Mathématiques et Art

Les mathématiques et l’art sont liés de diverses façons. Les mathématiques ont elles-mêmes été décrites comme un art motivé par la beauté. Les mathématiques peuvent être discernées dans des arts tels que la musique, la danse, la peinture, l’architecture, la sculpture et les textiles. Cet article se concentre cependant sur les mathématiques dans les arts visuels.

L’art et les mathématiques sont souvent associés dans la cadre d’analogie platonicienne sur la beauté et la vérité. les prémisses de cette question convoquent souvent le nombre d’or. Phi est la constante mathématique la plus associée à l’art à travers sa présence récurrente dans les compositions de sculpture et de peinture dans l’art Renaissant. Le nombre d’or étant considéré comme la règle pour obtenir une proportion harmonique satisfaisant le goût de l’observateur. Ce paradigme est partiel si l’on souhaite comprendre le rôle des mathématiques dans l’histoire de l’art et dans les révolutions esthétiques contemporaines. Il est plus efficace de s’interroger sur protocoles créatifs, les structures et les morphogenèses. Par conséquent il est nécessaire d’abandonner les prémisses platoniciens au profit de questions sur les formes et la façons dont elles apparaissent et sont perçues. L’art et les mathématiques produisent de nombreux axes de convergences tant au niveau de l’intérêt que les mathématiciens et les artistes se portent mutuellement mais aussi autour des usages et des processus. De nombreux projets esthétiques contemporains relèvent de pratiques mathématiques plus ou moins apparentes, mais toutes témoignent d’une étendue surprenante de la culture mathématique. De la question de la beauté et de l’harmonie aux questions de morphologies ou de structures, les mathématiques offrent de nombreux outils pour investiguer dans la complexité du réel, de ses représentations, mais aussi sur la capacité à inventer des structures, des formes et des processus.

Les mathématiques et l’art ont une longue relation historique. Les artistes ont utilisé les mathématiques depuis le 4ème siècle avant JC quand le sculpteur grec Polykleitos a écrit son Canon, prescrivant des proportions basées sur le rapport 1: √2 pour le nu masculin idéal. Des revendications populaires persistantes ont été faites pour l’utilisation du nombre d’or dans l’art ancien et l’architecture, sans preuve fiable. Dans la Renaissance italienne, Luca Pacioli a écrit le traité influent De Divina Proportione (1509), illustré de gravures sur bois de Léonard de Vinci, sur l’utilisation du nombre d’or dans l’art. Un autre peintre italien, Piero della Francesca, a développé les idées d’Euclide sur la perspective dans des traités tels que De Prospectiva Pingendi, et dans ses peintures. Le graveur Albrecht Dürer a fait de nombreuses références aux mathématiques dans son œuvre Melencolia I. À l’époque moderne, le graphiste MC Escher utilisait intensivement la tessellation et la géométrie hyperbolique, avec l’aide du mathématicien HSM Coxeter, tandis que le mouvement De Stijl dirigé par Theo van Doesberg et Piet Mondrian ont explicitement embrassé des formes géométriques. Les mathématiques ont inspiré les arts textiles tels que la courtepointe, le tricot, le point de croix, le crochet, la broderie, le tissage, la confection de tapis turcs et autres, ainsi que les kilims. Dans l’art islamique, les symétries sont évidentes dans des formes aussi variées que le girih persan et le carreau de zellige marocain, les écrans de pierre percés de Mughal jaali et la voûte de muqarnas répandue.

François Morellet s’est constamment inspiré des mathématiques et de la géométrie dans son œuvre. Citation de son site internet : Les œuvres de François Morellet sont exécutés d’après un système : chaque choix est défini par un principe établi par avance. Il veut par là donner l’impression de contrôler la création artistique tout en laissant une part de hasard, ce qui donne un tableau imprévisible. Il utilise des formes simples, un petit nombre de couleurs en aplats, et des compositions élémentaires (juxtaposition, superposition, hasard, interférence, fragmentation). Il crée ainsi ses premières » trames », des réseaux de lignes parallèles noires superposées selon un ordre déterminé qui recouvrent toute la surface des tableaux. Ces systèmes rappellent les structures proposées par l’Oulipo (Ouvroir de Littérature Potentielle) et décrites par Raymond Queneau : « Quel est le but de nos travaux ? Proposer aux écrivains de nouvelles « structures », de nature mathématique, ou bien encore inventer de nouveaux procédés artificiels ou mécaniques, contribuant à l’activité littéraire ». Par la suite, François Morellet va continuer à utiliser des systèmes basés sur un univers mathématique.

Au xixe siècle, les œuvres de Gauss, Lobatechevsky et Riemann popularisent l’idée de dimensions spatiales et de géométries exotiques. Albert Einstein en développant la théorie de la relativité offre au public cultivé de nouveaux paradigmes d’observation dont certains artistes se saisissent afin de trouver d’autres modes de représentation, l’idée d’espace-temps est fertile et les jeunes Braque et Pïcasso entendent parler d’un espace qui ne serait plus euclidien mais sphérique ou hyperbolique. Cela provoque l’imagination et offre de nouveaux modes de description quan l’on va retrouver dans le nu descendant l’escalier de Marcel Duchamp et dans les œuvres séminales de Braque et Picasso du cubisme analytique réalisé au Bateau Lavoir durant la première décennie du xxe siècle. Cette conception de l’espace va s’incarner dans l’œuvre fondamentale de l’histoire de l’art au xxe siècle « les demoiselles d’Avignon ».

Les mathématiques ont directement influencé l’art avec des outils conceptuels tels que la perspective linéaire, l’analyse de la symétrie et des objets mathématiques tels que les polyèdres et la bande de Möbius. Magnus Wenninger crée des polyèdres en étoile colorés, à l’origine comme modèles pour l’enseignement. Des concepts mathématiques tels que la récursion et le paradoxe logique peuvent être vus dans des peintures de René Magritte et dans des gravures de M. C. Escher. L’art informatique utilise souvent des fractales, y compris l’ensemble de Mandelbrot, et explore parfois d’autres objets mathématiques tels que les automates cellulaires. Controversé, l’artiste David Hockney a soutenu que les artistes de la Renaissance ont utilisé la caméra lucida pour dessiner des scènes précises; l’architecte Philip Steadman a également soutenu que Vermeer utilisait la camera obscura dans ses peintures remarquablement observées.

