Validité en logique

En logique, un argument est valable si et seulement s’il prend une forme rendant impossible la véracité des prémisses et la conclusion, néanmoins, des conclusions fausses. Il n’est pas nécessaire qu’un argument valable ait des prémisses réellement vraies, mais des prémisses qui, si elles étaient vraies, garantiraient la véracité de la conclusion de l’argument. Une formule est valide si et seulement si elle est vraie sous chaque interprétation, et une forme d’argument (ou schéma) est valide si et seulement si chaque argument de cette forme logique est valide.

Le concept d’interprétation, qui est au centre de cette explication, peut être compris intuitivement comme une généralisation de l’affectation de variable dans la logique propositionnelle: ce n’est que par l’affectation des variables de proposition d’une formule propositionnelle que la formule dans son ensemble peut attribuer une valeur de vérité. Dans des logiques plus complexes, il faut également attribuer des éléments formels à une formule, lesquels déterminent la valeur de vérité de la formule globale. Dans la logique des prédicats, par exemple, la définition d’un univers et l’affectation de symboles de prédicats à des prédicats (sur cet univers) et de symboles de fonctions à des fonctions (sur cet univers) ont lieu. Ce n’est qu’en faisant référence à un ensemble d’objets dans un monde considéré que l’on peut déterminer si une formule peut être remplie et si elle peut toujours l’être, c’est-à-dire universellement valable.

Le tableau suivant répertorie certains termes et synonymes étroitement liés. Les colonnes et  sont dans une relation d’équivalence, par exemple, B. est alors universellement valide, si    est insatisfiable.

Synonymes état
universel tautologique (en logique propositionnelle) Toutes les interprétations répondent à la formule. inaccessible
satisfaisiable cohérent, cohérent Il y a une interprétation qui satisfait la formule. falsifiable
falsifiable réfutable Il y a une interprétation qui réfute la formule. satisfaisiable
inaccessible incohérent, contradictoire Aucune interprétation ne remplit la formule. universel

Arguments
Un argument est valide si et seulement si la vérité de ses prémisses implique la vérité de sa conclusion et si chaque étape, sous-argument ou opération logique dans l’argument est valide. Dans ces conditions, il serait contradictoire d’affirmer les prémisses et de nier la conclusion. Le conditionnel correspondant d’un argument valide est une vérité logique et la négation de son conditionnel correspondant est une contradiction. La conclusion est une conséquence logique de ses prémisses.

Un argument qui n’est pas valide est dit “invalide”.

Un exemple d’argument valide est donné par le syllogisme bien connu suivant:

Tous les hommes sont mortels.
Socrate est un homme.
Socrate est donc mortel.

Ce qui en fait un argument valable n’est pas qu’il repose sur de vraies prémisses et une conclusion définitive, mais sur la nécessité logique de la conclusion, compte tenu des deux prémisses. L’argument serait tout aussi valable si les prémisses et la conclusion étaient fausses. L’argument suivant a la même forme logique, mais repose sur de fausses prémisses et une conclusion fausse. Il est également valable:

Toutes les tasses sont vertes.
Socrate est une tasse.
Par conséquent, Socrate est vert.

Quelle que soit la manière dont l’univers pourrait être construit, il ne pourrait jamais être [pourquoi?] Que ces arguments s’avèrent avoir à la fois des prémisses vraies mais une conclusion fausse. Les arguments ci-dessus peuvent être contrastés avec le non valide suivant:

Tous les hommes sont immortels.
Socrate est un homme.
Socrate est donc mortel.

Dans ce cas, la conclusion contredit la logique déductive des prémisses précédentes, plutôt que d’en dériver. Par conséquent, l’argument est logiquement “invalide”, même si la conclusion peut être considérée comme “vraie” en termes généraux. La prémisse «Tous les hommes sont immortels» serait également considérée comme fausse en dehors du cadre de la logique classique. Cependant, dans ce système, les termes “vrai” et “faux” fonctionnent essentiellement plus comme des états mathématiques tels que les 1 et les 0 binaires que les concepts philosophiques normalement associés à ces termes.

Selon une vision standard, la validité d’un argument dépend de sa forme logique. Les logiciens utilisent de nombreuses techniques pour représenter la forme logique d’un argument. Voici un exemple simple, appliqué à deux des illustrations ci-dessus: Laissons les lettres «P», «Q» et «S» respectivement pour l’ensemble des hommes, l’ensemble des mortels et Socrate. En utilisant ces symboles, le premier argument peut être abrégé comme suit:

Tous P sont Q.
S est un P.
Donc S est un Q.

