link but in which the whole structure cannot be taken apart without breaking. The sculptor Helaman Ferguson creates complex surfaces and other topological objects. His works are visual representations of mathematical objects; The Eightfold Way is based on the projective special linear group PSL(2,7), a finite group of 168 elements. The sculptor Bathsheba Grossman similarly bases her work on mathematical structures.
A liberal arts inquiry project examines connections between mathematics and art through the Möbius strip, flexagons, origami and panorama photography.
Mathematical objects including the Lorenz manifold and the hyperbolic plane have been crafted using fiber arts including crochet. The American weaver Ada Dietz wrote a 1949 monograph Algebraic Expressions in Handwoven Textiles, defining weaving patterns based on the expansion of multivariate polynomials. The mathematician J. C. P. Miller used the Rule 90 cellular automaton to design tapestries depicting both trees and abstract patterns of triangles. The “mathekniticians” Pat Ashforth and Steve Plummer use knitted versions of mathematical objects such as hexaflexagons in their teaching, though their Menger sponge proved too troublesome to knit and was made of plastic canvas instead. Their “mathghans” (Afghans for Schools) project introduced knitting into the British mathematics and technology curriculum.
Mathematics Modelling:
Modelling is far from the only possible way to illustrate mathematical concepts. Giotto’s Stefaneschi Triptych, 1320, illustrates recursion in the form of mise en abyme; the central panel of the triptych contains, lower left, the kneeling figure of Cardinal Stefaneschi, holding up the triptych as an offering. Giorgio Chirico’s metaphysical paintings such as his 1917 Great Metaphysical Interior explore the question of levels of representation in art by depicting paintings within his paintings.
Art can exemplify logical paradoxes, as in some paintings by the surrealist René Magritte, which can be read as semiotic jokes about confusion between levels. In La condition humaine (1933), Magritte depicts an easel (on the real canvas), seamlessly supporting a view through a window which is framed by “real” curtains in the painting. Similarly, Escher’s Print Gallery (1956) is a print which depicts a distorted city which contains a gallery which recursively contains the picture, and so ad infinitum. Magritte made use of spheres and cuboids to distort reality in a different way, painting them alongside an assortment of houses in his 1931 Mental Arithmetic as if they were children’s building blocks, but house-sized. The Guardian observed that the “eerie toytown image” prophesied Modernism’s usurpation of “cosy traditional forms”, but also plays with the human tendency to seek patterns in nature.
Salvador Dalí’s last painting, The Swallow’s Tail (1983), was part of a series inspired by René Thom’s catastrophe theory. The Spanish painter and sculptor Pablo Palazuelo (1916–2007) focused on the investigation of form. He developed a style that he described as the geometry of life and the geometry of all nature. Consisting of simple geometric shapes with detailed patterning and coloring, in works such as Angular I and Automnes, Palazuelo expressed himself in geometric transformations.
The artist Adrian Gray practises stone balancing, exploiting friction and the centre of gravity to create striking and seemingly impossible compositions.
Artists, however, do not necessarily take geometry literally. As Douglas Hofstadter writes in his 1980 reflection on human thought, Gödel, Escher, Bach, by way of (among other things) the mathematics of art: “The difference between an Escher drawing and non-Euclidean geometry is that in the latter, comprehensible interpretations can be found for the undefined terms, resulting in a comprehensible total system, whereas for the former, the end result is not reconcilable with one’s conception of the world, no matter how long one stares at the pictures.” Hofstadter discusses the seemingly paradoxical lithograph Print Gallery by M. C. Escher; it depicts a seaside town containing an art gallery which seems to contain a painting of the seaside town, there being a “strange loop, or tangled hierarchy” to the levels of reality in the image. The artist himself, Hofstadter observes, is not seen; his reality and his relation to the lithograph are not paradoxical. The image’s central void has also attracted the interest of mathematicians Bart de Smit and Hendrik Lenstra, who propose that it could contain a Droste effect copy of itself, rotated and shrunk; this would be a further illustration of recursion beyond that noted by Hofstadter.
Algorithmic analysis of images of artworks, for example using X-ray fluorescence spectroscopy, can reveal information about art. Such techniques can uncover images in layers of paint later covered over by an artist; help art historians to visualize an artwork before it cracked or faded; help to tell a copy from an original, or distinguish the brushstroke style of a master from those of his apprentices.
