الجسيمات الكينماتيكا

الجسيمات الحركية هي دراسة مسار الجسيم. يتم تعريف موضع الجسيم على أنه ناقل الاتجاه من أصل إطار الإحداثيات إلى الجسيم.

حركية مسار الجسيم في إطار مرجعي غير دوار
في الحالة الأكثر عمومية ، يتم استخدام نظام إحداثيات ثلاثي الأبعاد لتحديد موضع جسيم ما. ومع ذلك ، إذا كان الجسيم مقيدًا بالتحرك في سطح ، فإن نظام إحداثيات ثنائي الأبعاد يكون كافيًا. جميع الملاحظات في الفيزياء غير مكتملة دون أن يتم وصف هذه الملاحظات فيما يتعلق بالإطار المرجعي.

متجه الموقع لجسيم ما هو متجه من أصل الإطار المرجعي إلى الجسيم. يعبر عن كل من مسافة النقطة من المصدر وتوجيهه من المصدر. في ثلاثة أبعاد ، يمكن التعبير عن موضع النقطة P باسم 

أين  ،  و  هي الإحداثيات الديكارتية و  ،  و  هي ناقلات الوحدة على طول  ،  و محاور الإحداثيات ، على التوالي. حجم متجه الموقع  يعطي المسافة بين النقطة  والأصل.

يوفر اتجاه جيب التمام من متجه الموقع مقياسًا كميًا للاتجاه. من المهم أن نلاحظ أن موضع ناقل الجسيم ليس فريدا من نوعه. يختلف متجه الموقع لجسيم معين بالنسبة للإطارات المرجعية المختلفة.

مسار الجسيم هو دالة متجه للوقت ،  والذي يحدد المنحنى الذي تتبعه الجسيم المتحرك ، والذي يحدده 
حيث تكون الإحداثيات x P و y P و z P من وظائف كل وقت.

السرعة والسرعة
سرعة الجسيم هي كمية ناقلة تشرح اتجاه الحركة وحجم حركة الجسيم. أكثر من الناحية الحسابية ، فإن معدل تغيير متجه الموقع من نقطة ، فيما يتعلق بالوقت هو سرعة النقطة. خذ بعين الاعتبار النسبة المتكونة عن طريق قسمة الفرق بين موقعين للجسيم حسب الفترة الزمنية. تُعرف هذه النسبة بالسرعة المتوسطة على مدار تلك الفترة الزمنية وتُعرّف على أنها السرعة = الإزاحة / الوقت المستغرق

حيث ΔP هو التغيير في متجه الموقع عبر الفاصل الزمني Δt.
في الحد الذي يصبح فيه الفاصل الزمني أصغر وأصغر ، تصبح السرعة المتوسطة المشتق الزمني لمتجه الموقع ، 

سرعة كائن هو حجم | V | من سرعته. إنها كمية قياسية:

حيث s هي طول القوس المقاس على طول مسار الجسيم. إن طول القوس هذا الذي يتحرك به الجسيم بمرور الوقت هو كمية غير متناقصة.وبالتالي ، يعتبر ds / dt غير سالبة ، مما يعني أن السرعة هي أيضًا غير سالبة.

التعجيل
يمكن أن يتغير متجه السرعة من حيث الحجم والاتجاه أو كليهما في وقت واحد. وبالتالي ، فإن التسارع هو معدل التغير في حجم ناقل السرعة بالإضافة إلى معدل تغير اتجاه ذلك الناقل. نفس المنطق المستخدم فيما يتعلق بموضع الجسيم لتحديد السرعة ، يمكن تطبيقه على السرعة لتحديد التسارع. تسارع الجسيم هو ناقل يحدده معدل تغير ناقل السرعة. يتم تعريف متوسط ​​تسارع الجسيم خلال فترة زمنية على أنها النسبة.

