Die Musiktheorie hat in der modernen Mathematik keine axiomatische Grundlage, aber die Grundlage des musikalischen Klanges kann mathematisch (in der Akustik) beschrieben werden und weist „eine bemerkenswerte Reihe von Zahleneigenschaften auf“. Musikelemente wie Form, Rhythmus und Metrum, die Tonhöhen ihrer Noten und das Tempo ihres Pulses können mit der Messung von Zeit und Frequenz in Beziehung gebracht werden und bieten fertige Analogien in der Geometrie.

Die enge Beziehung zwischen Musik und Mathematik ist seit der Antike untersucht worden: Ein klassisches Beispiel ist die Pythagoräische Schule, der die Pythagoräer (die Pythagoräer weisen ihnen mystische Bedeutungen zu) nachweist, wonach die verschiedenen Töne einer Tonleiter an das Verhältnis gebunden sind zwischen Ganzzahlen: Ein halbli- ches Halfter erklingt in der oberen Oktave, wird auf 3/4 reduziert, auf 2/3 reduziert und so weiter.

Viel Mathematik im Bereich der Musik kommt aus dem Studium der akustischen Physik und verwandten Problemen. Wenn die gleiche rhythmische Teilung des Musikinstruments durch einen mathematischen Bruchteil angezeigt wird, wissen wir, dass an der Basis eines jeden Geräusches ein Beitrag von unzähligen stationären Wellen vorhanden ist, und dass jeder Ton durch harmonische Analyse in sinusförmige Wellen zerlegt werden kann ( mathematisch mit dem Fourier-Transformationsalgorithmus ausgedrückt).

Der Versuch, neue Wege zu komponieren und zu hören, hat zu musikalischen Anwendungen der Mengentheorie, der abstrakten Algebra und der Zahlentheorie geführt. Einige Komponisten haben den Goldenen Schnitt und die Fibonacci-Zahlen in ihre Arbeit aufgenommen.

Auf eine abstraktere Weise wurde Musik auch mit der Mathematik in ihrem kompositorischen Aspekt verbunden (was die Verteilung von Klängen zwischen den verschiedenen Höhen, zu verschiedenen Zeitpunkten und zwischen den verschiedenen Stimmen von Interpreten erfordert). Diese Art der musikalischen Analyse hat im Laufe der Jahrhunderte illustre Musiker gehabt (man denke an die musikalischen Geometrien von Bachs Kanons) und er kennt auch in unserer Zeit neue Schicksale (in den 1900er Jahren etwa das Kranischtein-Institut in Darmstadt, Kölner Rundfunk) Electronic Music Studio, Musikphonologiezentrum Mailand und IRCAM in Paris).

Obwohl antike Chinesen, Inder, Ägypter und Mesopotamier die mathematischen Prinzipien des Klanges studiert haben, waren die Pythagoräer (insbesondere Philolaus und Archytas) des antiken Griechenlands die ersten Forscher, die den Ausdruck von Tonleitern im Hinblick auf Zahlenverhältnisse untersucht haben insbesondere die Verhältnisse von kleinen ganzen Zahlen. Ihre zentrale Lehre war, dass „alle Natur aus Harmonie besteht, die aus Zahlen entsteht“.

Seit der Zeit von Platon galt Harmonie als ein fundamentaler Zweig der Physik, der heute als musikalische Akustik bekannt ist. Frühe indische und chinesische Theoretiker zeigen ähnliche Ansätze: Alle wollten zeigen, dass die mathematischen Gesetze der Oberschwingungen und Rhythmen nicht nur für unser Verständnis der Welt, sondern auch für das menschliche Wohlbefinden grundlegend sind. Konfuzius betrachtete, wie Pythagoras, die kleinen Zahlen 1,2,3,4 als die Quelle aller Vollkommenheit.

Seit dem siebzehnten Jahrhundert sind viele Musiker auf die Probe von soliden mathematischen Kenntnissen (zum Beispiel, Giuseppe Tartini gab in einer Musik-Abhandlung nach der wahren Wissenschaft der Harmonie im Jahr 1754 und so Iannis Xenakis in Musik im Jahr 1971 formalisiert, Pierre Boulez und Philip Glas Absolventen in Mathematik und wurden von ihrer Kunst inspiriert).

Ohne die Grenzen der rhythmischen Struktur – eine fundamental gleiche und regelmäßige Anordnung von Pulswiederholung, Akzent, Phrase und Dauer – wäre Musik nicht möglich. Der moderne musikalische Gebrauch von Begriffen wie Takt und Takt spiegelt auch die historische Bedeutung von Musik zusammen mit der Astronomie in der Entwicklung des Zählens, Rechnens und der exakten Messung von Zeit und Periodizität wider, die für die Physik fundamental ist.

