La teoría musical no tiene una base axiomática en las matemáticas modernas, sin embargo, la base del sonido musical se puede describir matemáticamente (en acústica) y exhibe «una notable variedad de propiedades numéricas». Elementos de la música como su forma, ritmo y medidor, los tonos de sus notas y el tempo de su pulso se pueden relacionar con la medición del tiempo y la frecuencia, ofreciendo analogías listas en geometría.
La estrecha relación entre la música y las matemáticas ha sido estudiada desde la antigüedad: un ejemplo clásico es la Escuela de Pitágoras, a la cual los descubrimientos (los pitagóricos les asignan significados místicos), según los cuales los diferentes tonos de una escala están vinculados a la relación entre enteros: un halter reducido a la mitad suena la octava superior, reducido a su 3/4 el cuarto, reducido a 2/3 el quinto, y así sucesivamente.
Muchas de las matemáticas aplicadas en el campo de la música provienen del estudio de la física acústica y los problemas relacionados. Si la misma división rítmica del medidor musical está indicada por una fracción matemática, sabemos que en la base de cualquier ruido hay una contribución de innumerables ondas estacionarias, y que cualquier sonido puede descomponerse en ondas sinusoidales por medio de un análisis armónico ( expresado matemáticamente con el algoritmo de transformación de Fourier).
El intento de estructurar y comunicar nuevas formas de componer y escuchar música ha llevado a las aplicaciones musicales de la teoría de conjuntos, el álgebra abstracta y la teoría de números. Algunos compositores han incorporado la proporción áurea y los números de Fibonacci en su trabajo.
De una manera más abstracta, la música también se relacionó con las matemáticas en su aspecto de composición (que requiere la distribución de sonidos entre las diversas alturas, en diferentes momentos del tiempo y entre las diferentes voces de los artistas intérpretes o ejecutantes). Este tipo de análisis musical ha tenido músicos ilustres a lo largo de los siglos (piense en las geometrías musicales de los cánones de Bach) y ha conocido nuevas fortunas incluso en tiempos cercanos a nosotros (en los años 1900, por ejemplo, el Instituto Kranischstein en Darmstadt, Cologne Radio Electronic Music Studio, Milan’s Music Phonology Center e IRCAM en París).
Aunque se sabe que antiguos chinos, indios, egipcios y mesopotámicos estudiaron los principios matemáticos del sonido, los pitagóricos (en particular Philolaus y Archytas) de la antigua Grecia fueron los primeros investigadores que investigaron la expresión de escalas musicales en términos de relaciones numéricas , particularmente las relaciones de enteros pequeños. Su doctrina central era que «toda la naturaleza consiste en la armonía que surge de los números».
Desde la época de Platón, la armonía se consideraba una rama fundamental de la física, ahora conocida como acústica musical. Los primeros teóricos indios y chinos muestran enfoques similares: todos buscaban mostrar que las leyes matemáticas de los armónicos y los ritmos eran fundamentales no solo para nuestra comprensión del mundo sino también para el bienestar humano. Confucio, como Pitágoras, consideraba los números pequeños 1,2,3,4 como la fuente de toda perfección.
Desde el siglo XVII muchos músicos han llegado a la prueba del conocimiento matemático sólido (por ejemplo, Giuseppe Tartini dio testimonio en un tratado de música según la verdadera ciencia de la armonía en 1754 y así Iannis Xenakis en la Música se formalizó en 1971, Pierre Boulez y Philip Glass se gradúa en matemáticas y se ha inspirado en su arte).
Sin los límites de la estructura rítmica, una disposición fundamental igualitaria y regular de la repetición del pulso, el acento, la frase y la duración, la música no sería posible. El uso musical moderno de términos como metro y medida también refleja la importancia histórica de la música, junto con la astronomía, en el desarrollo del recuento, la aritmética y la medición exacta del tiempo y la periodicidad que es fundamental para la física. [Citación necesitada]
Los elementos de la forma musical a menudo construyen proporciones estrictas o estructuras hipermétricas (poderes de los números 2 y 3).
La forma musical es el plan mediante el cual se extiende una breve pieza de música. El término «plan» también se utiliza en la arquitectura, a la cual se compara a menudo la forma musical. Al igual que el arquitecto, el compositor debe tener en cuenta la función a la que se destina el trabajo y los medios disponibles, practicar la economía y hacer uso de la repetición y el orden. Los tipos comunes de formas conocidas como binarias y ternarias («doble» y «triple») demuestran una vez más la importancia de los pequeños valores integrales para la inteligibilidad y el atractivo de la música.
