Gültigkeit in der Logik

In der Logik ist ein Argument nur dann gültig, wenn es eine Form annimmt, die es unmöglich macht, dass die Prämissen wahr und die Schlussfolgerung dennoch falsch sind. Für ein gültiges Argument ist es nicht erforderlich, Prämissen zu haben, die tatsächlich wahr sind, sondern Prämissen, die, wenn sie wahr wären, die Wahrheit der Schlussfolgerung des Arguments garantieren würden. Eine Formel ist nur dann gültig, wenn sie unter jeder Interpretation wahr ist, und ein Argumentformular (oder Schema) ist nur dann gültig, wenn jedes Argument dieser logischen Form gültig ist.

Der Interpretationsbegriff, der für diese Erklärung von zentraler Bedeutung ist, kann intuitiv als Verallgemeinerung der Variablenzuordnung in der Aussagenlogik verstanden werden: Nur durch die Zuordnung der Aussagenvariablen einer Aussagenformel kann die Formel als Ganzes einen Wahrheitswert zuordnen. Bei komplexeren Logiken müssen auch Zuordnungen zu den formalen Bestandteilen einer Formel vorgenommen werden, die den Wahrheitswert der Gesamtformel bestimmen. In der Prädikatenlogik erfolgt beispielsweise die Definition eines Universums und die Zuordnung von Prädikatsymbolen zu Prädikaten (in diesem Universum) und von Funktionssymbolen zu Funktionen (in diesem Universum). Nur durch Bezugnahme auf eine Menge von Objekten in einer betrachteten Welt kann festgestellt werden, ob eine Formel erfüllt werden kann und ob sie immer erfüllt werden kann, dh universell gültig ist.

In der folgenden Tabelle sind einige eng verwandte Begriffe und Synonyme aufgeführt. Die Spalten und  stehen in einer Äquivalenzbeziehung, z. B. ist gerade dann allgemeingültig, wenn sie nicht    erfüllt werden können.

Synonyme Bedingung
Universal- tautologisch (in aussagenlogik) Alle Interpretationen entsprechen der Formel. unerreichbar
erfüllbar konsequent, konsequent Es gibt eine Interpretation, die die Formel erfüllt. falsifizierbar
falsifizierbar widerlegbar Es gibt eine Interpretation, die die Formel widerlegt. erfüllbar
unerreichbar inkonsistent, widersprüchlich Keine Interpretation erfüllt die Formel. Universal-

Argumente
Ein Argument ist nur dann gültig, wenn die Wahrheit seiner Prämissen die Wahrheit seiner Schlussfolgerung beinhaltet und jeder Schritt, jedes Unterargument oder jede logische Operation im Argument gültig ist. Unter solchen Umständen wäre es widersprüchlich, die Prämissen zu bestätigen und die Schlussfolgerung zu leugnen. Die entsprechende Bedingung eines gültigen Arguments ist eine logische Wahrheit, und die Negation der entsprechenden Bedingung ist ein Widerspruch. Die Schlussfolgerung ist eine logische Konsequenz seiner Prämissen.

Ein ungültiges Argument wird als “ungültig” bezeichnet.

Ein Beispiel für ein gültiges Argument liefert der folgende bekannte Syllogismus:

Alle Männer sind sterblich.
Sokrates ist ein Mann.
Deshalb ist Sokrates sterblich.

Was dies zu einem stichhaltigen Argument macht, ist nicht, dass es wahre Prämissen und eine wahre Schlussfolgerung hat, sondern die logische Notwendigkeit der Schlussfolgerung angesichts der beiden Prämissen. Das Argument wäre genauso gültig, wenn die Prämissen und Schlussfolgerungen falsch wären. Das folgende Argument hat dieselbe logische Form, aber falsche Prämissen und eine falsche Schlussfolgerung, und es ist ebenso gültig:

Alle Tassen sind grün.
Sokrates ist eine Tasse.
Deshalb ist Sokrates grün.

Egal wie das Universum aufgebaut sein mag, es könnte niemals der Fall sein [warum?], Dass sich herausstellt, dass diese Argumente gleichzeitig wahre Prämissen haben, aber eine falsche Schlussfolgerung. Die obigen Argumente können mit dem folgenden ungültigen Argument verglichen werden:

Alle Männer sind unsterblich.
Sokrates ist ein Mann.
Deshalb ist Sokrates sterblich.

In diesem Fall widerspricht die Schlussfolgerung der deduktiven Logik der vorhergehenden Prämissen und leitet sich nicht daraus ab. Daher ist das Argument logischerweise “ungültig”, obwohl die Schlussfolgerung allgemein als “wahr” angesehen werden könnte. Die Prämisse “Alle Menschen sind unsterblich” würde auch außerhalb des Rahmens der klassischen Logik als falsch angesehen. Innerhalb dieses Systems funktionieren „wahr“ und „falsch“ jedoch im Wesentlichen eher wie mathematische Zustände wie binäre Einsen und Nullen als die philosophischen Konzepte, die normalerweise mit diesen Begriffen assoziiert werden.

Eine Standardansicht ist, dass es von der logischen Form des Arguments abhängt, ob ein Argument gültig ist. Viele Techniken werden von Logikern verwendet, um die logische Form eines Arguments darzustellen. Ein einfaches Beispiel, das auf zwei der obigen Abbildungen angewendet wird, ist das Folgende: Lassen Sie die Buchstaben ‘P’, ‘Q’ und ‘S’ für die Gruppe der Menschen, die Gruppe der Sterblichen und Sokrates stehen. Mit diesen Symbolen kann das erste Argument wie folgt abgekürzt werden:

Alle P sind Q.
S ist P.
Daher ist S ein Q.