Die Elemente der musikalischen Form bilden oft strenge Proportionen oder hypermetrische Strukturen (Potenzen der Zahlen 2 und 3).

Musikalische Form ist der Plan, mit dem ein kurzes Musikstück erweitert wird. Der Begriff „Plan“ wird auch in der Architektur verwendet, mit der die musikalische Form oft verglichen wird. Wie der Architekt muss auch der Komponist die Funktion, für die die Arbeit gedacht ist, und die verfügbaren Mittel berücksichtigen, Ökonomie üben und Wiederholung und Ordnung nutzen. Die gebräuchlichen Typen der Form, die als binär und ternär („zweifach“ und „dreifach“) bekannt sind, zeigen einmal mehr die Bedeutung kleiner ganzzahliger Werte für die Verständlichkeit und Anziehungskraft von Musik.

Das Schlagphänomen ist, wenn zwei ähnliche Frequenznoten (aber nicht identisch) gespielt werden. Es entsteht dann der Eindruck, einen Frequenzton zu hören, der nahe an dem der ersten beiden liegt, dessen Intensität jedoch im Laufe der Zeit so langsam oszilliert wie die Frequenzen der ersten beiden Töne nahe beieinander liegen. Aus diesem Grund werden die Beats verwendet, um zu bestimmen, ob Noten fallen oder steigen, wenn Sie ein Instrument einstellen.

Die Erklärung für dieses Phänomen liegt zum Teil in der physischen Natur der Schallwellen und zum Teil in der Art, wie unser Ohr die Geräusche wahrnimmt. Wenn wir unsere Aufmerksamkeit auf die Überlagerung von zwei reinen Tönen richten (dh, dass sie durch sinusförmige Wellen repräsentiert werden können) und zur Vereinfachung annehmen,

Eine Tonleiter ist eine diskrete Menge von Tonhöhen, die zum Erzeugen oder Beschreiben von Musik verwendet werden. Der wichtigste Maßstab in der westlichen Tradition ist die diatonische Skala, aber viele andere wurden in verschiedenen historischen Epochen und Teilen der Welt verwendet und vorgeschlagen. Jede Tonhöhe entspricht einer bestimmten Frequenz, ausgedrückt in Hertz (Hz), die manchmal als Zyklen pro Sekunde (cp.s.) bezeichnet wird. Eine Skala hat ein Wiederholungsintervall, normalerweise die Oktave. Die Oktave einer Tonhöhe bezieht sich auf eine Frequenz, die doppelt so groß ist wie die Tonhöhe.

Nachfolgende Superoktaven sind Tonhöhen, die bei den Frequenzen vier, acht, sechzehn mal usw. der Grundfrequenz gefunden werden. Pitches mit Frequenzen von einem halben, einem Viertel, einem Achtel und so weiter werden als Suboktaven bezeichnet. Es gibt keinen Fall in der musikalischen Harmonie, wo, wenn eine gegebene Tonhöhe als übereinstimmend betrachtet wird, ihre Oktaven anders betrachtet werden. Daher wird jede Note und ihre Oktaven im allgemeinen in musikalischen Systemen ähnlich genannt (z. B. werden alle, je nachdem, doh oder A oder Sa genannt).

Wenn sie als Frequenzbandbreite ausgedrückt wird, erstreckt sich eine Oktave A2-A3 von 110 Hz bis 220 Hz (Spanne = 110 Hz). Die nächste Oktave wird von 220 Hz bis 440 Hz (Span = 220 Hz) reichen. Die dritte Oktave erstreckt sich von 440 Hz bis 880 Hz (Spanne = 440 Hz) und so weiter. Jede aufeinander folgende Oktave überspannt den doppelten Frequenzbereich der vorhergehenden Oktave.

Da wir uns bei der Beschreibung einer Skala oft eher mit den Verhältnissen oder Verhältnissen zwischen den Tonhöhen (bekannt als Intervalle) als mit den genauen Tonhöhen selbst beschäftigen, ist es üblich, alle Tonhöhenabstände in Bezug auf ihr Verhältnis von einer bestimmten Tonhöhe zu beziehen ist der Wert von eins (oft 1/1 geschrieben), in der Regel eine Note, die als Tonika der Skala fungiert. Für den Vergleich der Intervallgröße werden häufig Cents verwendet.