حيث ΔV هو الفرق في متجه السرعة و Δt هو الفاصل الزمني.
تسارع الجسيم هو الحد الأقصى لمتوسط ​​التسارع حيث يقترب الفاصل الزمني من الصفر ، وهو المشتق الزمني ، 
أو

حجم تسارع الجسم هو الحجم | A | من متجهه التسارع. إنها كمية قياسية:

متجه الموقع النسبي

وهو الفرق بين مكونات ناقلات مواقعهم.

إذا كانت النقطة B بها مكونات موضع 

عندئذ يكون موضع النقطة A بالنسبة للنقطة B هو الفرق بين مكوناتها: 

السرعة النسبية
سرعة نقطة واحدة بالنسبة إلى أخرى هي ببساطة الفرق بين سرعاتها

وهو الفرق بين مكونات سرعاتها.
إذا كانت النقطة A تحتوي على مكونات السرعة 
والنقطة B تحتوي على مكونات السرعة 

عندئذ تكون سرعة النقطة A بالنسبة للنقطة B هي الفرق بين مكوناتها: 
وبدلاً من ذلك ، يمكن الحصول على نفس النتيجة من خلال حساب المشتق الزمني لمتجه الموضع النسبي R B / A.

في الحالة التي تكون فيها السرعة قريبة من سرعة الضوء c (بشكل عام ضمن 95٪) ، يتم استخدام مخطط آخر للسرعة النسبية يسمى السرعة ، يعتمد على نسبة V إلى c ، في النسبية الخاصة.

تسارع نسبي
تسارع نقطة واحدة C نسبة إلى نقطة أخرى B هو ببساطة الفرق بين تسارعها.

وهو الفرق بين مكونات تسارعاتها.
إذا كانت النقطة C تحتوي على مكونات تسريع 
والنقطة B تحتوي على مكونات تسريع 

عندئذ يكون تسارع النقطة C بالنسبة للنقطة B هو الفرق بين مكوناتها: 
وبدلاً من ذلك ، يمكن الحصول على نفس النتيجة من خلال حساب المشتق الثاني من متجه الموقع النسبي P B / A.

مسارات الجسيمات تحت التسارع المستمر
في حالة التسارع الثابت ، يمكن دمج المعادلة التفاضلية Eq 1 لأن متجه التسارع A من النقطة P ثابت من حيث الحجم والاتجاه. ويقال إن هذه النقطة تخضع لحركة متسقة بشكل منتظم . في هذه الحالة ، يمكن الحصول على السرعة V (t) ثم المسار P (t) للجسيم عن طريق دمج معادلة التسارع A فيما يتعلق بالوقت.

على افتراض أن الشروط الأولية للموقف ،  والسرعة  في الوقت  ومن المعروف أن التكامل الأول ينتج سرعة الجسيم كدالة للوقت.

يحقق التكامل الثاني مساره (المسار) ،

يمكن استنباط علاقات إضافية بين الإزاحة والسرعة والتسارع والوقت. بما أن التسارع ثابت ،  يمكن استبدالها بالمعادلة أعلاه لإعطاء:

يمكن الحصول على علاقة بين السرعة والموقف والتسارع دون الاعتماد على الوقت بشكل واضح من خلال حل التسارع المتوسط ​​للوقت واستبداله وتبسيطه

حيث تشير ∘ إلى المنتج dot ، وهو مناسب لأن المنتجات هي scalars بدلاً من المتجهات.

يمكن استبدال النقطة بجيب الزاوية  بين المتجهات والناقلات حسب مقاديرها ، وفي هذه الحالة:

في حالة التسارع دائمًا في اتجاه الحركة ، فإن الزاوية بين المتجهات (  ) هو 0 ، لذلك  و 

يمكن تبسيط ذلك باستخدام الترميز لمقاييس المتجهات  أين  يمكن أن يكون أي مسار رشيق حيث يتم تطبيق التسارع العرضي المستمر على طول هذا المسار ، لذلك 

