Mathematik und Kunst

Mathematik und Kunst sind auf vielfältige Weise miteinander verbunden. Mathematik wurde selbst als eine von Schönheit motivierte Kunst beschrieben. Mathematik kann in Kunst wie Musik, Tanz, Malerei, Architektur, Bildhauerei und Textilien unterschieden werden. Dieser Artikel konzentriert sich jedoch auf die Mathematik in den visuellen Künsten.

Kunst und Mathematik werden oft in Platons Analogie von Schönheit und Wahrheit assoziiert. Die Prämissen dieser Frage rufen oft die Anzahl von Gold hervor. Phi ist die mathematische Konstante, die durch ihre wiederkehrende Präsenz in Bildhauerei und Malerei in der Kunst der Renaissance am stärksten mit der Kunst verbunden ist. Das goldene Verhältnis wird als die Regel betrachtet, um einen harmonischen Anteil zu erhalten, der den Geschmack des Betrachters befriedigt. Dieses Paradigma ist partiell, wenn man die Rolle der Mathematik in der Kunstgeschichte und in den zeitgenössischen ästhetischen Revolutionen verstehen will. Es ist effizienter, kreative Protokolle, Strukturen und Morphogenes zu hinterfragen. Daher ist es notwendig, die platonischen Prämissen zugunsten von Fragen nach den Formen und der Art, wie sie erscheinen und wahrgenommen werden, aufzugeben. Kunst und Mathematik erzeugen viele Interessenachsen, die Mathematiker und Künstler gegenseitig unterstützen, aber auch um Anwendungen und Prozesse. Viele zeitgenössische ästhetische Projekte kommen aus mehr oder weniger offensichtlichen mathematischen Praktiken, aber alle von ihnen zeugen von einem überraschenden Ausmaß der mathematischen Kultur. Von der Frage nach Schönheit und Harmonie bis hin zu den Fragen nach Morphologien oder Strukturen bietet die Mathematik viele Werkzeuge, um die Komplexität der Realität, ihre Repräsentationen, aber auch die Fähigkeit, Strukturen, Formen und Formen zu erfinden, zu untersuchen. verarbeiten.

Mathematik und Kunst haben eine lange historische Beziehung. Künstler haben die Mathematik seit dem 4. Jahrhundert v. Chr. Benutzt, als der griechische Bildhauer Polykleitos seinen Canon schrieb, wobei er die Proportionen auf der Grundlage des Verhältnisses 1: 2 für den idealen männlichen Akt vorschrieb. Anhaltende populäre Behauptungen wurden für die Verwendung des Goldenen Schnitts in der antiken Kunst und Architektur ohne verlässliche Beweise gemacht. In der italienischen Renaissance schrieb Luca Pacioli die einflussreiche Abhandlung De Divina Proportione (1509), illustriert mit Holzschnitten von Leonardo da Vinci, über die Verwendung des Goldenen Schnitts in der Kunst. Ein anderer italienischer Maler, Piero della Francesca, entwickelte Euklids Ideen zur Perspektive in Abhandlungen wie De Prospectiva Pingendi und in seinen Gemälden. Der Graveur Albrecht Dürer bezog sich in seiner Arbeit Melencolia I oft auf die Mathematik. In der Neuzeit benutzte der Grafiker MC Escher mit Hilfe des Mathematikers HSM Coxeter intensiv die Tessellation und hyperbolische Geometrie, während die De Stijl Bewegung von Theo angeführt wurde van Doesberg und Piet Mondrian haben ausdrücklich geometrische Formen angenommen. Mathematik hat Textilkunst wie Quilten, Stricken, Kreuzstich, Häkeln, Sticken, Weben, türkische und andere Teppichherstellung sowie Kelim inspiriert. In der islamischen Kunst sind Symmetrien in so unterschiedlichen Formen wie persische Girih und marokkanische Zellige Fliesenarbeiten, Moghul Jaali durchbohrte Steinwände und weit verbreitete Muqarnas Voltigieren.

François Morellet wurde in seiner Arbeit immer wieder von Mathematik und Geometrie inspiriert. Zitat von seiner Website: Die Werke von François Morellet werden nach einem System ausgeführt: Jede Wahl wird durch einen im Voraus festgelegten Grundsatz definiert. Er möchte den Eindruck erwecken, das künstlerische Schaffen unter Kontrolle zu haben und dabei einen Teil des Zufalls zu hinterlassen, der ein unvorhersehbares Bild ergibt. Er verwendet einfache Formen, eine kleine Anzahl von Volltonfarben und elementare Kompositionen (Nebeneinanderstellung, Superposition, Zufall, Interferenz, Fragmentierung). Er schafft so seine ersten “Rahmen”, Netzwerke aus schwarzen parallelen Linien, die in einer bestimmten Reihenfolge übereinander angeordnet sind und die gesamte Oberfläche der Bilder abdecken. Diese Systeme erinnern an die von Oulipo (Ouvroir de Littérature Potentielle) vorgeschlagenen und von Raymond Queneau beschriebenen Strukturen: “Was ist der Zweck unserer Arbeit? Autoren neue” Strukturen “mathematischer Art anzubieten oder sogar neue zu erfinden künstliche oder mechanische Prozesse, die zur literarischen Aktivität beitragen “. Anschließend wird François Morellet weiterhin Systeme verwenden, die auf einem mathematischen Universum basieren.

Im 19. Jahrhundert popularisierten die Werke von Gauß, Lobatechevsky und Riemann die Idee von räumlichen Dimensionen und exotischen Geometrien. Albert Einstein bietet der kultivierten Öffentlichkeit bei der Entwicklung der Relativitätstheorie neue Beobachtungsparadigmen, die manche Künstler ergreifen, um andere Darstellungsformen zu finden, die Idee der Raumzeit ist fruchtbar und die jungen Leute Braque und Pïcasso hören von einem Raum, der nicht mehr euklidisch, sondern kugelförmig oder hyperbolisch ist. Dies provoziert die Vorstellungskraft und bietet neue Wege, die Marcel-Duchamp-Treppe und die bahnbrechenden Arbeiten von Braque und Picasso, dem analytischen Kubismus, der im ersten Jahrzehnt des 20. Jahrhunderts im Bateau Lavoir entstand, zu beschreiben. Jahrhundert. Diese Raumauffassung wird in den grundlegenden Arbeiten der Kunstgeschichte des zwanzigsten Jahrhunderts “die jungen Damen von Avignon” verkörpert werden.

Die Mathematik hat die Kunst mit konzeptuellen Werkzeugen wie der linearen Perspektive, der Analyse der Symmetrie und mathematischen Objekten wie Polyedern und Möbiusstreifen direkt beeinflusst. Magnus Wenninger schafft bunte Sternpolyeder, ursprünglich als Unterrichtsmodelle. Mathematische Konzepte wie Rekursion und logisches Paradox sind in Gemälden von Rene Magritte und in Kupferstichen von M. C. Escher zu sehen. Computerkunst verwendet häufig Fraktale, einschließlich des Mandelbrot-Satzes, und erforscht manchmal andere mathematische Objekte wie z. B. zelluläre Automaten. Kontrovers argumentiert der Künstler David Hockney, dass Künstler ab der Renaissance die Kamera lucida nutzten, um präzise Darstellungen von Szenen zu zeichnen; Ähnlich argumentierte der Architekt Philip Steadman, dass Vermeer die Camera Obscura in seinen markant beobachteten Gemälden verwendete.