Es gibt zwei Hauptfamilien von Stimmsystemen: gleiches Temperament und nur Tuning. Gleichmäßige Temperamentskalen werden gebildet, indem eine Oktave in Intervalle unterteilt wird, die auf einer logarithmischen Skala gleich sind, was zu vollkommen gleichmäßig unterteilten Skalen führt, aber mit Verhältnissen von Frequenzen, die irrationale Zahlen sind. Gerade Skalen werden durch Multiplizieren von Frequenzen mit rationalen Zahlen gebildet, was zu einfachen Verhältnissen zwischen Frequenzen führt, aber mit ungleichmäßigen Skalenunterteilungen.

Ein Hauptunterschied zwischen gleichen Temperamentsstimmungen und Just Tunings sind Unterschiede im akustischen Schlag, wenn zwei Noten zusammen erklingen, was das subjektive Erleben von Konsonanz und Dissonanz beeinflusst. Diese beiden Systeme und die überwiegende Mehrheit der Musik im Allgemeinen haben Skalen, die sich im Intervall jeder Oktave wiederholen, was als Frequenzverhältnis von 2: 1 definiert ist. Mit anderen Worten, jedes Mal, wenn die Frequenz verdoppelt wird, wiederholt sich die gegebene Skala.

Unten sind Ogg-Vorbis-Dateien, die den Unterschied zwischen reiner Intonation und gleichwertigem Temperament zeigen. Möglicherweise müssen Sie die Samples mehrmals abspielen, bevor Sie den Unterschied auswählen können.

Zwei Sinuswellen werden nacheinander abgespielt – dieses Sample hat einen Halbschritt bei 550 Hz (C∞ in der Intonationsskala), gefolgt von einem Halbschritt bei 554,37 Hz (C∞ in der Equal Temperament-Skala).
Die gleichen zwei Noten, die einem A440-Pedal gegenübergestellt sind – dieses Sample besteht aus einer „Dyade“. Die untere Note ist eine Konstante A (440 Hz in jeder Skala), die obere Note ist ein C∞ in der gleich temperierten Skala für die erste 1 „, und eine C∞ in der gerechten Intonationsskala für die letzte 1“. Phasendifferenzen erleichtern die Auswahl des Übergangs im Vergleich zum vorherigen Beispiel.

5-Limit-Tuning, die gebräuchlichste Form der reinen Intonation, ist ein System zur Abstimmung mit Tönen, bei denen es sich um regelmäßige Obertöne einer Grundfrequenz handelt. Dies war eine der Skalen, die Johannes Kepler in seinen Harmonices Mundi (1619) in Verbindung mit der Planetenbewegung vorstellte. Die gleiche Skala wurde in transponierter Form vom schottischen Mathematiker und Musiktheoretiker Alexander Malcolm 1721 in seiner „Abhandlung über Musick: Spekulativ, Praktisch und Historisch“ und vom Theoretiker Jose Wuerschmidt im 20. Jahrhundert gegeben. Eine Form davon wird in der Musik Nordindiens verwendet.

Auch der amerikanische Komponist Terry Riley hat sich in seiner „Harfe von New Albion“ die umgekehrte Form zunutze gemacht. Gerade Intonation liefert bessere Ergebnisse, wenn es nur wenig oder gar keine Akkordprogression gibt: Stimmen und andere Instrumente tendieren wann immer möglich zur Intonation. Es gibt jedoch zwei verschiedene Ganztonintervalle (9: 8 und 10: 9), da ein fest eingestelltes Instrument, wie z. B. ein Klavier, die Tonart nicht ändern kann. Um die Frequenz einer Note in einer Skala zu berechnen, die in Verhältnissen angegeben ist, wird das Frequenzverhältnis mit der Tonusfrequenz multipliziert. Bei einem Tonikum von A4 (A natürlich über mittlerem C) beträgt die Frequenz zum Beispiel 440 Hz, und eine genau abgestimmte fünfte darüber (E5) ist einfach 440 × (3: 2) = 660 Hz.

Pythagoreisches Tuning basiert nur auf den perfekten Konsonanzen, der (perfekten) Oktave, der perfekten Quinte und der perfekten Quinte. So wird das große Terz nicht als ein drittes, sondern als ein Ditone betrachtet, wörtlich „zwei Töne“, und ist (9: 8) 2 = 81:64, und nicht das unabhängige und harmonische gerade 5: 4 = 80:64 direkt darunter. Ein Ganzton ist ein sekundäres Intervall, das aus zwei perfekten Quinten (3: 2) 2 = 9: 8 abgeleitet wird.