El fenómeno de golpear es cuando se tocan dos notas de frecuencia similares (pero no idénticas). Entonces, se tiene la impresión de escuchar un sonido de frecuencia cercano a los de los primeros dos, cuya intensidad, sin embargo, oscila con el tiempo tan lentamente como las frecuencias de los primeros dos sonidos estaban cerca. Por este motivo, los tiempos se utilizan para determinar si hay notas que caen o suben al sintonizar un instrumento.
La explicación de este fenómeno radica en parte en la naturaleza física de las ondas de sonido, y en parte en la forma en que nuestro oído percibe los sonidos. Si enfocamos nuestra atención en la superposición de dos tonos puros (es decir, que pueden ser representados por ondas sinusoidales) y supongamos, por simplicidad,
Una escala musical es un conjunto discreto de tonos utilizados para hacer o describir música. La escala más importante en la tradición occidental es la escala diatónica, pero muchos otros han sido utilizados y propuestos en diversas épocas históricas y partes del mundo. Cada tono corresponde a una frecuencia particular, expresada en hercios (Hz), algunas veces referida como ciclos por segundo (c.p.s.). Una escala tiene un intervalo de repetición, normalmente la octava. La octava de cualquier tono se refiere a una frecuencia exactamente el doble que la altura dada.
Las superoctavas sucesivas son lanzamientos que se encuentran en las frecuencias cuatro, ocho, dieciséis veces, y así sucesivamente, de la frecuencia fundamental. Los tonos en las frecuencias de la mitad, un cuarto, un octavo y así sucesivamente del fundamental se llaman suboctavas. No hay caso en la armonía musical donde, si un tono dado se considera acorde, que sus octavas se consideran de otra manera. Por lo tanto, cualquier nota y sus octavas generalmente se encontrarán de manera similar en los sistemas musicales (por ejemplo, todas se llamarán doh o A o Sa, según sea el caso).
Cuando se expresa como un ancho de banda de frecuencia, una octava A2-A3 abarca desde 110 Hz hasta 220 Hz (span = 110 Hz). La siguiente octava abarcará desde 220 Hz hasta 440 Hz (span = 220 Hz). La tercera octava se extiende desde 440 Hz a 880 Hz (span = 440 Hz) y así sucesivamente. Cada octava sucesiva abarca el doble del rango de frecuencia de la octava anterior.
Como a menudo nos interesan las relaciones o proporciones entre los tonos (conocidos como intervalos) en lugar de los tonos precisos en sí mismos al describir una escala, es habitual referirse a todos los tonos de escala en términos de su proporción respecto de un tono particular, que se le da el valor de uno (a menudo escrito 1/1), generalmente una nota que funciona como la tónica de la escala. Para la comparación del tamaño de intervalo, a menudo se usan centavos.
Hay dos familias principales de sistemas de afinación: temperamento igual y afinación justa. Las escalas de temperamento igual se construyen dividiendo una octava en intervalos que son iguales en una escala logarítmica, lo que da como resultado escalas perfectamente divididas equitativamente, pero con proporciones de frecuencias que son números irracionales. Solo las escalas se construyen multiplicando las frecuencias por números racionales, lo que da como resultado relaciones simples entre frecuencias, pero con divisiones de escala que son desiguales.
Una diferencia importante entre afinaciones de temperamento igual y afinaciones justas son las diferencias en el compás acústico cuando se tocan dos notas juntas, lo que afecta la experiencia subjetiva de consonancia y disonancia. Ambos sistemas, y la gran mayoría de la música en general, tienen escalas que se repiten en el intervalo de cada octava, que se define como la relación de frecuencia de 2: 1. En otras palabras, cada vez que se duplica la frecuencia, la escala dada se repite.
A continuación se muestran los archivos Ogg Vorbis que demuestran la diferencia entre la entonación justa y el temperamento igual. Es posible que necesite reproducir las muestras varias veces antes de poder elegir la diferencia.
Dos ondas sinusoidales reproducidas consecutivamente: esta muestra tiene medio paso a 550 Hz (C♯ en la escala de entonación justa), seguida de medio paso a 554.37 Hz (C♯ en la escala de temperamento igual).
Las mismas dos notas, ajustadas contra un pedal A440: esta muestra consiste en una «díada». La nota más baja es una constante A (440 Hz en cualquier escala), la nota superior es un C♯ en la escala de temperamento igual para el primer 1 «, y un C♯ en la escala de entonación justa para el último 1». Las diferencias de fase hacen que sea más fácil elegir la transición que en la muestra anterior.