Andere Beziehungen umfassen die algorithmische Analyse von Kunstwerken durch Röntgenfluoreszenzspektroskopie, die Entdeckung, dass traditionelle Batiken aus verschiedenen Regionen Javas unterschiedliche Fraktaldimensionen aufweisen, und Stimuli für mathematische Forschung, insbesondere Filippo Brunelleschis Theorie der Perspektive, die schließlich zu Girard Desargues Projektiv führte Geometrie. Eine ausdauernde Sichtweise, die letztlich auf der pythagoreischen Vorstellung von Harmonie in der Musik beruht, besagt, dass alles nach Zahlen geordnet ist, dass Gott der Geometer der Welt ist und dass daher die Geometrie der Welt heilig ist, wie in Werken von William Blake Alt von Tagen.

Mathematik und Kunst in der Geschichte:
Polykletos der Ältere (ca. 450-420 v. Chr.) War ein griechischer Bildhauer aus der Schule von Argos und ein Zeitgenosse von Phidias. Seine Werke und Statuen bestanden hauptsächlich aus Bronze und waren von Sportlern. Laut dem Philosophen und Mathematiker Xenokrates gilt Polykleitos als einer der bedeutendsten Bildhauer der Antike für seine Arbeit am Doryphoros und der Hera-Statue im Heraion von Argos. Während seine Skulpturen vielleicht nicht so berühmt sind wie die von Phidias, werden sie sehr bewundert. In der Canon of Polykleitos, einer Abhandlung, die er entworfen hat, um die “perfekten” anatomischen Proportionen des männlichen Aktes zu dokumentieren, gibt uns Polykleitos einen mathematischen Ansatz, um den menschlichen Körper zu formen.

Polykleitos verwendet das distale Fingerglied des kleinen Fingers als Basismodul zur Bestimmung der Proportionen des menschlichen Körpers. Polykleitos multipliziert die Länge des distalen Phalanx mit der Quadratwurzel aus zwei (√2), um den Abstand der zweiten Phalangen zu erhalten, und multipliziert die Länge erneut mit √2, um die Länge der dritten Phalangen zu erhalten. Als nächstes nimmt er die Fingerlänge und multipliziert diese mit √2, um die Länge der Handfläche von der Basis des Fingers bis zur Ulna zu erhalten. Diese geometrische Reihe von Messungen schreitet fort, bis Polykleitos den Arm, die Brust, den Körper und so weiter gebildet hat.

Der Einfluss des Kanons von Polykleitos ist in der klassischen griechischen, römischen und Renaissance-Skulptur immens, viele Bildhauer folgen Polykleitos ‘Rezept. Während keine der Originalarbeiten von Polykleitos überlebt, zeigen römische Kopien sein Ideal der physischen Perfektion und mathematischen Präzision. Einige Gelehrte argumentieren, dass pythagoreische Gedanken den Kanon von Polykleitos beeinflusst haben. Der Kanon wendet die grundlegenden mathematischen Konzepte der griechischen Geometrie, wie Verhältnis, Proportion und Symmetria (Griechisch für “harmonische Proportionen”) an und wandelt sie in ein System um, das in der Lage ist, die menschliche Form durch eine Reihe fortlaufender geometrischer Progressionen zu beschreiben.

In klassischen Zeiten, anstatt entfernte Figuren mit linearer Perspektive zu verkleinern, bemaßen Maler Objekte und Figuren entsprechend ihrer thematischen Wichtigkeit. Im Mittelalter verwendeten einige Künstler umgekehrte Perspektive für besondere Betonung. Der muslimische Mathematiker Alhazen (Ibn al-Haytham) beschrieb 1021 in seinem Buch der Optik eine Theorie der Optik, wandte sie aber nie auf die Kunst an. Die Renaissance sah eine Wiedergeburt der klassischen griechischen und römischen Kultur und Ideen, darunter das Studium der Mathematik, um Natur und Kunst zu verstehen. Zwei Hauptmotive trieb Künstler im Spätmittelalter und der Renaissance in Richtung Mathematik. Zunächst mussten die Maler herausfinden, wie dreidimensionale Szenen auf einer zweidimensionalen Leinwand dargestellt werden. Zweitens waren Philosophen und Künstler gleichermaßen davon überzeugt, dass die Mathematik das wahre Wesen der physischen Welt ist und dass das gesamte Universum, einschließlich der Künste, geometrisch erklärt werden könnte.

Die Ansätze der Perspektive kamen mit Giotto (1266/7 – 1337), der versuchte, in einer algebraischen Methode in die Perspektive zu ziehen, um die Platzierung entfernter Linien zu bestimmen. Im Jahr 1415 demonstrierten der italienische Architekt Filippo Brunelleschi und sein Freund Leon Battista Alberti die geometrische Methode der Anwendung der Perspektive in Florenz mit ähnlichen Dreiecken, wie sie von Euklid formuliert wurden, um die scheinbare Höhe entfernter Objekte zu finden. Brunelleschis eigene perspektivische Gemälde sind verloren, aber Masaccios Gemälde der Heiligen Dreifaltigkeit zeigt seine Prinzipien bei der Arbeit.

Der italienische Maler Paolo Uccello (1397-1475) war von der Perspektive fasziniert, wie in seinen Gemälden der Schlacht von San Romano (um 1435-1460) gezeigt wird: gebrochene Lanzen liegen bequem entlang perspektivischer Linien.

Der Maler Piero della Francesca (um 1415-1492) veranschaulichte diese neue Verschiebung des italienischen Renaissanceglaubens. Er war ein Experte Mathematiker und Geometer, Bücher über solide Geometrie und Perspektive, einschließlich De Prospectiva Pingendi (über Perspektive für Malerei), Trattato d’Abaco (Abacus Tracy) und De Corpororibus Regularibus (über regelmäßige Feststoffe) zu schreiben. Der Historiker Vasari nennt Piero in seinem Leben der Maler den “größten Geometer seiner Zeit, oder vielleicht jeder Zeit”. Pieros Interesse für die Perspektive ist in seinen Gemälden zu sehen, darunter das Polyptychon von Perugia, das Altarbild von San Agostino und die Geißelung Christi. Seine Arbeit an der Geometrie beeinflusste spätere Mathematiker und Künstler wie Luca Pacioli in seinen De Divina Proportione und Leonardo da Vinci. Piero studierte klassische Mathematik und die Arbeiten von Archimedes. Er wurde in “Abakusschulen” zum kaufmännischen Rechnen ausgebildet; seine Schriften sind wie Abakus-Schulbücher formatiert, vielleicht auch Leonardo Pisano (Fibonacci) ‘s 1202 Liber Abaci. Die lineare Perspektive wurde gerade in die künstlerische Welt eingeführt. Alberti erklärte in seinem De Picture von 1435: “Lichtstrahlen verlaufen in geraden Linien von Punkten in der beobachteten Szene zum Auge und bilden eine Art Pyramide mit dem Auge als Eckpunkt.” Ein Gemälde mit linearer Perspektive ist ein Querschnitt dieser Pyramide.

