Validez en la lógica.

En lógica, un argumento es válido si y solo si toma una forma que hace imposible que las premisas sean verdaderas y que la conclusión sea falsa. No es necesario que un argumento válido tenga premisas que sean realmente verdaderas, sino que tenga premisas que, si fueran verdaderas, garantizarían la verdad de la conclusión del argumento. Una fórmula es válida si y solo si es verdadera en cada interpretación, y una forma de argumento (o esquema) es válida si y solo si cada argumento de esa forma lógica es válido.

El concepto de interpretación, que es central para esta explicación, puede entenderse intuitivamente como una generalización de la asignación de variables en la lógica proposicional. En lógicas más complejas, también deben asignarse los componentes formales de una fórmula, que determinan el valor de verdad de la fórmula general. En la lógica de predicados, por ejemplo, tiene lugar la definición de un universo y una asignación de símbolos de predicado a predicados (en este universo) y de símbolos de función a funciones (en este universo). Solo haciendo referencia a un conjunto de objetos en un mundo considerado se puede determinar si una fórmula se puede cumplir y si siempre se puede cumplir, es decir, universalmente válida.

La siguiente tabla enumera algunos términos y sinónimos estrechamente relacionados. Las columnas y  están en una relación de equivalencia, por ejemplo, B. es entonces universalmente válido, si    es insatisfactorio.

Sinónimos condición
universal tautológico (en lógica proposicional) Todas las interpretaciones cumplen con la fórmula. incapturable
satisfactoria consistente, consistente Hay una interpretación que satisface la fórmula. falsificable
falsificable refutable Hay una interpretación que refuta la fórmula. satisfactoria
incapturable inconsistente, contradictorio Ninguna interpretación cumple la fórmula. universal

Argumentos
Un argumento es válido si y solo si la verdad de sus premisas implica la verdad de su conclusión y cada paso, subargumento u operación lógica en el argumento es válido. En tales condiciones, sería contradictorio afirmar las premisas y negar la conclusión. El condicional correspondiente de un argumento válido es una verdad lógica y la negación de su condicional correspondiente es una contradicción. La conclusión es una consecuencia lógica de sus premisas.

Se dice que un argumento que no es válido es “inválido”.

El siguiente silogismo bien conocido proporciona un ejemplo de argumento válido:

Todos los hombres son mortales.
Sócrates es un hombre.
Por lo tanto, Sócrates es mortal.

Lo que lo convierte en un argumento válido no es que tenga premisas verdaderas y una conclusión verdadera, sino la necesidad lógica de la conclusión, dadas las dos premisas. El argumento sería igual de válido si las premisas y la conclusión fueran falsas. El siguiente argumento es de la misma forma lógica pero con premisas falsas y una conclusión falsa, y es igualmente válido:

Todas las tazas son verdes.
Sócrates es una copa.
Por lo tanto, Sócrates es verde.

No importa cómo se pueda construir el universo, nunca podría ser el caso [¿por qué?] Que estos argumentos deberían tener simultáneamente premisas verdaderas pero una conclusión falsa. Los argumentos anteriores pueden contrastarse con el siguiente no válido:

Todos los hombres son inmortales.
Sócrates es un hombre.
Por lo tanto, Sócrates es mortal.

En este caso, la conclusión contradice la lógica deductiva de las premisas anteriores, en lugar de derivar de ella. Por lo tanto, el argumento es lógicamente “inválido”, aunque la conclusión podría considerarse “verdadera” en términos generales. La premisa ‘Todos los hombres son inmortales’ también se consideraría falsa fuera del marco de la lógica clásica. Sin embargo, dentro de ese sistema, ‘verdadero’ y ‘falso’ funcionan esencialmente más como estados matemáticos, como 1s y 0s binarios, que los conceptos filosóficos normalmente asociados con esos términos.

Una opinión estándar es que si un argumento es válido es una cuestión de la forma lógica del argumento. Los lógicos emplean muchas técnicas para representar la forma lógica de un argumento. Un ejemplo simple, aplicado a dos de las ilustraciones anteriores, es el siguiente: deje que las letras ‘P’, ‘Q’ y ‘S’ representen, respectivamente, el conjunto de hombres, el conjunto de mortales y Sócrates. Usando estos símbolos, el primer argumento puede abreviarse como:

Todas las P son Q.
S es una P.
Por lo tanto, S es una Q.