D’autres relations incluent l’analyse algorithmique des œuvres d’art par spectroscopie de fluorescence X, la découverte de batiks traditionnels de différentes régions de Java et la stimulation de la recherche mathématique, en particulier la théorie de la perspective de Filippo Brunelleschi, qui aboutit au projet projectif de Girard Desargues. géométrie. Une vision persistante, basée finalement sur la notion pythagoricienne d’harmonie dans la musique, soutient que tout a été arrangé par Number, que Dieu est le géomètre du monde, et que par conséquent la géométrie du monde est sacrée, comme dans les œuvres de William Blake. Ancien des jours.

Mathématiques et Art dans l’histoire:
Polykleitos l’aîné (c.450-420 avant JC) était un sculpteur grec de l’école d’Argos, et un contemporain de Phidias. Ses œuvres et statues consistaient principalement en bronze et étaient des athlètes. Selon le philosophe et mathématicien Xénocrate, Polykleitos est classé comme l’un des sculpteurs les plus importants de l’Antiquité classique pour son travail sur le Doryphore et la statue d’Héra dans l’Héraion d’Argos. Bien que ses sculptures ne soient pas aussi célèbres que celles de Phidias, elles sont très admirées. Dans le Canon de Polykleitos, un traité qu’il a écrit pour documenter les proportions anatomiques «parfaites» du nu masculin, Polykleitos nous donne une approche mathématique de la sculpture du corps humain.

Polykleitos utilise la phalange distale du petit doigt comme module de base pour déterminer les proportions du corps humain. Polykleitos multiplie la longueur de la phalange distale par la racine carrée de deux (√2) pour obtenir la distance des deuxièmes phalanges et multiplie la longueur par √2 pour obtenir la longueur des troisièmes phalanges. Ensuite, il prend la longueur du doigt et multiplie cela par √2 pour obtenir la longueur de la paume de la base du doigt au cubitus. Cette série géométrique de mesures progresse jusqu’à ce que Polykleitos ait formé le bras, la poitrine, le corps et ainsi de suite.

L’influence du Canon de Polykleitos est immense dans la sculpture classique grecque, romaine et de la Renaissance, de nombreux sculpteurs suivant la prescription de Polykleitos. Alors qu’aucune des œuvres originales de Polykleitos ne survit, les copies romaines démontrent son idéal de perfection physique et de précision mathématique. Certains chercheurs affirment que la pensée de Pythagore a influencé le Canon de Polykleitos. Le Canon applique les concepts mathématiques de base de la géométrie grecque, tels que le rapport, la proportion et la symétrie (grec pour «proportions harmonieuses») et le transforme en un système capable de décrire la forme humaine à travers une série de progressions géométriques continues.

Dans les temps classiques, plutôt que de réduire la taille des figures lointaines avec une perspective linéaire, les peintres classent les objets et les figures en fonction de leur importance thématique. Au Moyen Âge, certains artistes ont utilisé la perspective inverse pour mettre l’accent sur un aspect particulier. Le mathématicien musulman Alhazen (Ibn al-Haytham) a décrit une théorie de l’optique dans son livre d’optique en 1021, mais ne l’a jamais appliqué à l’art. La Renaissance a vu une renaissance de la culture et des idées grecques et romaines classiques, parmi eux l’étude des mathématiques pour comprendre la nature et les arts. Deux motifs majeurs ont conduit les artistes à la fin du Moyen Age et à la Renaissance vers les mathématiques. Tout d’abord, les peintres devaient comprendre comment représenter des scènes tridimensionnelles sur une toile bidimensionnelle. Deuxièmement, les philosophes et les artistes étaient convaincus que les mathématiques étaient la véritable essence du monde physique et que l’univers entier, y compris les arts, pouvait être expliqué en termes géométriques.

Les rudiments de la perspective sont arrivés avec Giotto (1266/7 – 1337), qui a tenté de mettre en perspective en utilisant une méthode algébrique pour déterminer le placement des lignes éloignées. En 1415, l’architecte italien Filippo Brunelleschi et son ami Leon Battista Alberti ont démontré la méthode géométrique de l’application de la perspective à Florence, en utilisant des triangles similaires formulés par Euclide, pour trouver la hauteur apparente des objets éloignés. Les peintures de perspective de Brunelleschi sont perdues, mais la peinture de Masaccio sur la Sainte Trinité montre ses principes à l’œuvre.

Le peintre italien Paolo Uccello (1397-1475) a été fasciné par la perspective, comme le montrent ses peintures de La Bataille de San Romano (vers 1435-1460): les lances cassées se situent commodément le long des lignes de perspective.

Le peintre Piero della Francesca (c.1415-1492) a illustré ce nouveau changement dans la pensée de la Renaissance italienne. Il était un mathématicien et géomètre expert, écrivant des livres sur la géométrie et la perspective pleines, en incluant De Prospectiva Pingendi (Sur la Perspective pour la Peinture), Trattato d’Abaco (Traité d’Abacus), et De corporibus regularibus (Sur les Solides Réguliers). L’historien Vasari, dans ses Vies des peintres, appelle Piero «le plus grand géomètre de son temps, ou peut-être de n’importe quel temps». L’intérêt de Piero pour la perspective peut être vu dans ses peintures, y compris le Polyptyque de Pérouse, le retable de San Agostino et la Flagellation du Christ. Son travail sur la géométrie influencé plus tard les mathématiciens et les artistes, y compris Luca Pacioli dans son De Divina Proportione et Leonardo da Vinci. Piero a étudié les mathématiques classiques et les œuvres d’Archimède. Il a appris l’arithmétique commerciale dans les « écoles d’abacus »; ses écrits sont formatés comme des manuels scolaires abacus, incluant peut-être le 1202 Liber Abaci de Leonardo Pisano (Fibonacci). La perspective linéaire était en train d’être introduite dans le monde artistique. Alberti a expliqué dans son 1435 De pictura: « les rayons lumineux voyagent en ligne droite à partir des points de la scène observée jusqu’à l’œil, formant une sorte de pyramide avec l’œil comme sommet. » Une peinture construite avec une perspective linéaire est une coupe transversale de cette pyramide.