In De Prospectiva Pingendi transformiert Piero seine empirischen Beobachtungen der Art und Weise, wie Aspekte einer Figur sich verändern, in mathematische Beweise. Seine Abhandlung beginnt in der Ader von Euklid: Er definiert den Punkt als “das Kleinste, was für das Auge möglich ist”. Er verwendet deduktive Logik, um den Leser zur perspektivischen Darstellung eines dreidimensionalen Körpers zu führen.

Der Künstler David Hockney argumentierte in seinem Buch “Geheimes Wissen: Die verlorenen Techniken der alten Meister wiederentdecken”, dass Künstler eine Kamera-Lucida aus den 1420er Jahren verwendeten, was zu einem plötzlichen Wechsel in Präzision und Realismus führte Ingres, Van Eyck und Caravaggio. Kritiker stimmen nicht überein, ob Hockney korrekt war. In ähnlicher Weise argumentierte der Architekt Philip Steadman kontrovers, dass Vermeer ein anderes Gerät verwendet hatte, die Camera Obscura, um ihm zu helfen, seine markant beobachteten Gemälde zu schaffen.

Im Jahr 1509 veröffentlichte Luca Pacioli (ca. 1447-1517) De Divina Proportione über mathematisch-künstlerische Proportionen, auch im menschlichen Gesicht. Leonardo da Vinci (1452-1519) illustrierte den Text mit Holzschnitten von regelmäßigen Festkörpern, während er in den 1490er Jahren unter Pacioli studierte. Leonardos Zeichnungen sind wahrscheinlich die ersten Illustrationen skeletaler Körper. Diese, wie das Rhombicuboktaeder, gehörten zu den ersten, die gezeichnet wurden, um die Perspektive zu demonstrieren, indem sie übereinander gelegt wurden. Die Arbeit diskutiert Perspektiven in den Werken von Piero della Francesca, Melozzo da Forlì und Marco Palmezzano. Da Vinci studierte Pacioli’s Summa, von der er Proportionstabellen kopierte. In Mona Lisa und The Last Supper hat Da Vincis Arbeit eine lineare Perspektive mit einem Fluchtpunkt integriert, um Tiefe zu vermitteln. Das Letzte Abendmahl ist in einem engen Verhältnis von 12: 6: 4: 3 gebaut, ebenso wie Raffaels Schule von Athen, die Pythagoras mit einer Tafel von idealen Verhältnissen enthält, die den Pythagoräern heilig ist. Im vitruvianischen Menschen brachte Leonardo die Ideen des römischen Architekten Vitruv zum Ausdruck, der die männliche Figur zweimal innovativ zeigt und ihn sowohl im Kreis als auch im Quadrat zentriert.

Bereits im 15. Jahrhundert fand die krummlinige Perspektive Einzug in Gemälde von bildverzerrenden Künstlern. Jan van Eycks Arnolfini-Porträt von 1434 enthält einen konvexen Spiegel mit Spiegelungen der Menschen in der Szene, während Parmigianinos Selbstbildnis in einem konvexen Spiegel, c. 1523-1524, zeigt das weitgehend unverzerrte Gesicht des Künstlers in der Mitte, mit stark gebogenem Hintergrund und Künstlerhand am Rand.

Der dreidimensionale Raum kann in der Kunst ebenso wie in der technischen Zeichnung durch andere Mittel als durch die Perspektive überzeugend dargestellt werden. Schräge Projektionen, darunter die Kavalierperspektive (von französischen Militärkünstlern zur Darstellung von Befestigungsanlagen im 18. Jahrhundert verwendet), wurden von chinesischen Künstlern aus dem ersten oder zweiten Jahrhundert bis ins 18. Jahrhundert kontinuierlich und ubiquitär eingesetzt. Die Chinesen erwarben die Technik aus Indien, die sie aus dem antiken Rom erwarb. Schräge Projektion wird in der japanischen Kunst gesehen, wie in den Ukiyo-e-Gemälden von Torii Kiyonaga (1752-1815).

Das goldene Verhältnis (ungefähr gleich 1,618) war Euklid bekannt. Der Goldene Schnitt wurde in der Neuzeit beharrlich behauptet, von den Alten in Ägypten, Griechenland und anderswo in Kunst und Architektur verwendet worden zu sein, ohne zuverlässige Beweise. Die Behauptung könnte von einer Verwechslung mit “goldenem Mittelwert” herrühren, die für die alten Griechen “Vermeidung von Exzess in beide Richtungen” bedeutete, kein Verhältnis. Pyramidologen haben seit dem neunzehnten Jahrhundert auf zweifelhaften mathematischen Gründen für das goldene Verhältnis im Pyramidendesign argumentiert. Der Parthenon, ein Tempel aus dem 5. Jahrhundert v. Chr. In Athen, hat angeblich den goldenen Schnitt in seinem Fassaden- und Grundriss verwendet, aber auch diese Behauptungen sind durch Messung widerlegt. Die Große Moschee von Kairouan in Tunesien wurde in ähnlicher Weise beansprucht, den goldenen Schnitt in seinem Entwurf zu verwenden, aber das Verhältnis erscheint nicht in den ursprünglichen Teilen der Moschee. Der Architekturhistoriker Frederik Macody Lund argumentierte im Jahre 1919, dass die Kathedrale von Chartres (12. Jahrhundert), Notre-Dame von Laon (1157-1205) und Notre Dame de Paris (1160) nach dem Goldenen Schnitt entworfen wurden, um Linien zu ziehen mach seinen Fall. Andere Gelehrte argumentieren, dass bis zu Pacioli’s Arbeit im Jahre 1509 der Goldene Schnitt für Künstler und Architekten unbekannt war. Zum Beispiel haben die Höhe und Breite der Vorderseite von Notre-Dame von Laon das Verhältnis 8/5 oder 1.6, nicht 1.618. Solche Fibonacci-Verhältnisse werden schnell schwer vom Goldenen Schnitt zu unterscheiden. Nach Pacioli ist der goldene Schnitt in Werken wie Leonardos Mona Lisa deutlicher erkennbar.

Ein anderes Verhältnis, die einzige andere morphische Zahl, wurde 1928 vom holländischen Architekten Hans van der Laan (ursprünglich le nombre strahlend auf Französisch) die Plastiknummer genannt. Sein Wert ist die Lösung der kubischen Gleichung

Planare Symmetrien werden seit Jahrtausenden in Kunstwerken wie Teppichen, Gittern, Textilien und Fliesen verwendet.