Ebenso lautet das zweite Argument:

Alle P sind nicht Q.
S ist ein P.
Daher ist S ein Q.
Ein Argument wird als formal gültig bezeichnet, wenn es eine strukturelle Selbstkonsistenz aufweist, dh wenn die Operanden zwischen den Prämissen alle wahr sind, ist die abgeleitete Schlussfolgerung immer auch wahr . Im dritten Beispiel können die anfänglichen Prämissen nicht logisch zur Schlussfolgerung führen und werden daher als ungültiges Argument eingestuft.

Gültige Formel
Eine Formel einer formalen Sprache ist dann und nur dann eine gültige Formel, wenn sie für jede mögliche Interpretation der Sprache zutrifft. In der Aussagenlogik sind sie Tautologien.

Diese Argumente sind gültig, weil beide die Form eines disjunktiven Syllogismus haben, der ein gültiges Argumentationsschema darstellt:

poq
No p
Also, q
Um die Gültigkeit eines bestimmten Arguments zu bestimmen, genügt es, die Gültigkeit seines Argumentschemas zu bestimmen, und dies kann mit semantischen oder syntaktischen Mitteln erreicht werden.

Semantische Methode
Bei der semantischen Methode gilt ein Argumentationsschema dann als gültig, wenn die Prämissen nicht wahr und die Schlussfolgerung falsch sein können. Um festzustellen, ob dies der Fall ist, wird die Wahrheit der Prämissen angenommen, und durch Anwenden der Definitionen der Wahrheit versucht man, die Wahrheit aus der Schlussfolgerung abzuleiten. Oder es wird angenommen, dass die Prämissen wahr und die Schlussfolgerung falsch sind, und durch Anwenden der Definitionen der Wahrheit wird versucht, einen Widerspruch abzuleiten (Reduktion auf das Absurde).

In der Aussagenlogik besteht eine alternative Methode darin, ein Argument in die entsprechende Formel umzuwandeln und eine Wahrheitstabelle zu erstellen. Wenn sich die Formel als logische Wahrheit herausstellt, ist das Argument gültig. Dies liegt daran, dass der Deduktionssatz und seine Umkehrung gültig sind, aber auch daran, dass die Aussagenlogik entscheidbar ist und daher immer eine algorithmische Prozedur zulässt, um zu bestimmen, ob eine Formel eine logische Wahrheit ist oder nicht.

{\ displaystyle {\ begin {array} {c |  c ||  c |  c |  c |  c} p & q & (p \ lor q) & \ neg p & (p \ lor q) \ land \ neg p & [(p \ lor q) \ land \ neg p] \ to q \\\ hLinie V & V & V & F & F & V \\ V & F & V & F & V \\ F & V & V & V & V \\ F & F & F & V & F & V \\ end {array}}}

Syntaktische Methode
Bei der syntaktischen Methode gilt ein Argumentationsschema als gültig, wenn die Schlussfolgerung aus den Prämissen des Arguments und den Axiomen des Systems unter Verwendung nur der zulässigen Inferenzregeln abgeleitet wird.

In einem natürlichen Abzugssystem ist es so, als ob die Menge der Axiome leer ist. Ein Argumentationsschema ist gültig, wenn die Schlussfolgerung anhand der zulässigen Längenregeln von den Prämissen abgezogen wird.

Aussagen
Eine Aussage kann als gültig, dh als logische Wahrheit bezeichnet werden, wenn sie in allen Interpretationen wahr ist.

Richtigkeit Die
Gültigkeit des Abzugs wird nicht von der Wahrheit der Prämisse oder der Wahrheit der Schlussfolgerung beeinflusst. Der folgende Abzug ist vollkommen gültig:

Alle Tiere leben auf dem Mars.
Alle Menschen sind Tiere.
Daher leben alle Menschen auf dem Mars.

Das Problem mit dem Argument ist, dass es nicht gesund ist. Damit ein deduktives Argument stichhaltig ist, muss der Abzug gültig sein und alle Prämissen wahr sein.

Erfüllbarkeit
Die Modelltheorie analysiert Formeln in Bezug auf bestimmte Interpretationsklassen in geeigneten mathematischen Strukturen. Bei dieser Lesart ist die Formel gültig, wenn alle derartigen Interpretationen sie wahr machen. Eine Schlussfolgerung ist gültig, wenn alle Interpretationen, die die Prämissen validieren, die Schlussfolgerung validieren. Dies wird als semantische Gültigkeit bezeichnet.

Bewahrung
In der wahrheitsbewahrenden Gültigkeit erzeugt die Interpretation, bei der allen Variablen ein Wahrheitswert von ‘wahr’ zugewiesen wird, einen Wahrheitswert von ‘wahr’.

In einer falsch erhaltenden Gültigkeit erzeugt die Interpretation, bei der allen Variablen ein Wahrheitswert von “falsch” zugewiesen wird, einen Wahrheitswert von “falsch”.

Erhaltungseigenschaften Logische Verbindungssätze
Richtig und falsch bewahren: Satz • Logische Verknüpfung (AND,  \Land  ) • Logische Disjunktion (OR,  \ lor  )
Nur wahre Erhaltung: Tautologie (  \oben  ) • Biconditional (XNOR,  \ leftrightarrow  ) • Implikation (  \rechter Pfeil  ) • Umgekehrte Implikation (  \linker Pfeil  )
Nur falsch aufbewahren: Widerspruch (  \ bot  ) • Exklusive Disjunktion (XOR,  \ oplus  ) • Nichtimplikation (  \ nrichtigpfeil  ) • Umgekehrte Nichtimplikation (  \ nleftarrow  )
Nicht erhaltend: Negation (  \ neg  ) • Alternative Ablehnung (NAND,  \Aufwärtspfeil  ) • Gemeinsame Ablehnung (NOR,  \ downarrow  )