Dans De Prospectiva Pingendi, Piero transforme ses observations empiriques de la façon dont les aspects d’une figure changent de point de vue en preuves mathématiques. Son traité commence dans la veine d’Euclide: il définit le point comme «la plus petite chose que l’œil puisse comprendre». Il utilise la logique déductive pour conduire le lecteur à la représentation en perspective d’un corps tridimensionnel.

L’artiste David Hockney a soutenu dans son livre Secret Knowledge: Redécouvrir les techniques perdues des vieux maîtres que les artistes ont commencé à utiliser une caméra lucida des années 1420, ce qui a entraîné un changement soudain de précision et de réalisme. Ingres, Van Eyck et Caravaggio. Les critiques ne sont pas d’accord pour savoir si Hockney avait raison. De même, l’architecte Philip Steadman a fait valoir controversé que Vermeer avait utilisé un appareil différent, la camera obscura, pour l’aider à créer ses peintures distinctement observées.

En 1509, Luca Pacioli (vers 1447-1517) publie De divina proportione sur les proportions mathématiques et artistiques, y compris sur le visage humain. Léonard de Vinci (1452-1519) a illustré le texte avec des gravures sur bois de solides réguliers alors qu’il étudiait sous Pacioli dans les années 1490. Les dessins de Leonardo sont probablement les premières illustrations de solides squelettiques. Ceux-ci, tels que le rhombicuboctaèdre, ont été parmi les premiers à être dessinés pour démontrer la perspective en étant superposés les uns sur les autres. Le travail discute de la perspective dans les œuvres de Piero della Francesca, de Melozzo da Forli et de Marco Palmezzano. Da Vinci a étudié la Summa de Pacioli, à partir de laquelle il a copié des tables de proportions. Dans Mona Lisa et The Last Supper, le travail de Da Vinci a incorporé une perspective linéaire avec un point de fuite pour donner une profondeur apparente. La Cène est construite dans un rapport serré de 12: 6: 4: 3, tout comme l’Ecole d’Athènes de Raphaël, qui comprend Pythagore avec une tablette de rapports idéaux, sacrés pour les Pythagoriciens. Dans l’Homme de Vitruve, Léonard exprime les idées de l’architecte romain Vitruve, en montrant deux fois la figure masculine de façon innovante et en le centrant à la fois sur un cercle et un carré.

Dès le 15ème siècle, la perspective curviligne a trouvé sa place dans les peintures d’artistes intéressés par les distorsions de l’image. 1434 Arnolfini Portrait de Jan van Eyck contient un miroir convexe avec des reflets des personnes dans la scène, tandis que l’autoportrait de Parmigianino dans un miroir convexe, v. 1523-1524, montre le visage largement non déformé de l’artiste au centre, avec un fond fortement incurvé et la main de l’artiste autour du bord.

L’espace tridimensionnel peut être représenté de manière convaincante dans l’art, comme dans le dessin technique, par des moyens autres que la perspective. Les projections obliques, y compris la perspective cavalière (utilisée par les artistes militaires français pour représenter les fortifications au 18ème siècle), ont été utilisées de façon continue et omniprésente par les artistes chinois du premier ou du deuxième siècle jusqu’au 18ème siècle. Les Chinois ont acquis la technique de l’Inde, qui l’a acquise de la Rome antique. La projection oblique est vue dans l’art japonais, comme dans les peintures d’Ukiyo-e de Torii Kiyonaga (1752-1815).

Le nombre d’or (à peu près égal à 1,618) était connu d’Euclide. Le nombre d’or a été constamment réclamé dans les temps modernes pour avoir été utilisé dans l’art et l’architecture par les anciens en Egypte, en Grèce et ailleurs, sans preuve fiable. L’allégation peut provenir de la confusion avec le «moyen d’or», ce qui, pour les Grecs de l’Antiquité, signifiait «éviter l’excès dans les deux sens», et non un rapport. Les pyramidologues, depuis le dix-neuvième siècle, ont argumenté sur des bases mathématiques douteuses pour le nombre d’or dans la conception pyramidale. On a prétendu que le Parthénon, un temple du 5e siècle avant J.-C. à Athènes, utilisait le nombre d’or dans sa façade et son plan d’étage, mais ces affirmations sont également réfutées par la mesure. La Grande Mosquée de Kairouan en Tunisie a également été déclarée utiliser le nombre d’or dans sa conception, mais le ratio n’apparaît pas dans les parties originales de la mosquée. L’historien de l’architecture Frederik Macody Lund a soutenu en 1919 que la cathédrale de Chartres (12ème siècle), Notre-Dame de Laon (1157-1205) et Notre Dame de Paris (1160) sont conçues selon le nombre d’or, en dessinant des lignes de faire son cas. D’autres érudits soutiennent que, jusqu’au travail de Pacioli en 1509, le nombre d’or était inconnu des artistes et des architectes. Par exemple, la hauteur et la largeur du devant de Notre-Dame de Laon ont le rapport 8/5 ou 1,6, pas 1,618. De tels rapports de Fibonacci deviennent rapidement difficiles à distinguer du nombre d’or. Après le Pacioli, le nombre d’or est plus visible dans les œuvres d’art, y compris la Joconde de Léonard de Vinci.

Un autre ratio, le seul autre nombre morphique, a été nommé le numéro de plastique en 1928 par l’architecte hollandais Hans van der Laan (à l’origine appelé le nombre radiant en français). Sa valeur est la solution de l’équation cubique

Les symétries planaires ont été exploitées depuis des millénaires dans des œuvres d’art telles que les tapis, les treillis, les textiles et les pavages.