Viele traditionelle Teppiche, ob Florteppiche oder Flachgewebekelims, sind in ein zentrales Feld und eine Rahmenbegrenzung unterteilt; beide können Symmetrien haben, obwohl sie bei handgewebten Teppichen oft durch kleine Details, Variationen des Musters und Farbverschiebungen durch den Weber leicht gebrochen werden. In Kelims aus Anatolien sind die verwendeten Motive meist symmetrisch. Auch die allgemeine Anordnung ist gewöhnlich vorhanden, mit Anordnungen wie Streifen, Streifen, die sich mit Reihen von Motiven abwechseln, und gepackten Reihen von ungefähr hexagonalen Motiven. Das Feld ist üblicherweise als Hintergrund mit einer Tapetengruppe wie pmm ausgelegt, während der Rahmen als Fries der Friesgruppe pm11, pmm2 oder pma2 ausgelegt sein kann. Türkische und zentralasiatische Kelims haben oft drei oder mehr Ränder in verschiedenen Friesgruppen. Weber hatten sicherlich die Absicht der Symmetrie, ohne explizite Kenntnis ihrer Mathematik. Der Mathematiker und Architekturtheoretiker Nikos Salingaros legt nahe, dass die “kraftvolle Präsenz” (ästhetischer Effekt) eines “großen Teppichs” wie die besten Konya-Medaillonteppiche des 17. Jahrhunderts durch mathematische Techniken im Zusammenhang mit den Theorien des Architekten Christopher geschaffen wurde Alexander. Zu diesen Techniken gehören die Paarung von Gegensätzen; entgegengesetzte Farbwerte; geometrisch differenzierte Bereiche, sei es durch Verwendung komplementärer Formen oder durch Ausbalancieren der Ausrichtung scharfer Winkel; Bereitstellung von kleinräumiger Komplexität (von der Knotenebene aufwärts) und sowohl klein- als auch großräumiger Symmetrie; Wiederholen von Elementen in einer Hierarchie verschiedener Maßstäbe (mit einem Verhältnis von etwa 2,7 von jeder Ebene zur nächsten). Salingaros argumentiert, dass “alle erfolgreichen Teppiche mindestens neun der oben genannten zehn Regeln erfüllen” und schlägt vor, dass es möglich sein könnte, aus diesen Regeln eine Metrik zu erstellen.

Aufwendige Gitter sind in indischen Jaali-Werken zu finden, die in Marmor gehauen sind, um Gräber und Paläste zu schmücken. Chinesische Gitter, immer mit einiger Symmetrie, existieren in 14 der 17 Tapetengruppen; Sie haben oft Spiegel, Doppelspiegel oder Rotationssymmetrie. Einige haben ein zentrales Medaillon und einige haben eine Grenze in einer Friesgruppe. Viele chinesische Gitter wurden von Daniel S. Dye mathematisch analysiert; Er identifiziert sich Sichuan als das Zentrum des Handwerks.

Symmetrien sind prominent in der Textilkunst einschließlich Quilten, Stricken, Kreuzstich, Häkeln, Sticken und Weben, wo sie rein dekorativ sein können oder Zeichen des Status sein können. Rotationssymmetrie findet sich in kreisförmigen Strukturen wie Kuppeln; Diese sind manchmal innen und außen mit symmetrischen Mustern verziert, wie bei der Sheikh-Lotfollah-Moschee von 1619 in Isfahan. Gegenstände von Stickereien und Spitzenarbeiten, wie Tischdecken und Tischsets, die mit Hilfe von Spulen oder durch Occhi hergestellt werden, können eine große Vielfalt von Reflexions- und Rotationssymmetrien aufweisen, die mathematisch erforscht werden.

Islamische Kunst nutzt Symmetrien in vielen ihrer Kunstformen, insbesondere in Girih Tilings. Diese werden unter Verwendung eines Satzes von fünf Fliesenformen gebildet, nämlich eines regelmäßigen Zehnecks, eines länglichen Sechsecks, einer Fliege, einer Raute und eines regelmäßigen Fünfecks. Alle Seiten dieser Fliesen haben die gleiche Länge; und alle ihre Winkel sind Vielfache von 36 ° (π / 5 rad) und bieten fünffache und zehnfache Symmetrien. Die Fliesen sind mit Riemenlinien (girih) verziert, die im Allgemeinen sichtbarer sind als die Fliesengrenzen. Im Jahr 2007 argumentierten die Physiker Peter Lu und Paul Steinhardt, dass girih quasikristalline Penrose-Platten ähneln. Aufwändige geometrische Zellige Fliesenarbeiten sind ein markantes Element in der marokkanischen Architektur. Muqarnas Gewölbe sind dreidimensional, wurden aber in zwei Dimensionen mit Zeichnungen von geometrischen Zellen entworfen.

Die platonischen Körper und andere Polyeder sind ein wiederkehrendes Thema in der westlichen Kunst. Sie finden sich zum Beispiel in einem Marmormosaik, das das kleine, dem Paolo Uccello zugeschriebene Dodekaeder im Boden der Basilika San Marco in Venedig zeigt; in Leonardo da Vincis Diagrammen von regelmäßigen Polyedern, die als Illustrationen für Luca Pacioli’s 1509 Buch The Divine Proportion gezeichnet sind; als ein Glas-Rhombicuboktaeder in Jacopo de Barbaris Porträt von Pacioli, das 1495 gemalt wurde; im abgeschnittenen Polyeder (und verschiedenen anderen mathematischen Objekten) in Albrecht Dürers Stich Melencolia I; und in Salvador Dalís Gemälde Das letzte Abendmahl, in dem Christus und seine Jünger in einem riesigen Dodekaeder dargestellt sind.

Albrecht Dürer (1471-1528) war ein deutscher Renaissancekünstler, der in seinem 1525 erschienenen Buch Underweysung der Messung (Lehre zur Vermessung) wichtige Beiträge zur polyedrischen Literatur leistete und die Fächer lineare Perspektive, Geometrie in der Architektur, Platonische Körper und regelmäßige Polygone. Dürer wurde wahrscheinlich von den Werken von Luca Pacioli und Piero della Francesca während seiner Reisen nach Italien beeinflusst. Während die Beispiele der Perspektive in Underweysing der Messung unterentwickelt sind und Ungenauigkeiten enthalten, werden Polyeder ausführlich diskutiert. Dürer ist auch der Erste, der im Text die Idee von Polyedernetzen einführt, Polyeder, die zum Drucken flachgelegt werden. Dürer veröffentlichte 1528 ein weiteres einflussreiches Buch über menschliche Proportionen, das Vier Bücher von Menschlicher Proportion.

Dürers bekannter Stich Melencolia I zeigt einen frustrierten Denker, der an einem abgeschnittenen Dreiecks-Trapezkegel und einem magischen Quadrat sitzt. Diese beiden Objekte und der Stich als Ganzes sind Gegenstand modernerer Interpretation als die Inhalte fast aller anderen Drucke, darunter ein zweibändiges Buch von Peter-Klaus Schuster und eine einflussreiche Diskussion in Erwin Panofskys Dürer-Monographie . Salvador Dalís Corpus Hypercubus zeigt ein entfaltetes dreidimensionales Netz für einen Hyperkubus, ein vierdimensionales regelmäßiges Polyeder.