De même, le deuxième argument devient:

Tous les P ne sont pas Q.
S est un P.
Par conséquent, S est un Q.
Un argument est qualifié de formellement valide s’il a une consistance structurelle, c’est-à-dire si, lorsque les opérandes entre prémisses sont tous vrais, la conclusion dérivée est toujours vraie . Dans le troisième exemple, les prémisses initiales ne peuvent logiquement aboutir à la conclusion et sont donc classées comme un argument invalide.

Formule valide
Une formule d’un langage formel est une formule valide si et seulement si elle est vraie dans toutes les interprétations possibles du langage. En logique propositionnelle, ce sont des tautologies.

Ces arguments sont valides car ils ont tous deux la forme d’un syllogisme disjonctif, ce qui est un schéma d’arguments valide:

Poq
Non p Par
conséquent, q
Pour déterminer la validité d’un argument spécifique, alors, il suffit de déterminer la validité de son système d’arguments, et cela peut être réalisé par sémantiques ou par syntaxiques.

Méthode sémantique
Dans la méthode sémantique, un schéma d’argument est dit valide lorsqu’il est impossible que les prémisses soient vraies et la conclusion fausse. Pour déterminer si tel est le cas, la vérité des prémisses est assumée et, en appliquant les définitions de la vérité, on essaie de déduire la vérité de la conclusion. Ou encore, les prémisses sont supposées être vraies et la conclusion fausse, et en appliquant les définitions de la vérité, on essaie de déduire une contradiction (réduction à l’absurde).

Dans la logique propositionnelle, une méthode alternative consiste à transformer un argument en sa formule correspondante et à construire une table de vérité. Si la formule s’avère être une vérité logique, alors l’argument est valide. En effet, le théorème de déduction et son inverse sont valides, mais aussi parce que la logique propositionnelle est décidable et admet donc toujours une procédure algorithmique permettant de déterminer si une formule est une vérité logique ou non.

{\ displaystyle {\ begin {array} {c |  c ||  c |  c |  c |  c} p & q & (p \ lor q) & \ neg p & (p \ lor q) \ land \ neg p & [(p \ lor q) \ land \ neg p] \ à q \\\ hline V & V & V & F & V & V \\ V & F & V & F & F & V \\ F & V & V & V & V & V \\ F & F & F & V & F & V \ \\ end {array}}}

Méthode syntaxique
Dans la méthode syntaxique, un schéma d’argument est dit valide lorsqu’il y a une déduction de la conclusion à partir des prémisses de l’argument et des axiomes du système, en utilisant uniquement les règles d’inférence autorisées.

Dans un système de déduction naturelle, c’est comme si l’ensemble des axiomes est vide, un schéma d’arguments est valide lorsqu’il y a déduction de la conclusion à partir des prémisses, en utilisant uniquement les règles de longueur autorisées.

Déclarations
Une déclaration peut être qualifiée de valide, c’est-à-dire de vérité logique, si elle est vraie dans toutes les interprétations.

La
validité de la déduction n’est pas affectée par la vérité de la prémisse ou la vérité de la conclusion. La déduction suivante est parfaitement valable:

Tous les animaux vivent sur Mars.
Tous les humains sont des animaux.
Par conséquent, tous les humains vivent sur Mars.

Le problème avec l’argument est que ce n’est pas sain. Pour qu’un argument déductif soit valable, la déduction doit être valide et tous les prémisses vrais.

Satisfiabilité
La théorie des modèles analyse des formules en fonction de classes d’interprétation particulières dans des structures mathématiques appropriées. Sur cette lecture, la formule est valide si toutes ces interprétations le rendent vrai. Une inférence est valide si toutes les interprétations qui valident les prémisses valident la conclusion. Ceci est connu sous le nom de validité sémantique.

Préservation
Dans la validité de préservation de la vérité, l’interprétation selon laquelle toutes les variables se voient attribuer une valeur de vérité de «vrai» produit une valeur de vérité de «vrai».

Dans une validité qui préserve faussement, l’interprétation sous laquelle toutes les variables se voient attribuer une valeur de vérité de «faux» produit une valeur de vérité de «faux».

Propriétés de conservation Phrases de connexion logiques
Vrai et faux préservant: Proposition • Conjonction logique (AND,  \terre  ) • Disjonction logique (OR,  \ lor  )
Vrai ne conservant que: Tautologie (  \Haut  ) • Biconditional (XNOR,  \ leftrightarrow  ) • Implication (  \flèche droite  ) • Conversation implication (  \Flèche gauche  )
Faux en conservant seulement: Contradiction (  \ bot  ) • Disjonction exclusive (XOR  \ oplus  ) • Nonimplication (  \ nrightarrow  ) • Converser nonimplication (  \ nleftarrow  )
Non conservateur: Négation (  \ neg  ) • Refus alternatif (NAND,  \flèche vers le haut  ) • Déni conjoint (NOR,  \flèche vers le bas  )