Beaucoup de tapis traditionnels, que ce soit des tapis à poils ou des kilims à tissage plat, sont divisés en un champ central et une bordure de charpente; les deux peuvent avoir des symétries, bien que, dans les tapis tissés à la main, ils soient souvent légèrement brisés par de petits détails, des variations de motifs et des changements de couleur introduits par le tisserand. En kilims d’Anatolie, les motifs utilisés sont eux-mêmes généralement symétriques. La disposition générale, aussi, est généralement présente, avec des arrangements tels que des rayures, des rayures alternant avec des rangées de motifs, et des arrangements emballés de motifs grossièrement hexagonaux. Le champ est généralement présenté comme un fond d’écran avec un groupe de papier peint tel que pmm, tandis que la bordure peut être présentée comme une frise du groupe de frises pm11, pmm2 ou pma2. Les kilims turcs et d’Asie centrale ont souvent trois frontières ou plus dans différents groupes de frises. Les tisserands avaient certainement l’intention de la symétrie, sans connaissance explicite de ses mathématiques. Le mathématicien et théoricien de l’architecture Nikos Salingaros suggère que la « présence puissante » (effet esthétique) d’un « grand tapis » tel que les meilleurs tapis à deux médaillons Konya du 17ème siècle est créée par des techniques mathématiques liées aux théories de l’architecte Christopher Alexandre. Ces techniques comprennent faire des opposés en couple; valeurs de couleurs opposées; différencier géométriquement les zones, que ce soit en utilisant des formes complémentaires ou en équilibrant la directionnalité des angles vifs; fournir une complexité à petite échelle (du niveau du nœud vers le haut) et à la fois la symétrie à petite et à grande échelle; Répétition d’éléments à une hiérarchie d’échelles différentes (avec un ratio d’environ 2,7 de chaque niveau à l’autre). Salingaros soutient que «tous les tapis réussis satisfont au moins neuf des dix règles ci-dessus», et suggère qu’il pourrait être possible de créer une mesure à partir de ces règles.

Les treillis élaborés se trouvent dans les œuvres indiennes de Jaali, sculptées dans le marbre pour orner les tombes et les palais. Les treillis chinois, toujours avec une certaine symétrie, existent dans 14 des 17 groupes de papier peint; ils ont souvent un miroir, un double miroir ou une symétrie de rotation. Certains ont un médaillon central et d’autres ont une bordure dans un groupe de frises. De nombreux treillis chinois ont été analysés mathématiquement par Daniel S. Dye; il identifie Sichuan comme le centre de l’artisanat.

Les symétries sont importantes dans les arts textiles, y compris le piquage, le tricot, le point de croix, le crochet, la broderie et le tissage, où elles peuvent être purement décoratives ou peuvent être des marques de statut. La symétrie de rotation se trouve dans les structures circulaires telles que les dômes; ceux-ci sont parfois minutieusement décorés avec des motifs symétriques à l’intérieur et à l’extérieur, comme à la mosquée Sheikh Lotfollah de 1619 à Ispahan. Les articles de broderie et de dentelle tels que les nappes et les nappes, réalisés à l’aide de bobines ou par frivolité, peuvent avoir une grande variété de symétries de réflexion et de rotation explorées mathématiquement.

L’art islamique exploite des symétries dans beaucoup de ses formes d’art, notamment dans les pavages de girih. Ceux-ci sont formés en utilisant un ensemble de cinq formes de carreaux, à savoir un décagone régulier, un hexagone allongé, un nœud papillon, un losange et un pentagone régulier. Tous les côtés de ces carreaux ont la même longueur; et tous leurs angles sont des multiples de 36 ° (π / 5 radians), offrant des symétries cinq fois et dix fois plus grandes. Les carreaux sont décorés avec des lignes de sanglage (girih), généralement plus visibles que les limites des carreaux. En 2007, les physiciens Peter Lu et Paul Steinhardt ont soutenu que girih ressemblait à des pavages quasicristallins de Penrose. Élaborer géométrique zellige tilework est un élément distinctif de l’architecture marocaine. Les voûtes de Muqarnas sont tridimensionnelles mais ont été conçues en deux dimensions avec des dessins de cellules géométriques.

Les solides platoniciens et autres polyèdres sont un thème récurrent dans l’art occidental. On les trouve, par exemple, dans une mosaïque de marbre représentant le petit dodécaèdre étoilé, attribué à Paolo Uccello, dans le sol de la basilique San Marco de Venise; dans les diagrammes de polyèdres réguliers de Léonard de Vinci dessinés comme illustrations pour le livre de Luca Pacioli de 1509 The Divine Proportion; comme un verre rhombicuboctaèdre dans le portrait de Pacioli de Jacopo de Barbari, peint en 1495; dans le polyèdre tronqué (et divers autres objets mathématiques) dans la gravure d’Albrecht Dürer Melencolia I; et dans le tableau de Salvador Dalí, La Cène, où le Christ et ses disciples sont représentés à l’intérieur d’un dodécaèdre géant.

Albrecht Dürer (1471-1528) était un graveur de la Renaissance allemande qui a apporté d’importantes contributions à la littérature polyédrique dans son livre de 1525, Underweysung der Messung, destiné à enseigner les sujets de la perspective linéaire, la géométrie en architecture, les solides platoniciens, et polygones réguliers. Dürer a probablement été influencé par les œuvres de Luca Pacioli et Piero della Francesca lors de ses voyages en Italie. Alors que les exemples de perspective dans Underweysung der Messung sont sous-développés et contiennent des inexactitudes, il y a une discussion détaillée sur les polyèdres. Dürer est également le premier à introduire dans le texte l’idée de filets polyédriques, polyèdres dépliés à plat pour l’impression. Dürer a publié un autre livre influent sur les proportions humaines appelé Vier Bücher von Menschlicher Proportion (Quatre livres sur la proportion humaine) en 1528.

La célèbre gravure de Dürer, Melencolia I, représente un penseur frustré, assis par un trapèze-tronc triangulaire tronqué et un carré magique. Ces deux objets, et la gravure dans son ensemble, ont fait l’objet d’une interprétation plus moderne que le contenu de presque tout autre tirage, y compris un livre en deux volumes de Peter-Klaus Schuster et une discussion influente dans la monographie de Dürer d’Erwin Panofsky. . Corpus Hypercubus de Salvador Dalí représente un réseau tridimensionnel déplié pour un hypercube, un polyèdre régulier en quatre dimensions.