Das gerade Hauptdrittel, 5: 4 und Molldrittel, 6: 5, sind ein syntonische Komma, 81:80, abgesehen von ihren pythagoräischen Entsprechungen 81:64 und 32:27. Nach Carl Dahlhaus (1990, S. 187) „entspricht das abhängige Drittel dem Pythagoräer, dem unabhängigen Drittel der harmonischen Abstimmung der Intervalle“.

Westliche Übungsmusik kann normalerweise nicht in reiner Intonation gespielt werden, sondern erfordert eine systematisch temperierte Tonleiter. Das Temperieren kann entweder die Unregelmäßigkeiten des guten Temperaments beinhalten oder als reguläres Temperament konstruiert sein, entweder als eine Form von gleichem Temperament oder als ein anderes normales Mittelteil, aber in allen Fällen wird es die grundlegenden Merkmale des gemeinen Temperaments beinhalten. Zum Beispiel wäre die Wurzel des Akkords ii, wenn sie auf ein Fünftel oberhalb der Dominante eingestellt wäre, ein großer Ganzton (9: 8) über der Tonika. Wenn jedoch nur eine kleine Terz (6: 5) unter einem gerade subdominanten Grad von 4: 3 gestimmt wird, würde der Abstand von der Tonika gleich einem kleinen Ganzton (10: 9) sein. Meantone Temperament reduziert den Unterschied zwischen 9: 8 und 10: 9. Ihr Verhältnis (9: 8) / (10: 9) = 81:80 wird als Unisono behandelt. Das Intervall 81:80, das syntonische Komma oder Komma von Didymus genannt, ist das Schlüsselkomma des Mittelton-Temperaments.

In gleicher Stimmung ist die Oktave auf der logarithmischen Skala in gleiche Teile geteilt. Während es möglich ist, eine gleiche Temperaturskala mit einer beliebigen Anzahl von Noten zu konstruieren (z. B. das 24-Ton-Aräbertonsystem), ist die gebräuchlichste Zahl 12, was die chromatische Tonwertskala ausgleicht. In der westlichen Musik wird üblicherweise eine Einteilung in zwölf Intervalle vorausgesetzt, sofern nicht anders angegeben.

Für die chromatische Tonleiter ist die Oktave in zwölf gleiche Teile geteilt, jeder Halbton (Halbschritt) ist ein Intervall der zwölften Wurzel von zwei, so dass sich zwölf dieser gleichen Halbschritte zu genau einer Oktave addieren. Bei gebördelten Instrumenten ist es sehr nützlich, gleiche Temperamente zu verwenden, so dass die Bünde gleichmäßig über die Saiten ausgerichtet sind. In der europäischen Musiktradition wurde das gleiche Temperament für Lauten- und Gitarrenmusik weit früher verwendet als für andere Instrumente, wie zum Beispiel Musiktastaturen. Aufgrund dieser historischen Kraft ist das Zwölfton-Temperament jetzt das dominierende Intonationssystem in der westlichen und großen nicht-westlichen Welt.

Es wurden gleichmäßig temperierte Skalen verwendet und Instrumente unter Verwendung verschiedener anderer Nummern mit gleichen Intervallen gebaut. Das 19-fache Temperament, das von Guillaume Costeley im 16. Jahrhundert vorgeschlagen und verwendet wurde, verwendet 19 gleichmäßig beabstandete Töne, die bessere Terzen und weitaus bessere Terzen als normale 12-Halbton-Temperamente auf Kosten einer flacheren Quinte bieten. Der Gesamteffekt ist einer der größeren Konsonanz. 24 gleiche Temperament, mit 24 gleichmäßig verteilten Tönen, ist in der Pädagogik und Notation der arabischen Musik weit verbreitet. In Theorie und Praxis entspricht die Intonation der arabischen Musik rationalen Verhältnissen, im Gegensatz zu den irrationalen Verhältnissen der gleich temperierten Systeme.

Während in arabischen Intonationssystemen jegliches Analogon zum gleichmäßigen Viertelton völlig fehlt, treten häufig Analoga zu einem Dreiviertelton oder einer neutralen Sekunde auf. Diese neutralen Sekunden unterscheiden sich jedoch geringfügig in ihren Verhältnissen, die von Maqam abhängig sind, sowie von der Geographie. Tatsächlich hat der arabische Musikhistoriker Habib Hassan Touma geschrieben, dass „die Breite der Abweichung dieses musikalischen Schrittes eine entscheidende Zutat für den besonderen Geschmack der arabischen Musik ist. Um die Skala zu mildern, indem man die Oktave in 24 gleichgroße Vierteltöne unterteilt wäre es, eines der charakteristischsten Elemente dieser Musikkultur aufzugeben. “

Die folgende Grafik zeigt, wie genau verschiedene gleichmßig temperierte Maßstäbe drei wichtige harmonische Identitäten annähern: das große Drittel (fünfte Harmonische), das perfekte fünfte (dritte Harmonische) und das „harmonische siebte“ (7. Harmonische). [Anmerkung: die Zahlen über den Balken bezeichnen die gleich temperierte Skala (d. H. „12“ bezeichnet die 12-tönige gleich temperierte Skala usw.)]