Jackson Pollock’s drip painting style has a definite fractal dimension; among the artists who may have influenced Pollock’s controlled chaos, Max Ernst painted Lissajous figures directly by swinging a punctured bucket of paint over a canvas.
The computer scientist Neil Dodgson investigated whether Bridget Riley’s stripe paintings could be characterised mathematically, concluding that while separation distance could “provide some characterisation” and global entropy worked on some paintings, autocorrelation failed as Riley’s patterns were irregular. Local entropy worked best, and correlated well with the description given by the art critic Robert Kudielka.
The American mathematician George Birkhoff’s 1933 Aesthetic Measure proposes a quantitative metric of the aesthetic quality of an artwork. It does not attempt to measure the connotations of a work, such as what a painting might mean, but is limited to the “elements of order” of a polygonal figure. Birkhoff first combines (as a sum) five such elements: whether there is a vertical axis of symmetry; whether there is optical equilibrium; how many rotational symmetries it has; how wallpaper-like the figure is; and whether there are unsatisfactory features such as having two vertices too close together. This metric, O, takes a value between −3 and 7. The second metric, C, counts elements of the figure, which for a polygon is the number of different straight lines containing at least one of its sides. Birkhoff then defines his aesthetic measure of an object’s beauty as O/C. This can be interpreted as a balance between the pleasure looking at the object gives, and the amount of effort needed to take it in. Birkhoff’s proposal has been criticized in various ways, not least for trying to put beauty in a formula, but he never claimed to have done that.
Art has sometimes stimulated the development of mathematics, as when Brunelleschi’s theory of perspective in architecture and painting started a cycle of research that led to the work of Brook Taylor and Johann Heinrich Lambert on the mathematical foundations of perspective drawing, and ultimately to the mathematics of projective geometry of Girard Desargues and Jean-Victor Poncelet.
The Japanese paper-folding art of origami has been reworked mathematically by Tomoko Fusé using modules, congruent pieces of paper such as squares, and making them into polyhedra or tilings. Paper-folding was used in 1893 by T. Sundara Rao in his Geometric Exercises in Paper Folding to demonstrate geometrical proofs. The mathematics of paper folding has been explored in Maekawa’s theorem, Kawasaki’s theorem, and the Huzita–Hatori axioms.
Optical illusions such as the Fraser spiral strikingly demonstrate limitations in human visual perception, creating what the art historian Ernst Gombrich called a “baffling trick.” The black and white ropes that appear to form spirals are in fact concentric circles. The mid-twentieth century Op art or optical art style of painting and graphics exploited such effects to create the impression of movement and flashing or vibrating patterns seen in the work of artists such as Bridget Riley, Spyros Horemis, and Victor Vasarely.
A strand of art from Ancient Greece onwards sees God as the geometer of the world, and the world’s geometry therefore as sacred. The belief that God created the universe according to a geometric plan has ancient origins. Plutarch attributed the belief to Plato, writing that “Plato said God geometrizes continually” (Convivialium disputationum, liber 8,2). This image has influenced Western thought ever since. The Platonic concept derived in its turn from a Pythagorean notion of harmony in music, where the notes were spaced in perfect proportions, corresponding to the lengths of the lyre’s strings; indeed, the Pythagoreans held that everything was arranged by Number. In the same way, in Platonic thought, the regular or Platonic solids dictate the proportions found in nature, and in art. A Mediaeval manuscript illustration may refer to a verse in the Old Testament: “When he established the heavens I was there: when he set a compass upon the face of the deep” (Proverbs 8:27), showing God drawing out the universe with a pair of compasses. In 1596, the mathematical astronomer Johannes Kepler modelled the universe as a set of nested Platonic solids, determining the relative sizes of the orbits of the planets. William Blake’s Ancient of Days and his painting of the physicist Isaac Newton, naked and drawing with a compass, attempt to depict the contrast between the mathematically perfect spiritual world and the imperfect physical world, as in a different way does Salvador Dalí’s 1954 Crucifixion (Corpus Hypercubus), which depicts the cross as a hypercube, representing the divine perspective with four dimensions rather than the usual three. In Dali’s The Sacrament of the Last Supper (1955) Christ and his disciples are pictured inside a giant dodecahedron.