Les motifs batik indonésiens traditionnels résistent à la cire et combinent des motifs figuratifs (comme des éléments floraux et végétaux) avec des éléments abstraits et quelque peu chaotiques, y compris l’imprécision dans l’application de la cire et la variation aléatoire introduite par le craquage de la cire. Les conceptions de Batik ont ​​une dimension fractale entre 1 et 2, variant dans différents styles régionaux. Par exemple, le batik de Cirebon a une dimension fractale de 1,1; les batiks de Yogyakarta et de Surakarta (Solo) dans le centre de Java ont une dimension fractale de 1,2 à 1,5; et les batiks de Lasem sur la côte nord de Java et de Tasikmalaya à Java Ouest ont une dimension fractale comprise entre 1,5 et 1,7.

Les travaux de peinture au goutte-à-goutte de l’artiste moderne Jackson Pollock sont tout aussi distinctifs dans leur dimension fractale. Son numéro 14 de 1948 a une dimension littorale de 1,45, tandis que ses peintures postérieures ont successivement des dimensions fractales plus élevées et, par conséquent, des motifs plus élaborés. L’un de ses derniers travaux, Blue Poles, a pris six mois pour créer, et a la dimension fractale de 1.72.

Relation complexe des mathématiques et de l’art:
L’astronome Galileo Galilei dans son Il Saggiatore a écrit que « [l’univers] est écrit dans le langage des mathématiques, et ses caractères sont des triangles, des cercles et d’autres figures géométriques. » Les artistes qui s’efforcent et cherchent à étudier la nature doivent d’abord, selon Galilée, comprendre pleinement les mathématiques. Les mathématiciens, à l’inverse, ont cherché à interpréter et analyser l’art à travers la lentille de la géométrie et de la rationalité. Le mathématicien Felipe Cucker suggère que les mathématiques, et en particulier la géométrie, sont une source de règles pour «la création artistique régie par des règles», mais pas la seule. Certains des nombreux brins de la relation complexe résultante sont décrits ci-dessous.

Le mathématicien Jerry P. King décrit les mathématiques comme un art, affirmant que «les clés des mathématiques sont la beauté et l’élégance et non l’ennui et la technicité», et que la beauté est la force motrice de la recherche mathématique. King cite l’essai du mathématicien G. H. Hardy en 1940, A Mathematician’s Apology. Dans ce livre, Hardy explique pourquoi il trouve en premier lieu deux théorèmes des temps classiques, à savoir la preuve d’Euclide, il y a une infinité de nombres premiers, et la preuve que la racine carrée de 2 est irrationnelle. King évalue ce dernier contre les critères d’élégance mathématique de Hardy: «sérieux, profondeur, généralité, imprévisibilité, inévitabilité et économie» (les italiques du roi), et décrit la preuve comme «esthétiquement plaisante». Le mathématicien hongrois Paul Erdős a admis que les mathématiques possédaient de la beauté mais considérait les raisons au-delà de l’explication: « Pourquoi les nombres sont-ils beaux? » C’est comme demander pourquoi la Neuvième Symphonie de Beethoven est belle. les chiffres sont beaux.  »

Les mathématiques peuvent être discernées dans de nombreux arts, tels que la musique, la danse, la peinture, l’architecture et la sculpture. Chacun d’entre eux est richement associé aux mathématiques. Parmi les liens avec les arts visuels, les mathématiques peuvent fournir des outils pour les artistes, tels que les règles de perspective linéaire décrites par Brook Taylor et Johann Lambert, ou les méthodes de géométrie descriptive, maintenant appliquées à la modélisation des solides depuis Albrecht Dürer et Gaspard Monge. Les artistes de Luca Pacioli au Moyen Age et Leonardo da Vinci et Albrecht Dürer à la Renaissance ont utilisé et développé des idées mathématiques dans la poursuite de leur travail artistique. L’utilisation de la perspective a commencé, malgré quelques utilisations embryonnaires dans l’architecture de la Grèce antique, avec des peintres italiens tels que Giotto au 13ème siècle; Les règles telles que le point de fuite ont été formulées pour la première fois par Brunelleschi vers 1413, sa théorie influençant Leonardo et Dürer. Les travaux d’Isaac Newton sur le spectre optique ont influencé la théorie des couleurs de Goethe et, à leur tour, des artistes tels que Philipp Otto Runge, J. W. W. Turner, les préraphaélites et Wassily Kandinsky. Les artistes peuvent également choisir d’analyser la symétrie d’une scène. Les outils peuvent être appliqués par des mathématiciens qui explorent l’art, ou des artistes inspirés par les mathématiques, comme MC Escher (inspiré par HSM Coxeter) et l’architecte Frank Gehry, qui soutient plus ténuement que la conception assistée par ordinateur lui a permis de s’exprimer complètement. façon.

L’artiste Richard Wright soutient que les objets mathématiques qui peuvent être construits peuvent être vus soit «en tant que processus pour simuler des phénomènes», soit en tant qu’œuvres d ‘«art informatique». Il considère la nature de la pensée mathématique, observant que les fractals étaient connus des mathématiciens depuis un siècle avant d’être reconnus comme tels. Wright conclut en déclarant qu’il est approprié de soumettre les objets mathématiques à toutes les méthodes utilisées pour «composer avec des artefacts culturels comme l’art, la tension entre l’objectivité et la subjectivité, leurs significations métaphoriques et le caractère des systèmes représentationnels». Il donne comme exemples une image de l’ensemble de Mandelbrot, une image générée par un algorithme d’automate cellulaire, et une image rendue par ordinateur, et discute, en référence au test de Turing, si les produits algorithmiques peuvent être des art. Les mathématiques et l’art de Sasho Kalajdzievski: une introduction aux mathématiques visuelles adoptent une approche similaire, en examinant des sujets de mathématiques convenablement visuels tels que les pavages, les fractales et la géométrie hyperbolique.

