Ein räumliches Netzwerk (manchmal auch ein geometrischer Graph) ist ein Graph, in dem die Ecken oder Kanten räumliche Elemente sind, die geometrischen Objekten zugeordnet sind, dh die Knoten befinden sich in einem Raum, der mit einer bestimmten Metrik ausgestattet ist. Die einfachste mathematische Realisierung ist ein Gitter oder ein zufälliger geometrischer Graph, wobei Knoten gleichmäßig über eine zweidimensionale Ebene verteilt sind; ein Knotenpaar ist verbunden, wenn der euklidische Abstand kleiner ist als ein gegebener Nachbarschaftsradius. Transport- und Mobilitätsnetzwerke, Internet, Mobilfunknetze, Stromnetze, soziale Netze und Kontaktnetze sowie neuronale Netze sind Beispiele dafür, wo der zugrundeliegende Raum relevant ist und wo die Topologie des Diagramms nicht alle Informationen enthält. Die Charakterisierung und das Verständnis der Struktur, der Resilienz und der Entwicklung von räumlichen Netzwerken ist für viele verschiedene Bereiche von Urbanismus bis Epidemiologie von entscheidender Bedeutung.

Beispiele
Ein städtisches räumliches Netzwerk kann konstruiert werden, indem Schnittpunkte als Knoten und Straßen als Verknüpfungen abstrahiert werden, was als Transportnetzwerk bezeichnet wird. Der Verkehr in Peking wurde als dynamisches Netzwerk untersucht, und seine Perkolationseigenschaften erwiesen sich als nützlich, um systematische Engpässe zu identifizieren.

Man könnte sich die „Raumkarte“ als das negative Bild der Standardkarte vorstellen, mit dem offenen Raum, der aus den Hintergrundgebäuden oder -wänden herausgeschnitten ist.

Charakterisierung von räumlichen Netzwerken
Die folgenden Aspekte sind einige der Merkmale, um ein räumliches Netzwerk zu untersuchen:

Planare Netzwerke
In vielen Anwendungen, wie beispielsweise auf Schienen, Straßen und anderen Transportnetzen, wird angenommen, dass das Netzwerk planar ist. Planare Netzwerke bilden eine wichtige Gruppe aus den räumlichen Netzwerken, aber nicht alle räumlichen Netzwerke sind planar. In der Tat ist das Passagiernetz ein nicht-planares Beispiel: Alle Flughäfen der Welt sind durch Direktflüge miteinander verbunden.

Wie es im Weltraum eingebettet ist
Es gibt Beispiele für Netzwerke, die scheinbar nicht „direkt“ in den Weltraum eingebettet sind. Soziale Netzwerke verbinden beispielsweise Individuen durch Freundschaftsbeziehungen. Aber in diesem Fall greift der Raum in die Tatsache ein, dass die Verbindungswahrscheinlichkeit zwischen zwei Individuen gewöhnlich mit der Entfernung zwischen ihnen abnimmt.

Voronoi Tessellation
Ein räumliches Netzwerk kann durch ein Voronoi-Diagramm dargestellt werden, das den Raum in eine Anzahl von Regionen unterteilt. Der Dual-Graph für ein Voronoi-Diagramm entspricht der Delaunay-Triangulation für die gleiche Menge von Punkten. Voronoi-Tessellationen sind für räumliche Netzwerke in dem Sinne interessant, dass sie ein natürliches Repräsentationsmodell darstellen, mit dem man ein reales Netzwerk vergleichen kann.

Raum und Topologie mischen
Die Untersuchung der Topologie der Knoten und Kanten selbst ist eine weitere Möglichkeit, Netzwerke zu charakterisieren. Die Verteilung des Grades der Knoten wird oft betrachtet, in Bezug auf die Struktur der Kanten ist es nützlich, den minimalen aufspannenden Baum oder die Verallgemeinerung, den Steiner-Baum und das relative Nachbarschaftsdiagramm zu finden

Gitter-Netzwerke
Gitter-Netzwerke (siehe Fig. 1) sind nützliche Modelle für räumlich eingebettete Netzwerke. Viele physikalische Phänomene wurden an diesen Strukturen untersucht. Beispiele sind das Ising-Modell für spontane Magnetisierung, Diffusionsphänomene, die als zufällige Wanderungen modelliert werden, und Perkolation. Um die Resilienz interdependenter Infrastrukturen, die räumlich eingebettet sind, zu modellieren, wurde kürzlich ein Modell interdependenter Gitternetzwerke eingeführt (siehe Abb. 2) und analysiert. Ein räumliches Multiplex-Modell wurde von Danziger et al. Eingeführt und von Vaknin et al.