Traditionelle indonesische Wachs-Resist-Batik-Designs auf Stoff kombinieren repräsentative Motive (wie Blumen- und Pflanzenelemente) mit abstrakten und etwas chaotischen Elementen, einschließlich Ungenauigkeit beim Auftragen des Wachsresists und zufälliger Variation, die durch das Reißen des Wachses eingeführt wird. Batik-Designs haben eine fraktale Dimension zwischen 1 und 2 und variieren in verschiedenen regionalen Stilen. Zum Beispiel hat die Batik von Cirebon eine fraktale Dimension von 1,1; die Batiks von Yogyakarta und Surakarta (Solo) in Zentral-Java haben eine fraktale Dimension von 1,2 bis 1,5; und die Batiken von Lasem an der Nordküste von Java und von Tasikmalaya in West-Java haben eine fraktale Dimension zwischen 1,5 und 1,7.

Die Drip Painting Werke des modernen Künstlers Jackson Pollock sind in ihrer fraktalen Dimension ebenfalls unverwechselbar. Seine Nummer 14 von 1948 hat eine küstenlinienförmige Dimension von 1,45, während seine späteren Bilder sukzessive höhere Fraktaldimensionen und entsprechend ausgefeiltere Muster aufwiesen. Eines seiner letzten Werke, Blue Poles, dauerte sechs Monate und hat die fraktale Dimension von 1,72.

Komplexe Beziehung von Mathematik und Kunst:
Der Astronom Galileo Galilei schrieb in seinem Il Saggiatore, dass “[das Universum] in der Sprache der Mathematik geschrieben ist, und seine Charaktere sind Dreiecke, Kreise und andere geometrische Figuren.” Künstler, die sich bemühen und versuchen, die Natur zu studieren, müssen nach Galileos Ansicht die Mathematik vollständig verstehen. Im Gegensatz dazu haben Mathematiker versucht, Kunst durch die Linse von Geometrie und Rationalität zu interpretieren und zu analysieren. Der Mathematiker Felipe Cucker schlägt vor, dass die Mathematik, und insbesondere die Geometrie, eine Quelle von Regeln für “regelgesteuertes künstlerisches Schaffen” ist, wenn auch nicht die einzige. Einige der vielen Stränge der resultierenden komplexen Beziehung werden nachstehend beschrieben.

Der Mathematiker Jerry P. King beschreibt Mathematik als eine Kunst, die besagt, dass “die Schlüssel zur Mathematik Schönheit und Eleganz und nicht Langweiligkeit und Technik” sind, und dass Schönheit die motivierende Kraft für die mathematische Forschung ist. King zitiert den Mathematiker G. H. Hardy 1940 Essay A Mathematian’s Entschuldigung. Darin erörtert Hardy, warum er zwei Theoreme der klassischen Zeit als erste findet, nämlich Euklids Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, und den Beweis, dass die Quadratwurzel von 2 irrational ist. King bewertet dies zuletzt gegen Hardys Kriterien für mathematische Eleganz: “Ernsthaftigkeit, Tiefe, Allgemeingültigkeit, Unerwartetheit, Unausweichlichkeit und Ökonomie” (King’s Kursivschrift) und beschreibt den Beweis als “ästhetisch ansprechend”. Der ungarische Mathematiker Paul Erdős stimmte darin überein, dass Mathematik Schönheit besaß, aber die Gründe jenseits der Erklärung berücksichtigte: “Warum sind Zahlen schön? Es ist wie die Frage, warum Beethovens Neunte Symphonie schön ist. Wenn Sie nicht verstehen, warum, kann Ihnen niemand etwas sagen Zahlen sind schön. ”

Mathematik kann in vielen der Künste, wie Musik, Tanz, Malerei, Architektur und Skulptur unterschieden werden. Jeder von ihnen ist reich mit Mathematik verbunden. Unter den Verbindungen zu den bildenden Künsten kann die Mathematik Werkzeuge für Künstler bereitstellen, wie die Regeln der linearen Perspektive, wie sie von Brook Taylor und Johann Lambert beschrieben werden, oder die Methoden der deskriptiven Geometrie, die in der Software-Modellierung von Festkörpern seit Albrecht angewandt werden Dürer und Gaspard Monge. Künstler aus Luca Pacioli im Mittelalter und Leonardo da Vinci und Albrecht Dürer in der Renaissance haben in ihrer künstlerischen Arbeit mathematische Ideen genutzt und entwickelt. Die Verwendung der Perspektive begann trotz einiger embryonaler Nutzungen in der Architektur des antiken Griechenlands mit italienischen Malern wie Giotto im 13. Jahrhundert; Regeln wie der Fluchtpunkt wurden erstmals von Brunelleschi um 1413 formuliert, seine Theorie beeinflusste Leonardo und Dürer. Isaac Newtons Arbeiten über das optische Spektrum beeinflussten Goethes Farbenlehre und wiederum Künstler wie Philipp Otto Runge, J. M. W. Turner, die Präraffaeliten und Wassily Kandinsky. Künstler können auch die Symmetrie einer Szene analysieren. Werkzeuge können von Mathematikern, die sich der Kunst widmen, oder von Mathematik inspirierten Künstlern wie MC Escher (inspiriert von HSM Coxeter) und dem Architekten Frank Gehry verwendet werden, der mehr argumentierte, dass computergestütztes Design es ihm ermöglichte, sich in einem völlig neuen Stil auszudrücken Weg.

Der Künstler Richard Wright argumentiert, dass mathematische Objekte, die konstruiert werden können, entweder “als Prozesse zur Simulation von Phänomenen” oder als Werke von “Computerkunst” gesehen werden können. Er betrachtet die Natur des mathematischen Denkens und beobachtet, dass Fraktale den Mathematikern ein Jahrhundert bekannt waren, bevor sie als solche erkannt wurden. Wright schließt mit der Feststellung, dass es angemessen ist, mathematische Objekte allen Methoden zu unterwerfen, die “kulturelle Artefakte wie die Kunst, die Spannung zwischen Objektivität und Subjektivität, ihre metaphorischen Bedeutungen und den Charakter von Repräsentationssystemen behandeln”. Er gibt als Beispiele ein Bild aus dem Mandelbrot-Set, ein Bild, das durch einen zellulären Automatenalgorithmus erzeugt wurde, und ein Computer-gerendertes Bild und diskutiert unter Bezugnahme auf den Turing-Test, ob algorithmische Produkte Kunst sein können. Sasho Kalajdzievskis Mathe und Kunst: Eine Einführung in die visuelle Mathematik verfolgt einen ähnlichen Ansatz und betrachtet geeignete Themen der visuellen Mathematik wie etwa Tilings, Fraktale und hyperbolische Geometrie.