Certaines des premières œuvres d’art informatique ont été créées par « Drawing Machine 1 » de Desmond Paul Henry, une machine analogique basée sur un ordinateur de bombardement et exposée en 1962. La machine était capable de créer une ligne complexe, abstraite, asymétrique, curviligne mais répétitive. dessins. Plus récemment, Hamid Naderi Yeganeh a créé des formes suggestives d’objets du monde réel tels que le poisson et les oiseaux, en utilisant des formules successivement variées pour dessiner des familles de courbes ou de lignes angulaires. Des artistes tels que Mikael Hvidtfeldt Christensen créent des œuvres d’art génératif ou algorithmique en écrivant des scripts pour un système logiciel tel que Structure Synth: l’artiste dirige efficacement le système pour appliquer une combinaison souhaitée d’opérations mathématiques à un ensemble de données choisi.

La science et l’hypothèse du mathématicien et physicien théoricien Henri Poincaré ont été largement lues par les cubistes, dont Pablo Picasso et Jean Metzinger. Poincaré considérait la géométrie euclidienne comme l’une des nombreuses configurations géométriques possibles, plutôt que comme une vérité objective absolue. L’existence possible d’une quatrième dimension a inspiré les artistes à remettre en question la perspective classique de la Renaissance: la géométrie non-euclidienne est devenue une alternative valable. Le concept que la peinture pourrait s’exprimer mathématiquement, en couleur et en forme, a contribué au cubisme, le mouvement artistique qui a conduit à l’art abstrait. Metzinger, en 1910, écrivait: «[Picasso] expose une perspective libre et mobile, dont cet ingénieux mathématicien, Maurice Princet, a déduit toute une géométrie». Plus tard, Metzinger a écrit dans ses mémoires:

Maurice Princet nous rejoignait souvent … c’était en tant qu’artiste qu’il conceptualisait les mathématiques, en tant qu’esthéticien qu’il invoquait des continuums ndimensionnels. Il aimait intéresser les artistes aux nouvelles perspectives sur l’espace qu’avaient ouvertes Schlegel et quelques autres. Il a réussi à ça.

L’impulsion à faire de l’enseignement ou de la recherche des modèles de formes mathématiques crée naturellement des objets qui ont des symétries et des formes surprenantes ou agréables. Certains d’entre eux ont inspiré des artistes tels que les Dadaïstes Man Ray, Marcel Duchamp et Max Ernst, et après Man Ray, Hiroshi Sugimoto.

Man Ray a photographié certains des modèles mathématiques de l’Institut Henri Poincaré à Paris, dont Objet mathématique (Objet mathématique). Il a noté que cela représentait les surfaces d’Enneper avec une courbure négative constante, dérivée de la pseudo-sphère. Ce fondement mathématique était important pour lui, car il lui permettait de nier que l’objet était «abstrait», affirmant plutôt qu’il était aussi réel que l’urinoir que Duchamp a fait dans une œuvre d’art. Man Ray a admis que la formule de [surface Enneper] de l’objet ne signifiait rien pour moi, mais les formes elles-mêmes étaient aussi variées et authentiques que n’importe quelle nature. Il a utilisé ses photographies des modèles mathématiques comme des figures dans sa série qu’il a fait sur les pièces de Shakespeare, telles que sa peinture de 1934 Antony et Cléopâtre. Le journaliste d’art Jonathan Keats, écrit dans ForbesLife, affirme que Man Ray a photographié « les paraboloïdes elliptiques et les points coniques dans la même lumière sensuelle que ses images de Kiki de Montparnasse », et « réutilise ingénieusement les calculs frais des mathématiques pour révéler la topologie de envie ». Des sculpteurs du XXe siècle comme Henry Moore, Barbara Hepworth et Naum Gabo s’inspirent de modèles mathématiques. Moore a écrit de sa mère et de l’enfant à cordes de 1938: «La source de mes figures à cordes était sans aucun doute le musée des sciences … J’étais fasciné par les modèles mathématiques que j’ai vus là … Ce n’était pas l’étude scientifique de ces modèles. pouvoir regarder à travers les ficelles comme avec une cage à oiseaux et voir une forme dans une autre qui m’excitait.  »

Les artistes Theo van Doesburg et Piet Mondrian ont fondé le mouvement De Stijl, qu’ils voulaient « établir un vocabulaire visuel composé de formes géométriques élémentaires compréhensibles par tous et adaptables à toute discipline ». Beaucoup de leurs œuvres se composent visiblement de carrés et de triangles réglés, parfois aussi de cercles. Les artistes de De Stijl ont travaillé dans la peinture, le mobilier, le design d’intérieur et l’architecture. Après la dissolution de De Stijl, Van Doesburg a fondé le mouvement Avant-garde Art Concret, décrivant sa composition arithmétique 1929-1930, une série de quatre carrés noirs sur la diagonale d’un fond carré, comme « une structure qui peut être contrôlée, un surface définie sans hasard éléments ou caprice individuel », pourtant« ne manquant pas d’esprit, ne manquant pas de l’universel et non … vide comme il y a tout ce qui correspond au rythme interne ». La critique d’art Gladys Fabre observe que deux progressions sont à l’œuvre dans le tableau, à savoir la croissance des carrés noirs et les fonds alternatifs.

Les mathématiques de la tessellation, des polyèdres, de la mise en forme de l’espace et de l’auto-référence ont fourni au graphiste M. C. Escher (1898-1972) toute une vie de matériaux pour ses gravures sur bois. Dans Esquisse d’Alhambra, Escher a montré que l’art peut être créé avec des polygones ou des formes régulières telles que des triangles, des carrés et des hexagones. Escher utilisait des polygones irréguliers pour paver l’avion et utilisait souvent des réflexions, des réflexions glissantes et des translations pour obtenir d’autres motifs. Beaucoup de ses œuvres contiennent des constructions impossibles, faites en utilisant des objets géométriques qui établissent une contradiction entre la projection de perspective et les trois dimensions, mais sont agréables à la vue humaine. L’Ascension et la Descente d’Escher est basée sur «l’escalier impossible» créé par le scientifique médical Lionel Penrose et son fils le mathématicien Roger Penrose.

Certains des nombreux dessins de tessellation d’Escher ont été inspirés par des conversations avec le mathématicien H. S. M. Coxeter sur la géométrie hyperbolique. Escher était particulièrement intéressé par cinq polyèdres spécifiques, qui apparaissent plusieurs fois dans son travail. Les solides platoniciens – tétraèdres, cubes, octaèdres, dodécaèdres et icosaèdres – sont particulièrement présents dans l’ordre, le chaos et les quatre solides réguliers. Ces figures stellées résident souvent dans une autre figure qui déforme davantage l’angle de vue et la conformation des polyèdres et fournit une œuvre d’art perspective à multiples facettes.