Wahrscheinlichkeit und räumliche Netzwerke
In der „realen“ Welt sind viele Aspekte von Netzwerken nicht deterministisch – Zufälligkeit spielt eine wichtige Rolle. Zum Beispiel sind neue Links, die Freundschaften repräsentieren, in sozialen Netzwerken in gewisser Weise zufällig. Die Modellierung räumlicher Netzwerke in Bezug auf stochastische Operationen ist konsequent. In vielen Fällen wird der räumliche Poisson-Prozess verwendet, um Datensätze von Prozessen in räumlichen Netzwerken anzunähern. Andere stochastische Aspekte von Interesse sind:

Der Poisson-Linien-Prozess
Stochastische Geometrie: das Erdős-Rényi-Diagramm
Perkolationstheorie
Ansatz aus der Theorie der Raumsyntax
Eine andere Definition von räumlichem Netzwerk ergibt sich aus der Theorie der Raumsyntax. Es kann notorisch schwierig sein zu entscheiden, was ein Raumelement in komplexen Räumen sein sollte, die große offene Bereiche oder viele miteinander verbundene Pfade umfassen. Die Verfasser der Raumsyntax, Bill Hillier und Julienne Hanson, verwenden als räumliche Elemente axiale Linien und konvexe Räume. Lose ist eine Axiallinie die „längste Sicht- und Zugänglichkeitslinie“ durch den offenen Raum und ein konvexer Raum das „maximale konvexe Polygon“, das im offenen Raum gezeichnet werden kann. Jedes dieser Elemente wird durch die Geometrie der lokalen Grenze in verschiedenen Regionen der Raumkarte definiert. Die Zerlegung einer Raumkarte in einen vollständigen Satz von sich schneidenden Axiallinien oder überlappenden konvexen Räumen erzeugt jeweils die axiale Karte oder die überlappende konvexe Karte. Algorithmische Definitionen dieser Karten existieren, und dies ermöglicht, dass das Abbilden von einer Karte mit willkürlich geformten Flächen zu einem Netzwerk, das für Graphen mathematisch geeignet ist, in einer relativ gut definierten Weise ausgeführt werden kann. Axiale Karten werden verwendet, um städtische Netzwerke zu analysieren, wobei das System im Allgemeinen lineare Segmente umfasst, während konvexe Karten häufiger verwendet werden, um Gebäudepläne zu analysieren, in denen Raummuster oft konvexer artikuliert sind, jedoch sowohl konvexe als auch axiale Karten in beiden Situationen verwendet werden können.

Derzeit gibt es einen Schritt innerhalb der Space-Syntax-Community, um sich besser mit geografischen Informationssystemen (GIS) zu integrieren, und ein Großteil der Software, die sie verlinkt, mit kommerziell erhältlichen GIS-Systemen.

Geschichte
Während Netzwerke und Graphen schon lange Gegenstand zahlreicher Studien in Mathematik, mathematischer Soziologie, Informatik, räumlicher Vernetzung waren, wurden sie in den 1970er Jahren intensiv in der quantitativen Geographie untersucht. Geografieobjekte sind unter anderem Orte, Aktivitäten und Ströme von Individuen, aber auch Netzwerke, die sich in Zeit und Raum entwickeln. Die meisten der wichtigen Probleme, wie die Lokalisierung von Knoten eines Netzwerks, die Entwicklung von Transportnetzwerken und ihre Wechselwirkung mit der Population und der Aktivitätsdichte werden in diesen früheren Studien behandelt. Auf der anderen Seite sind viele wichtige Punkte immer noch unklar, teilweise weil zu dieser Zeit Datensätze großer Netzwerke und größere Computerfähigkeiten fehlten. In jüngster Zeit wurden räumliche Netzwerke in Statistiken untersucht, um Wahrscheinlichkeiten und stochastische Prozesse mit Netzwerken in der realen Welt zu verbinden.