Einige der ersten Werke der Computerkunst wurden von Desmond Paul Henrys “Drawing Machine 1”, einer analogen Maschine, die auf einem Bombenschreck-Computer basiert und 1962 ausgestellt wurde, geschaffen. Die Maschine war in der Lage, komplexe, abstrakte, asymmetrische, krummlinige, aber sich wiederholende Linien zu erzeugen Zeichnungen. In jüngerer Zeit hat Hamid Naderi Yeganeh Formen geschaffen, die an Objekte aus der realen Welt wie Fische und Vögel erinnern. Dabei werden Formeln verwendet, die sukzessive variiert werden, um Familien von Kurven oder gewinkelten Linien zu zeichnen. Künstler wie Mikael Hvidtfeldt Christensen erschaffen Werke generativer oder algorithmischer Kunst, indem sie Skripte für ein Softwaresystem wie Structure Synth schreiben: Der Künstler lenkt das System effektiv, um eine gewünschte Kombination mathematischer Operationen auf einen ausgewählten Datensatz anzuwenden.

Der Mathematiker und theoretische Physiker Henri Poincaré’s Wissenschaft und Hypothese wurde von den Kubisten, einschließlich Pablo Picasso und Jean Metzinger weit gelesen. Poincaré betrachtete die euklidische Geometrie als eine von vielen möglichen geometrischen Konfigurationen und nicht als absolute objektive Wahrheit. Die mögliche Existenz einer vierten Dimension inspirierte Künstler dazu, die klassische Renaissance-Perspektive in Frage zu stellen: Nicht-Euklidische Geometrie wurde zu einer gültigen Alternative. Das Konzept, dass Malerei mathematisch, in Farbe und Form ausgedrückt werden könnte, trug zum Kubismus bei, der Kunstbewegung, die zur abstrakten Kunst führte. Metzinger schrieb 1910: “[Picasso] legt eine freie, bewegliche Perspektive dar, aus der der geniale Mathematiker Maurice Princet eine ganze Geometrie abgeleitet hat”. Später schrieb Metzinger in seinen Memoiren:

Maurice Princet kam oft zu uns … als Künstler hat er die Mathematik konzipiert, als Ästhetiker hat er n-dimensionale Kontinua angerufen. Er liebte es, die Künstler für die neuen Raumansichten zu interessieren, die Schlegel und andere eröffnet hatten. Das ist ihm gelungen.

Der Impuls, Lehr- oder Forschungsmodelle von mathematischen Formen zu machen, schafft auf natürliche Weise Objekte, die Symmetrien und überraschende oder ansprechende Formen haben. Einige davon inspirierten Künstler wie die Dadaisten Man Ray, Marcel Duchamp und Max Ernst und folgten Man Ray, Hiroshi Sugimoto.

Man Ray fotografierte einige der mathematischen Modelle im Institut Henri Poincaré in Paris, einschließlich Objet Mathematique (Mathematisches Objekt). Er stellte fest, dass dies Enneper Oberflächen mit konstanter negativer Krümmung, abgeleitet von der Pseudo-Kugel darstellt. Diese mathematische Grundlage war ihm wichtig, da es ihm erlaubte zu leugnen, dass das Objekt “abstrakt” sei, und stattdessen behauptete, es sei so real wie das Urinal, das Duchamp zu einem Kunstwerk machte. Man Ray gab zu, dass die Formel der [Enneper-Oberfläche] des Objekts “für mich nichts bedeutete, aber die Formen selbst waren so vielfältig und authentisch wie alle anderen in der Natur.” Er verwendete seine Fotografien der mathematischen Modelle als Figuren in seiner Serie, die er an Shakespeares Stücken machte, wie an seinem 1934 entstandenen Gemälde Antony and Cleopatra. Der Kunstreporter Jonathan Keats, der in ForbesLife schreibt, argumentiert, dass Man Ray “die elliptischen Paraboloide und Kegelspitzen im selben sinnlichen Licht wie seine Bilder von Kiki de Montparnasse fotografierte” und “genial die kühlen Berechnungen der Mathematik umwandelt, um die Topologie von Verlangen”. Bildhauer des 20. Jahrhunderts wie Henry Moore, Barbara Hepworth und Naum Gabo ließen sich von mathematischen Modellen inspirieren. Moore schrieb über seine 1938 Stranged Mother and Child: “Zweifellos war die Quelle meiner Streichinstrumente das Wissenschaftsmuseum … Ich war fasziniert von den mathematischen Modellen, die ich dort sah … Es war nicht die wissenschaftliche Studie dieser Modelle, sondern die Fähigkeit, durch die Saiten wie mit einem Vogelkäfig zu schauen und eine Form in der anderen zu sehen, die mich erregte. ”

Die Künstler Theo van Doesburg und Piet Mondrian gründeten die De Stijl-Bewegung, mit der sie “ein visuelles Vokabular aufbauen wollten, das aus elementaren geometrischen Formen besteht, die für alle verständlich sind und jeder Disziplin angepasst werden können”. Viele ihrer Kunstwerke bestehen sichtbar aus geordneten Quadraten und Dreiecken, manchmal auch aus Kreisen. De Stijl Künstler arbeiteten in Malerei, Möbel, Innenarchitektur und Architektur. Nach der Auflösung von De Stijl gründete Van Doesburg die Avantgarde Art Concret Bewegung und beschrieb seine Arithmetische Komposition von 1929-1930, eine Serie von vier schwarzen Quadraten auf der Diagonale eines quadratischen Hintergrunds, als “eine Struktur, die man kontrollieren kann, a bestimmte Oberfläche ohne zufällige Elemente oder individuelle Laune “,” aber nicht im Geist fehlt, nicht das universelle fehlt und nicht … leer, wie es alles gibt, was den inneren Rhythmus passt “. Die Kunstkritikerin Gladys Fabre beobachtet, dass im Bild zwei Progressionen am Werk sind, nämlich die wachsenden schwarzen Quadrate und die wechselnden Hintergründe.

Die Mathematik von Tessellation, Polyeder, Raumgestaltung und Selbstreferenz lieferte dem Grafiker M. C. Escher (1898-1972) lebenslange Materialien für seine Holzschnitte. In der Alhambra-Skizze zeigte Escher, dass Kunst mit Polygonen oder regelmäßigen Formen wie Dreiecken, Quadraten und Sechsecken erzeugt werden kann. Escher verwendete beim Kacheln der Ebene unregelmäßige Polygone und verwendete häufig Reflexionen, Gleitreflexionen und Translationen, um weitere Muster zu erhalten. Viele seiner Arbeiten enthalten unmögliche Konstruktionen, die mit geometrischen Objekten erstellt wurden, die einen Widerspruch zwischen perspektivischer Projektion und drei Dimensionen darstellen, aber für die menschliche Sicht angenehm sind. Eschers Aufstieg und Abstieg basiert auf der “unmöglichen Treppe” des Mediziners Lionel Penrose und seines Sohnes, des Mathematikers Roger Penrose.

Einige von Eschers vielen Tessellationszeichnungen wurden von Gesprächen mit dem Mathematiker H. S. M. Coxeter über hyperbolische Geometrie inspiriert. Escher war vor allem an fünf spezifischen Polyedern interessiert, die in seinen Arbeiten oft vorkommen. Die Platonischen Körper – Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder – sind besonders in Ordnung und Chaos und vier regulären Festkörpern zu finden. Diese stellaren Figuren befinden sich oft in einer anderen Figur, die den Betrachtungswinkel und die Konformation der Polyeder weiter verzerrt und ein facettenreiches perspektivisches Kunstwerk liefert.