Del mismo modo, el segundo argumento se convierte en:

Todas las P no son Q.
S es una P.
Por lo tanto, S es una Q.
Un argumento se denomina formalmente válido si tiene autoconsistencia estructural, es decir, cuando los operandos entre premisas son todos verdaderos, la conclusión derivada también es siempre verdadera. . En el tercer ejemplo, las premisas iniciales no pueden resultar lógicamente en la conclusión y, por lo tanto, se clasifican como un argumento no válido.

Fórmula válida
Una fórmula de un lenguaje formal es una fórmula válida si y solo si es cierta en todas las interpretaciones posibles del idioma. En la lógica proposicional, son tautologías.

Estos argumentos son válidos porque ambos tienen la forma de un silogismo disyuntivo, que es un esquema de argumento válido:

poq
No p
Por lo tanto, q
Para determinar la validez de un argumento específico, entonces, es suficiente determinar la validez de su esquema de argumento, y esto se puede lograr por medios semánticos o sintácticos.

Método semántico
En el método semántico, se dice que un esquema de argumento es válido cuando es imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Para determinar si este es el caso, se asume la verdad de las premisas, y aplicando las definiciones de verdad, uno trata de deducir la verdad de la conclusión. O también, se supone que las premisas son verdaderas y la conclusión falsa, y al aplicar las definiciones de verdad, se intenta deducir una contradicción (reducción a lo absurdo).

En la lógica proposicional, un método alternativo es transformar un argumento en su fórmula correspondiente y construir una tabla de verdad. Si la fórmula resulta ser una verdad lógica, entonces el argumento es válido. Esto se debe a que el teorema de deducción y su inversa son válidos, pero también porque la lógica proposicional es decidible y, por lo tanto, siempre admite un procedimiento algorítmico para determinar si alguna fórmula es una verdad lógica o no.

{\ displaystyle {\ begin {array} {c |  c ||  c |  c |  c |  c} p & q & (p \ lor q) & \ neg p & (p \ lor q) \ land \ neg p & [(p \ lor q) \ land \ neg p] \ to q \\\ hline V & V & V & F & F & V \\ V & F & V & F & F & V \\ F & V & V & V & V & V \\ F & F & F & V & F & V \ \\ end {array}}}

Método sintáctico
En el método sintáctico, se dice que un esquema de argumento es válido cuando hay una deducción de la conclusión a partir de las premisas del argumento y los axiomas del sistema, utilizando solo las reglas de inferencia permitidas.

En un sistema de deducción natural, es como si el conjunto de axiomas estuviera vacío, un esquema de argumento será válido cuando haya una deducción de la conclusión de las premisas, utilizando solo las reglas de longitud permitidas.

Declaraciones
Una declaración puede llamarse válida, es decir, verdad lógica, si es cierta en todas las interpretaciones.

Solidez La
validez de la deducción no se ve afectada por la verdad de la premisa o la verdad de la conclusión. La siguiente deducción es perfectamente válida:

Todos los animales viven en Marte.
Todos los humanos son animales.
Por lo tanto, todos los humanos viven en Marte.

El problema con el argumento es que no es sólido. Para que un argumento deductivo sea sólido, la deducción debe ser válida y todas las premisas verdaderas.

La teoría del modelo de satisfacción analiza fórmulas con respecto a clases particulares de interpretación en estructuras matemáticas adecuadas. En esta lectura, la fórmula es válida si todas esas interpretaciones la hacen verdadera. Una inferencia es válida si todas las interpretaciones que validan las premisas validan la conclusión. Esto se conoce como validez semántica.

Preservación
En la validez de preservar la verdad, la interpretación según la cual a todas las variables se les asigna un valor de verdad de ‘verdadero’ produce un valor de verdad de ‘verdadero’.

En una validez de conservación falsa, la interpretación según la cual a todas las variables se les asigna un valor de verdad de ‘falso’ produce un valor de verdad de ‘falso’.

Propiedades de conservación Oraciones conectivas lógicas
Preservación verdadera y falsa: Proposición • Conjunción lógica (Y  \tierra  ) • Disyunción lógica (OR,  \ lor  )
Verdadera preservación solamente: Tautología (  \parte superior  ) • Bicondicional (XNOR,  \ leftrightarrow  ) • Implicación (  \flecha correcta  ) • Implicación inversa (  \flecha izquierda  )
Falsa preservación solamente: Contradicción (  \larva del moscardón  ) • Disyunción exclusiva (XOR,  \ oplus  ) • No implicación (  \ nrightarrow  ) • No implicación inversa (  \ nleftarrow  )
No conservante: Negación (  \ neg  ) • Negación alternativa (NAND,  \ uparrow  ) • Negación conjunta (NOR,  \flecha hacia abajo  )