La complexité visuelle des structures mathématiques telles que les tessellations et les polyèdres a inspiré une variété d’œuvres d’art mathématiques. Stewart Coffin fabrique des puzzles polyédriques dans des bois rares et magnifiques; George W. Hart travaille sur la théorie des polyèdres et sculpte des objets inspirés par eux; Magnus Wenninger fabrique des modèles «particulièrement beaux» de polyèdres stellés complexes.

Les perspectives déformées de l’anamorphose ont été explorées dans l’art depuis le XVIe siècle, quand Hans Holbein le Jeune a incorporé un crâne sévèrement déformé dans son tableau de 1553 Les Ambassadeurs. Beaucoup d’artistes depuis, y compris Escher, ont utilisé des astuces anamorphiques.

Les mathématiques de la topologie ont inspiré plusieurs artistes dans les temps modernes. Le sculpteur John Robinson (1935-2007) a créé des œuvres telles que Gordian Knot et Bands of Friendship, exposant la théorie des nœuds en bronze poli. D’autres travaux de Robinson explorent la topologie des tores. La genèse est basée sur les anneaux borroméens – un ensemble de trois cercles, dont deux ne sont pas liés mais dans lesquels toute la structure ne peut être démontée sans se rompre. Le sculpteur Helaman Ferguson crée des surfaces complexes et d’autres objets topologiques. Ses œuvres sont des représentations visuelles d’objets mathématiques; La Voie Octuple est basée sur le groupe linéaire spécial projectif PSL (2,7), un groupe fini de 168 éléments. Le sculpteur Bathsheba Grossman fonde de même son travail sur les structures mathématiques.

Un projet d’enquête sur les arts libéraux examine les liens entre les mathématiques et l’art à travers la bande de Möbius, les flexagons, la photographie d’origami et de panorama.

Objets mathématiques, y compris le collecteur de Lorenz et le plan hyperbolique ont été conçus en utilisant des arts de la fibre, y compris le crochet. La tisseuse américaine Ada Dietz a écrit une monographie de 1949 Expressions algébriques dans les textiles tissés à la main, définissant des modèles de tissage basés sur l’expansion des polynômes multivariés. Le mathématicien J. C. P. Miller a utilisé l’automate cellulaire Rule 90 pour concevoir des tapisseries représentant à la fois des arbres et des motifs abstraits de triangles. Les «mathekniticians» Pat Ashforth et Steve Plummer utilisent des versions tricotées d’objets mathématiques tels que les hexaflexagones dans leur enseignement, bien que leur éponge Menger se soit avérée trop difficile à tricoter et soit faite de toile plastique à la place. Leur projet «mathghans» (Afghans for Schools) a introduit le tricot dans le programme britannique de mathématiques et de technologie.

Modélisation mathématique
La modélisation est loin d’être la seule façon possible d’illustrer les concepts mathématiques. Le Stefaneschi Triptych de Giotto, 1320, illustre la récurrence sous la forme de mise en abyme; le panneau central du triptyque contient, en bas à gauche, la figure agenouillée du cardinal Stefaneschi, tenant le triptyque en offrande. Les peintures métaphysiques de Giorgio Chirico, comme sa Grande métaphysique intérieure de 1917, explorent la question des niveaux de représentation dans l’art en décrivant des peintures dans ses peintures.

L’art peut illustrer des paradoxes logiques, comme dans certains tableaux du surréaliste René Magritte, qui peuvent être interprétés comme des blagues sémiotiques sur la confusion entre les niveaux. Dans La condition humaine (1933), Magritte représente un chevalet (sur la toile réelle), soutenant de façon transparente une vue à travers une fenêtre qui est encadrée par de «vrais» rideaux dans le tableau. De même, Escher’s Print Gallery (1956) est une estampe qui représente une ville déformée qui contient une galerie contenant récursivement l’image, et donc à l’infini. Magritte a utilisé des sphères et des cuboïdes pour déformer la réalité d’une manière différente, en les peignant à côté d’un assortiment de maisons dans son arithmétique mentale de 1931 comme si elles étaient des blocs de construction pour enfants, mais de la taille d’une maison. The Guardian a observé que l ‘«étrange image de toytown» prophétisait l’usurpation par le modernisme des «formes traditionnelles douces», mais jouait aussi avec la tendance humaine à rechercher des modèles dans la nature.

Le dernier tableau de Salvador Dalí, The Swallow’s Tail (1983), faisait partie d’une série inspirée par la théorie des catastrophes de René Thom. Le peintre et sculpteur espagnol Pablo Palazuelo (1916-2007) s’est concentré sur l’investigation de la forme. Il a développé un style qu’il a décrit comme la géométrie de la vie et la géométrie de toute la nature. Composé de formes géométriques simples avec motifs et coloriages détaillés, dans des œuvres comme Angular I et Automnes, Palazuelo s’exprime dans des transformations géométriques.

L’artiste Adrian Gray pratique l’équilibre de la pierre, exploitant la friction et le centre de gravité pour créer des compositions frappantes et apparemment impossibles.

Les artistes, cependant, ne prennent pas nécessairement la géométrie littéralement. Comme l’écrit Douglas Hofstadter dans sa réflexion de 1980 sur la pensée humaine, Gödel, Escher, Bach, entre autres les mathématiques de l’art: «La différence entre un dessin d’Escher et une géométrie non-euclidienne est que dans ce dernier, compréhensible les interprétations peuvent être trouvées pour les termes indéfinis, aboutissant à un système global compréhensible, alors que pour le premier, le résultat final n’est pas conciliable avec notre conception du monde, peu importe combien de temps on regarde les images.  » Hofstadter discute la lithographie apparemment paradoxale Print Gallery par M. C. Escher; il représente une ville balnéaire contenant une galerie d’art qui semble contenir une peinture de la ville balnéaire, il y a une «boucle étrange, ou une hiérarchie emmêlée» aux niveaux de la réalité dans l’image. L’artiste lui-même, observe Hofstadter, n’est pas vu; sa réalité et sa relation à la lithographie ne sont pas paradoxales. Le vide central de l’image a également attiré l’intérêt des mathématiciens Bart de Smit et Hendrik Lenstra, qui proposent de contenir une copie de l’effet Droste de lui-même, tournée et rétrécie; ce serait une illustration supplémentaire de la récursivité au-delà de celle notée par Hofstadter.