La afinación de 5 límites, la forma más común de entonación justa, es un sistema de afinación que usa tonos que son armónicos de números regulares de una sola frecuencia fundamental. Esta fue una de las escalas que Johannes Kepler presentó en su Harmonices Mundi (1619) en relación con el movimiento planetario. La misma escala fue dada en forma transpuesta por el matemático y teórico musical escocés, Alexander Malcolm, en 1721 en su «Tratado de música: especulativo, práctico e histórico», y por el teórico José Wuerschmidt en el siglo XX. Una forma de ello se usa en la música del norte de la India.
El compositor estadounidense Terry Riley también hizo uso de la forma invertida de la misma en su «Arpa de Nueva Albión». La entonación justa da resultados superiores cuando hay poca o ninguna progresión de acordes: las voces y otros instrumentos gravitan a la entonación justa siempre que sea posible. Sin embargo, ofrece dos intervalos de tonos completos diferentes (9: 8 y 10: 9) porque un instrumento sintonizado fijo, como un piano, no puede cambiar la tecla. Para calcular la frecuencia de una nota en una escala dada en términos de proporciones, la relación de frecuencias se multiplica por la frecuencia tónica. Por ejemplo, con un tónico de A4 (A natural por encima del medio C), la frecuencia es de 440 Hz, y un quinto justamente sintonizado por encima (E5) es simplemente 440 × (3: 2) = 660 Hz.
La afinación pitagórica se basa únicamente en las consonancias perfectas, la octava (perfecta), la quinta perfecta y la cuarta perfecta. Por lo tanto, el tercio mayor no se considera un tercero sino un ditone, literalmente «dos tonos», y es (9: 8) 2 = 81:64, en lugar del independiente y armónico solo 5: 4 = 80:64 directamente debajo. Un tono completo es un intervalo secundario, derivado de dos quintas perfectas, (3: 2) 2 = 9: 8.
El tercer mayor, 5: 4 y el tercero menor, 6: 5, son una coma sintónica, 81:80, aparte de sus equivalentes pitagóricos 81:64 y 32:27, respectivamente. Según Carl Dahlhaus (1990, p.187), «el tercio dependiente se ajusta al pitagórico, el tercero independiente al ajuste armónico de los intervalos».
Por lo general, la música occidental de práctica común no se puede tocar con la misma entonación, sino que requiere una escala templada de manera sistemática. El atemperamiento puede involucrar las irregularidades del temperamento del pozo o construirse como un temperamento regular, ya sea de alguna forma de temperamento igual o de algún otro medio regular, pero en todos los casos involucrará las características fundamentales del temperamento del significado. Por ejemplo, la raíz del acorde ii, si está afinada a una quinta por encima de la dominante, sería un tono entero principal (9: 8) por encima de la tónica. Sin embargo, si sintonizó un tercio menor (6: 5) por debajo de un grado de 4: 3 solo subdominante, el intervalo de la tónica sería igual a un tono entero menor (10: 9). El temperamento de Meantone reduce la diferencia entre 9: 8 y 10: 9. Su proporción, (9: 8) / (10: 9) = 81:80, se trata como unísono. El intervalo 81:80, llamado la coma o coma sintónica de Didymus, es la coma clave del temperamento del significado.
En el temperamento igual, la octava se divide en partes iguales en la escala logarítmica. Si bien es posible construir una escala de temperamento igual con cualquier número de notas (por ejemplo, el sistema de tono árabe de 24 tonos), el número más común es 12, lo que constituye la escala cromática de igual temperamento. En la música occidental, una división en doce intervalos se supone comúnmente a menos que se especifique lo contrario.
Para la escala cromática, la octava está dividida en doce partes iguales, cada semitono (medio paso) es un intervalo de la raíz duodécima de dos, de modo que doce de estos medios pasos iguales suman exactamente una octava. Con los instrumentos con trastes es muy útil usar un temperamento igual para que los trastes se alineen uniformemente a través de las cuerdas. En la tradición musical europea, el temperamento igual se utilizó para laúd y la música de guitarra mucho antes que para otros instrumentos, como los teclados musicales. Debido a esta fuerza histórica, el temperamento igual de doce tonos es ahora el sistema de entonación dominante en el mundo occidental, y gran parte del mundo no occidental.
Se han utilizado escalas igualmente templadas y se han construido instrumentos utilizando varios otros números de intervalos iguales. El 19 temperamento igual, propuesto por primera vez y utilizado por Guillaume Costeley en el siglo XVI, utiliza 19 tonos equidistantes, ofreciendo mejores tercios mayores y mucho mejores tercios menores que el temperamento normal de 12 semitonos a costa de un quinto más plano. El efecto general es uno de mayor consonancia. 24 temperamento igual, con 24 tonos equidistantes, está muy extendido en la pedagogía y la notación de la música árabe. Sin embargo, en la teoría y en la práctica, la entonación de la música árabe se ajusta a relaciones racionales, en oposición a las proporciones irracionales de sistemas igualmente moderados.