Die visuelle Komplexität mathematischer Strukturen wie Tessellationen und Polyeder hat eine Vielzahl von mathematischen Kunstwerken inspiriert. Stewart Coffin macht polyedrische Rätsel in seltenen und schönen Wäldern; George W. Hart arbeitet an der Theorie der Polyeder und formt von ihnen inspirierte Objekte; Magnus Wenninger macht “besonders schöne” Modelle von komplexen Sternpolyedern.

Die verzerrten Perspektiven der Anamorphose werden in der Kunst seit dem 16. Jahrhundert erforscht, als Hans Holbein der Jüngere in seinem 1553 entstandenen Gemälde The Ambassadors einen stark verzerrten Schädel einbaute. Viele Künstler, darunter auch Escher, haben sich anamorphen Tricks bedient.

Die Mathematik der Topologie hat in der Moderne mehrere Künstler inspiriert. Der Bildhauer John Robinson (1935-2007) schuf Arbeiten wie Gordian Knot und Bands of Friendship, die Knotentheorie in polierter Bronze zeigt. Andere Arbeiten von Robinson untersuchen die Topologie der Torusse. Genesis basiert auf Borromäischen Ringen – einer Gruppe von drei Kreisen, von denen keine zwei zusammenhängen, in denen jedoch die gesamte Struktur nicht auseinandergenommen werden kann, ohne zu brechen. Der Bildhauer Helaman Ferguson schafft komplexe Oberflächen und andere topologische Objekte. Seine Arbeiten sind visuelle Darstellungen von mathematischen Objekten; Der Achtfache Weg basiert auf der projektiven speziellen linearen Gruppe PSL (2,7), einer endlichen Gruppe von 168 Elementen. Ähnlich arbeitet die Bildhauerin Bathsheba Grossman an mathematischen Strukturen.

Ein Forschungsprojekt der Geisteswissenschaften untersucht Zusammenhänge zwischen Mathematik und Kunst durch Möbiusband, Flexagone, Origami und Panoramafotografie.

Mathematische Objekte, einschließlich der Lorenz-Mannigfaltigkeit und der hyperbolischen Ebene, wurden unter Verwendung von Fasertechnik einschließlich Häkeln hergestellt. Die amerikanische Weberin Ada Dietz schrieb 1949 eine Monographie algebraischer Ausdrücke in handgewebten Textilien, die auf der Expansion multivariater Polynome basierende Webmuster definiert. Der Mathematiker J. C. P. Miller verwendete den zellularen Automaten nach Regel 90, um Tapisserien zu entwerfen, die sowohl Bäume als auch abstrakte Muster von Dreiecken darstellen. Die “Mathetiker” Pat Ashforth und Steve Plummer verwenden gestrickte Versionen von mathematischen Objekten wie Hexaflexagon in ihrem Unterricht, obwohl ihr Menger-Schwamm sich als zu mühsam zum Stricken erwies und stattdessen aus Plastik-Canvas bestand. Ihr Projekt “Mathghans” (Afghanen for Schools) führte das Stricken in den britischen Lehrplan für Mathematik und Technologie ein.

Mathematik Modellierung:
Modellierung ist bei Weitem nicht die einzige Möglichkeit, mathematische Konzepte zu veranschaulichen. Giottos Stefaneschi Triptychon, 1320, illustriert Rekursion in Form von mise en abyme; die zentrale Tafel des Triptychons enthält links unten die kniende Figur von Kardinal Stefaneschi, der das Triptychon als Opfer hält. Giorgio Chiricos metaphysische Gemälde wie sein 1917, Great Metaphysical Interior ‘untersuchen die Frage nach den Ebenen der Repräsentation in der Kunst, indem sie Gemälde in seinen Gemälden darstellen.

Die Kunst kann logische Paradoxien veranschaulichen, wie in einigen Gemälden des Surrealisten René Magritte, die als semiotische Witze über die Verwirrung zwischen den Ebenen gelesen werden können. In La condition humaine (1933) stellt Magritte eine Staffelei (auf der echten Leinwand) dar, die nahtlos einen Blick durch ein Fenster unterstützt, das von “echten” Vorhängen im Gemälde eingerahmt wird. In ähnlicher Weise ist Eschers Print Gallery (1956) ein Druck, der eine verzerrte Stadt darstellt, die eine Galerie enthält, die rekursiv das Bild enthält, und so ad infinitum. Magritte nutzte Kugeln und Quader, um die Wirklichkeit auf andere Weise zu verzerren, und malte sie in seiner Mentalarithmetik von 1931 neben einer Ansammlung von Häusern, als wären sie Kinderbausteine, aber von Hausgröße. The Guardian beobachtete, dass das “unheimliche Spielzeugbild” die Aneignung “gemütlicher traditioneller Formen” durch die Moderne prophezeite, aber auch mit der menschlichen Tendenz, nach Mustern in der Natur zu suchen, spielt.

Salvador Dalís letztes Gemälde, Der Schwalbenschwanz (1983), war Teil einer Serie, die von René Thoms Katastrophentheorie inspiriert wurde. Der spanische Maler und Bildhauer Pablo Palazuelo (1916-2007) konzentrierte sich auf die Erforschung der Form. Er entwickelte einen Stil, den er als Geometrie des Lebens und der Geometrie aller Natur bezeichnete. In einfachen geometrischen Formen mit detaillierten Mustern und Farbgebungen, in Werken wie Angular I und Automnes, drückte sich Palazuelo in geometrischen Transformationen aus.

Der Künstler Adrian Gray praktiziert Steinbalancing, nutzt Reibung und den Schwerpunkt aus, um auffällige und scheinbar unmögliche Kompositionen zu schaffen.

Künstler nehmen Geometrie jedoch nicht unbedingt wörtlich. Wie Douglas Hofstadter 1980 in seiner Reflexion über das menschliche Denken schreibt, Gödel, Escher, Bach, unter anderem über die Kunstmathematik: “Der Unterschied zwischen einer Escher-Zeichnung und einer nicht-euklidischen Geometrie ist in der letzteren verständlich Für die undefinierten Begriffe können Interpretationen gefunden werden, die zu einem nachvollziehbaren Gesamtsystem führen, während für das erstere das Endergebnis nicht mit der eigenen Weltanschauung vereinbar ist, egal wie lange man auf die Bilder starrt. ” Hofstadter diskutiert die scheinbar paradoxe Lithographie Print Gallery von M. C. Escher; Es zeigt eine Küstenstadt mit einer Kunstgalerie, in der ein Gemälde der Küstenstadt zu sehen ist. Es gibt eine “seltsame Schleife oder verschlungene Hierarchie” zu den Ebenen der Realität im Bild. Der Künstler selbst, bemerkt Hofstadter, wird nicht gesehen; seine Realität und seine Beziehung zur Lithographie sind nicht paradox. Die zentrale Leere des Bildes hat auch das Interesse der Mathematiker Bart de Smit und Hendrik Lenstra geweckt, die vorschlagen, dass es eine Droste-Effekt-Kopie von sich selbst enthalten könnte, gedreht und geschrumpft; Dies wäre eine weitere Veranschaulichung der Rekursion, die über die von Hofstadter erwähnte hinausgeht.