L’analyse algorithmique d’images d’œuvres d’art, par exemple par spectroscopie de fluorescence X, peut révéler des informations sur l’art. De telles techniques peuvent révéler des images dans des couches de peinture recouvertes plus tard par un artiste; aider les historiens de l’art à visualiser une œuvre avant qu’elle ne craque ou ne s’efface; aider à distinguer une copie d’un original, ou distinguer le style de coup de pinceau d’un maître de ceux de ses apprentis.

Le style de peinture au goutte à goutte de Jackson Pollock a une dimension fractale définie; Parmi les artistes qui ont pu influencer le chaos contrôlé de Pollock, Max Ernst peignit directement des personnages de Lissajous en balançant un seau de peinture perforé sur une toile.

L’informaticien Neil Dodgson a cherché à savoir si les peintures à bandes de Bridget Riley pouvaient être caractérisées mathématiquement, concluant que si la distance de séparation pouvait «fournir une certaine caractérisation» et que l’entropie globale fonctionnait sur certaines peintures, l’autocorrélation échouait car les motifs de Riley étaient irréguliers. L’entropie locale fonctionnait le mieux et correspondait bien à la description donnée par le critique d’art Robert Kudielka.

La mesure esthétique 1933 du mathématicien américain George Birkhoff propose une métrique quantitative de la qualité esthétique d’une œuvre d’art. Il ne cherche pas à mesurer les connotations d’une œuvre, comme ce que peut signifier une peinture, mais se limite aux «éléments d’ordre» d’une figure polygonale. Birkhoff combine d’abord (en somme) cinq de ces éléments: s’il y a un axe de symétrie vertical; s’il y a équilibre optique; combien de symétries de rotation il a; à quel point la figure ressemble à un papier peint; et s’il y a des caractéristiques insatisfaisantes comme avoir deux sommets trop rapprochés. Cette métrique, O, prend une valeur comprise entre -3 et 7. La deuxième métrique, C, compte les éléments de la figure, qui pour un polygone est le nombre de droites différentes contenant au moins un de ses côtés. Birkhoff définit alors sa mesure esthétique de la beauté d’un objet comme O / C. Cela peut être interprété comme un équilibre entre le plaisir de regarder l’objet et la quantité d’efforts nécessaires pour l’accepter. La proposition de Birkhoff a été critiquée de diverses façons, notamment pour avoir tenté de mettre la beauté dans une formule, mais jamais affirmé avoir fait cela.

L’art a parfois stimulé le développement des mathématiques, comme lorsque la théorie de la perspective de Brunelleschi en architecture et en peinture a initié un cycle de recherche qui a mené à l’étude de Brook Taylor et Johann Heinrich Lambert sur les fondements mathématiques du dessin en perspective. Géométrie projective de Girard Desargues et Jean-Victor Poncelet.

Tomoko Fusé a retravaillé mathématiquement l’art de l’origami pliant le papier japonais en utilisant des modules, des morceaux de papier congrus tels que des carrés, et en les transformant en polyèdres ou en pavages. Le pliage du papier a été utilisé en 1893 par T. Sundara Rao dans ses Exercices géométriques dans Paper Folding pour démontrer des preuves géométriques. Les mathématiques du pliage du papier ont été explorées dans le théorème de Maekawa, le théorème de Kawasaki et les axiomes de Huzita-Hatori.

Les illusions optiques telles que la spirale Fraser montrent de façon frappante des limites dans la perception visuelle humaine, créant ce que l’historien de l’art Ernst Gombrich a appelé un «truc déconcertant». Les cordes noires et blanches qui semblent former des spirales sont en fait des cercles concentriques. Le style de peinture et de graphisme de l’Op art ou de l’art optique du milieu du XXe siècle a exploité de tels effets pour créer l’impression de mouvement et de motifs clignotants ou vus dans le travail d’artistes tels que Bridget Riley, Spyros Horemis et Victor Vasarely.

Un brin d’art de la Grèce antique voit Dieu comme le géomètre du monde, et la géométrie du monde est donc sacrée. La croyance que Dieu a créé l’univers selon un plan géométrique a des origines anciennes. Plutarque attribua la croyance à Platon, en écrivant que « Platon disait que Dieu géométrisait continuellement » (Convivialium disputationum, liber 8,2). Cette image a influencé la pensée occidentale depuis. Le concept platonicien dérive à son tour d’une notion pythagoricienne d’harmonie musicale, où les notes sont espacées dans des proportions parfaites, correspondant aux longueurs des cordes de la lyre; en effet, les pythagoriciens ont soutenu que tout était arrangé par nombre. De même, dans la pensée platonicienne, les solides réguliers ou platoniciens dictent les proportions trouvées dans la nature et dans l’art. Une illustration manuscrite médiévale peut se référer à un verset de l’Ancien Testament: «Quand il a établi les cieux j’étais là: quand il a placé une boussole sur le visage de l’abîme» (Proverbes 8:27), montrant Dieu en train de dessiner l’univers avec une paire de boussoles. En 1596, l’astronome mathématique Johannes Kepler a modélisé l’univers comme un ensemble de solides platoniciens imbriqués, déterminant les tailles relatives des orbites des planètes. Ancient of Days de William Blake et sa peinture du physicien Isaac Newton, nus et dessinant avec une boussole, tentent de représenter le contraste entre le monde spirituel mathématiquement parfait et le monde physique imparfait, comme d’une manière différente la Crucifixion de 1954 de Salvador Dalí (Corpus Hypercubus), qui représente la croix comme un hypercube, représentant la perspective divine avec quatre dimensions plutôt que les trois habituelles. Dans le Sacrement de la Dernière Cène de Dali (1955), le Christ et ses disciples sont représentés à l’intérieur d’un dodécaèdre géant.