Mientras que cualquier análogo al cuarto de tono igualmente templado está completamente ausente de los sistemas de entonación árabe, con frecuencia ocurren análogos a un tono de tres cuartos, o un segundo neutro. Estos segundos neutros, sin embargo, varían ligeramente en sus proporciones dependiendo de maqam, así como de la geografía. De hecho, el historiador de la música árabe Habib Hassan Touma ha escrito que «la amplitud de la desviación de este paso musical es un ingrediente crucial en el peculiar sabor de la música árabe. Templar la escala dividiendo la octava en veinticuatro cuartos de tono de igual tamaño. sería entregar uno de los elementos más característicos de esta cultura musical «.
El siguiente gráfico revela con qué precisión varias escalas de temperamento igual se aproximan a tres identidades armónicas importantes: el tercio mayor (5º armónico), el quinto perfecto (3º armónico) y el «séptimo armónico» (7º armónico). [Nota: los números sobre las barras designan la escala de temperamento igual (es decir, «12» designa la escala de 12 tonos con temperamento igual, etc.)]
El problema de la entonación, como se mencionó anteriormente, deriva de la necesidad de poder sintonizar instrumentos de cuerda como el piano o las cuerdas para que puedan tocar en diferentes tonos. Ninguno de los dos métodos hasta ahora resuelve este problema con precisión, como se puede ver en el siguiente procedimiento.
Una forma de sintonizar un instrumento de afinación fija es preservar los quintos rangos de una cuerda base. De esta manera se concede siguiendo el llamado ciclo de bucle: Do, Sol, King, La, Me, Si, Do, Do, Solò, Reè, La, Fa (o Miè), Do seven octaves regresa al fundamental Nota. Es fácil ver que ninguno de los métodos examinados aquí puede hacer que el Do8 coincida con el que se obtiene del ciclo de bucle: de hecho, tanto para el temperamento natural como para el pitagórico, las frecuencias de octava son múltiples de potencias de dos, mientras que en el ciclo de bucle las frecuencias son múltiples de potencias de 3/2: ninguna potencia de dos es también una potencia de 3/2. Este argumento se aplica también a otros informes considerados.
Por lo tanto, se ve que un afinador que quiere sintonizar una herramienta que intenta preservar todos los rangos correctos (tercero, cuarto, quinto) se enfrentaría a un problema insoluble y debería buscar un compromiso: esto es lo que equivale al temperamento.
La teoría de conjuntos musicales usa el lenguaje de la teoría matemática de conjuntos de una manera elemental para organizar objetos musicales y describir sus relaciones. Para analizar la estructura de una pieza de música (típicamente atonal) utilizando la teoría de conjuntos musicales, uno generalmente comienza con un conjunto de tonos, que podrían formar motivos o acordes. Al aplicar operaciones simples como transposición e inversión, uno puede descubrir estructuras profundas en la música. Las operaciones como la transposición y la inversión se denominan isometrías porque conservan los intervalos entre los tonos en un conjunto.
Ampliando los métodos de la teoría de conjuntos musicales, algunos teóricos han utilizado el álgebra abstracta para analizar la música. Por ejemplo, las clases de tono en una octava igualmente templada forman un grupo abeliano con 12 elementos. Es posible describir la entonación justa en términos de un grupo abeliano libre.
La teoría de la transformación es una rama de la teoría musical desarrollada por David Lewin. La teoría permite una gran generalidad porque enfatiza las transformaciones entre los objetos musicales, en lugar de los objetos musicales en sí mismos.
Los teóricos también han propuesto aplicaciones musicales de conceptos algebraicos más sofisticados. La teoría de los temperamentos regulares se ha desarrollado ampliamente con una amplia gama de matemáticas sofisticadas, por ejemplo, asociando cada temperamento regular con un punto racional en un Grassmann.
También se han utilizado análisis reales y complejos, por ejemplo, aplicando la teoría de la función zeta de Riemann al estudio de divisiones iguales de la octava.
El desarrollo de las matemáticas de la música contemporánea (del análisis a la composición, al gesto en la interpretación musical) se debe principalmente a la contribución del matemático y músico Guerino Mazzola, profesor en los Estados Unidos en la Universidad de Minnesota.
SMCM, la Sociedad de Matemáticas e Informática en la Música, organiza conferencias semestrales sobre los resultados de la investigación en matemáticas y música.