Die algorithmische Analyse von Bildern von Kunstwerken, zum Beispiel mittels Röntgenfluoreszenzspektroskopie, kann Informationen über Kunst offenbaren. Solche Techniken können Bilder in Farbschichten aufdecken, die später von einem Künstler verdeckt werden; helfen Sie Kunsthistorikern, ein Kunstwerk zu visualisieren, bevor es geknickt oder verblasst ist; helfen, eine Kopie von einem Original zu erzählen, oder den Pinselstrichstil eines Meisters von denen seiner Lehrlinge zu unterscheiden.

Jackson Pollocks Drip-Painting-Stil hat eine bestimmte fraktale Dimension; Unter den Künstlern, die Pollocks kontrolliertes Chaos beeinflusst haben mögen, malte Max Ernst die Lissajous-Figuren direkt, indem er einen punktierten Farbeimer über eine Leinwand schwang.

Der Computerwissenschaftler Neil Dodgson untersuchte, ob Bridget Rileys Streifemalereien mathematisch charakterisiert werden konnten und kam zu dem Schluss, dass die Trennung zwar “etwas Charakterisierung” und globale Entropie bei manchen Gemälden erlaubt, die Autokorrelation jedoch fehlschlug, da Rileys Muster unregelmäßig waren. Die lokale Entropie funktionierte am besten und korrelierte gut mit der Beschreibung des Kunstkritikers Robert Kudielka.

Das ästhetische Maß des amerikanischen Mathematikers George Birkhoff von 1933 schlägt eine quantitative Metrik der ästhetischen Qualität eines Kunstwerks vor. Es versucht nicht, die Konnotationen eines Werkes zu messen, etwa was ein Gemälde bedeuten könnte, sondern beschränkt sich auf die “Ordnungselemente” einer polygonalen Figur. Birkhoff kombiniert zunächst (als Summe) fünf solcher Elemente: ob es eine vertikale Symmetrieachse gibt; ob es ein optisches Gleichgewicht gibt; wie viele Rotationssymmetrien hat es; wie tapetenartig ist die Figur; und ob es nicht zufriedenstellende Merkmale gibt, wie zum Beispiel zwei Ecken zu nahe beieinander zu haben. Diese Metrik, O, nimmt einen Wert zwischen -3 und 7 an. Die zweite Metrik, C, zählt Elemente der Figur, die für ein Polygon die Anzahl verschiedener gerader Linien ist, die mindestens eine ihrer Seiten enthalten. Birkhoff definiert dann sein ästhetisches Maß für die Schönheit eines Objekts als O / C. Dies kann als ein Gleichgewicht zwischen der Freude am Objekt und dem Aufwand für die Aufnahme interpretiert werden. Birkhoffs Vorschlag wurde auf verschiedene Weise kritisiert, nicht zuletzt, weil er versuchte, Schönheit in eine Formel zu bringen, aber niemals behauptete, das getan zu haben.

Die Kunst hat manchmal die Entwicklung der Mathematik angeregt, als Brunelleschis Theorie der Perspektive in Architektur und Malerei einen Forschungszyklus einleitete, der zu den Arbeiten von Brook Taylor und Johann Heinrich Lambert über die mathematischen Grundlagen des perspektivischen Zeichnens und schließlich zur Mathematik führte projektive Geometrie von Girard Desargues und Jean-Victor Poncelet.

Die japanische Papierfaltkunst von Origami wurde von Tomoko Fusé mathematisch überarbeitet, indem Module, kongruente Papierstücke wie Quadrate, zu Polyedern oder Fliesen verarbeitet wurden. Die Papierfaltung wurde 1893 von T. Sundara Rao in seinen Geometrischen Übungen in Papierfaltung verwendet, um geometrische Beweise zu demonstrieren. Die Mathematik der Papierfaltung wurde in Maekawas Theorem, dem Kawasaki-Theorem und den Huzita-Hatori-Axiomen untersucht.

Optische Illusionen wie die Fraser-Spirale demonstrieren auf eindrucksvolle Weise Einschränkungen der menschlichen Sehwahrnehmung und schaffen das, was der Kunsthistoriker Ernst Gombrich als “verblüffenden Trick” bezeichnete. Die schwarzen und weißen Seile, die Spiralen zu bilden scheinen, sind in der Tat konzentrische Kreise. Der Op-Art- oder Optical-Art-Stil der Malerei und Grafik der Mitte des 20. Jahrhunderts nutzte solche Effekte, um den Eindruck von Bewegung und blinkenden oder vibrierenden Mustern zu erzeugen, die in den Arbeiten von Künstlern wie Bridget Riley, Spyros Horemis und Victor Vasarely zu sehen sind.

Ein Kunststrang aus dem antiken Griechenland sieht Gott als Geometer der Welt und die Geometrie der Welt als heilig. Der Glaube, dass Gott das Universum nach einem geometrischen Plan geschaffen hat, hat uralte Ursprünge. Plutarch schrieb den Glauben Plato zu und schrieb, dass “Plato sagte, dass Gott ständig geometrisiert” (Convivialium disputationum, liber 8,2). Dieses Bild hat das westliche Denken seitdem beeinflusst. Das platonische Konzept wurde wiederum von einem pythagoreischen Begriff der Harmonie in der Musik abgeleitet, in dem die Noten in perfekten Proportionen verteilt waren, die den Längen der Lyrasaiten entsprachen; die Pythagoräer behaupteten sogar, alles sei nach Zahl geordnet. Auf dieselbe Weise bestimmen im platonischen Denken die regelmäßigen oder platonischen Körper die Proportionen, die in der Natur und in der Kunst gefunden werden. Eine mittelalterliche Manuskripendarstellung kann sich auf einen Vers im Alten Testament beziehen: “Als er die Himmel etablierte, war ich dort: als er einen Kompass auf das Gesicht der Tiefe legte” (Sprüche 8:27), zeigt Gott, wie er das Universum mit sich zieht ein Paar Kompasse. Im Jahr 1596 modellierte der Mathematiker Johannes Kepler das Universum als eine Gruppe verschachtelter platonischer Körper, die die relativen Größen der Umlaufbahnen der Planeten bestimmten. William Blake’s Ancient of Days und sein Bild des Physikers Isaac Newton, nackt und mit einem Kompass zeichnend, versuchen den Kontrast zwischen der mathematisch perfekten geistigen Welt und der unvollkommenen physischen Welt darzustellen, so wie Salvador Dalís Kreuzigung von 1954 (Corpus Hypercubus), der das Kreuz als Hyperkubus darstellt und die göttliche Perspektive mit vier statt den üblichen drei Dimensionen darstellt. In Dalis Sakrament des letzten Abendmahls (1955) sind Christus und seine Jünger in einem riesigen Dodekaeder dargestellt.