Das Problem der Intonation, wie oben erwähnt, rührt von der Notwendigkeit her, Saiteninstrumente wie das Klavier oder die Saiten so abzustimmen, dass sie in verschiedenen Schattierungen spielen können. Keines der beiden bisher bekannten Verfahren löst dieses Problem mit Genauigkeit, wie aus dem folgenden Verfahren ersichtlich ist.

Eine Möglichkeit, ein festes Stimmgerät abzustimmen, besteht darin, die fünften Bereiche von einem Basisseil zu erhalten. Auf diese Art und Weise wird es durch das Folgen des sogenannten Schleifenzyklus gewährt: Do, Sol, König, La, Ich, Si, Tun, Tun, Solò, Reè, La, Fa (oder Miè), Do sieben Oktaven kehren zum Grundton zurück Hinweis. Es ist leicht zu sehen, dass keine der hier untersuchten Methoden dazu führen kann, dass das Do8 mit dem des Loop-Zyklus übereinstimmt: Tatsächlich sind die Oktavfrequenzen sowohl für das natürliche Temperament als auch für das Pythagoras ein Vielfaches der Potenzen von zwei im Schleifenzyklus sind die Frequenzen ein Vielfaches von Potenzen von 3/2: keine Zweierpotenz ist auch eine Potenz von 3/2. Dieses Argument gilt auch für andere berücksichtigte Berichte.

Man sieht also, dass ein Tuner, der ein Werkzeug abstimmen will, das versucht, alle richtigen Bereiche zu erhalten (drittes, viertes, fünftes), ein unlösbares Problem hätte und immer noch einen Kompromiss suchen sollte: das entspricht dem Temperament.

Die Musiktheorie verwendet die Sprache der mathematischen Mengenlehre auf elementare Weise, um musikalische Objekte zu organisieren und ihre Beziehungen zu beschreiben. Um die Struktur eines Stücks (typischerweise atonaler) Musik mit Hilfe der musikalischen Mengenlehre zu analysieren, beginnt man normalerweise mit einer Menge von Tönen, die Motive oder Akkorde bilden könnten. Durch einfache Operationen wie Transponieren und Inversion kann man tiefe Strukturen in der Musik entdecken. Operationen wie Transposition und Inversion werden als Isometrien bezeichnet, da sie die Intervalle zwischen den Tönen in einer Menge beibehalten.

Einige Theoretiker haben die Methode der musikalischen Mengenlehre erweitert und die abstrakte Algebra verwendet, um Musik zu analysieren. Zum Beispiel bilden die Tonhöhenklassen in einer gleich temperierten Oktave eine abelsche Gruppe mit 12 Elementen. Es ist möglich, reine Intonation in Form einer freien abelschen Gruppe zu beschreiben.

Die Transformationstheorie ist ein Zweig der Musiktheorie, der von David Lewin entwickelt wurde. Die Theorie erlaubt eine große Allgemeinheit, weil sie Transformationen zwischen musikalischen Objekten und nicht die musikalischen Objekte selbst betont.

Theoretiker haben auch musikalische Anwendungen von anspruchsvolleren algebraischen Konzepten vorgeschlagen. Die Theorie der regulären Temperamente wurde mit einer breiten Palette ausgeklügelter Mathematik umfassend entwickelt, zum Beispiel indem jede reguläre Temperament mit einem rationalen Punkt auf einem Grassmannian assoziiert wird.

Reale und komplexe Analyse wurde auch verwendet, zum Beispiel durch Anwendung der Theorie der Riemann-Zeta-Funktion auf das Studium gleicher Teile der Oktave.

Die Entwicklung der modernen Musikmathematik (von der Analyse über die Komposition bis hin zur musikalischen Interpretation) ist hauptsächlich dem Beitrag des Mathematikers und Musikers Guerino Mazzola zu verdanken, einem Professor in den Vereinigten Staaten an der Universität von Minnesota.

Die SMCM, Gesellschaft für Mathematik und Computing in Musik, organisiert halbjährliche Konferenzen zu den Ergebnissen der Mathematik und Musikforschung.