هذا يقلل من المعادلات البارامترية لحركة الجسيم إلى علاقة ديكارتية للسرعة مقابل الموقف. هذه العلاقة مفيدة عندما يكون الوقت غير معروف. نحن نعرف ذلك أيضًا  أو  هي المنطقة تحت AV ، الرسم البياني t. يمكن أن نتخذها  بإضافة المساحة العلوية والمساحة السفلية. المنطقة السفلية عبارة عن مستطيل ، ومساحة المستطيل هي  أين هو العرض و  هو الارتفاع. في هذه الحالة  و  (نلاحظ أن  هنا مختلف عن التسارع  ).هذا يعني أن المنطقة السفلية هي  . الآن دعونا نجد المنطقة العليا (مثلث). المنطقة من trangle هو  أين  هي القاعدة و  هو الارتفاع.في هذه الحالة ،  و  أو  . مضيفا  و  النتائج في المعادلة النتائج في المعادلة  . هذه المعادلة مفيدة للغاية عندما تكون السرعة النهائية  غير معروف.

مسارات الجسيمات في إحداثيات اسطوانية قطبية
وغالبًا ما يكون من الملائم وضع مسار الجسيم P (t) = (X (t) و Y (t) و Z (t)) باستخدام إحداثيات قطبية في المستوي X-Y. في هذه الحالة ، تأخذ سرعته وتسارعه شكلاً مناسبًا.

نذكر أن مسار الجسيم P محدد بواسطة متجه الإحداثي الخاص به P المقاس في إطار مرجعي ثابت F. بينما يتحرك الجسيم ، يتتبع متجه إحداثياته ​​P (t) مساره ، وهو منحنى في الفضاء ، ويعطى بواسطة:

حيث i ، j ، و k هي متجهات الوحدة على طول المحاور X و Y و Z للإطار المرجعي F ، على التوالي.

ولنفترض أن الجسيم P يتحرك فقط على سطح الأسطوانة الدائرية R (t) = ثابت ، فمن الممكن محاذاة محور Z للإطار الثابت F بمحور الأسطوانة. بعد ذلك ، يمكن استخدام الزاوية θ حول هذا المحور في المستوى X-Y لتحديد المسار ، 

يمكن تبسيط الإحداثيات الأسطوانية لـ P (t) من خلال إدخال نواقل الوحدة الشعاعية والملولية ، 

ومشتقات وقتهم من حساب التفاضل والتكامل الأساسي:



 .

باستخدام هذا الترميز ، يأخذ P (t) النموذج ،

حيث R ثابت في حالة الجسيم الذي يتحرك فقط على سطح اسطوانة نصف قطرها R.

بشكل عام ، لا يقيد المسار P (t) على الاستلقاء على أسطوانة دائرية ، لذلك يتغير نصف القطر R بمرور الوقت ويصبح مسار الجسيم في إحداثيات أسطوانية – قطبية:

حيث قد يكون R و Theta و Z وظائف قابلة للتغير بشكل مستمر للوقت ويتم إسقاط التدوين الوظيفي للبساطة. متجه السرعة V P هو مشتق التوقيت لمسار P (t) ، الذي ينتج:  .

وبالمثل ، يُعطى التسارع A P ، وهو المشتق الزمني لسرعة V P ، بواسطة: 

المصطلح  يعمل نحو مركز انحناء المسار عند هذه النقطة على الطريق ، ويسمى عادة تسارع الجاذبية المركزية.المصطلح  يسمى تسارع كوريوليس.

نصف قطر ثابت
إذا كان مسار الجسيم مقيدًا بالاستلقاء على الأسطوانة ، فسيكون نصف القطر R ثابتًا وتبسيط معاملات السرعة والتسارع. سرعة V P هي المشتقة الزمنية للمسار P (t) ،

يصبح متجه التسارع:

مسارات مستديرة دائرية
تحدث حالة خاصة لمسار جسيم على أسطوانة دائرية عندما لا تكون هناك حركة على طول المحور Z:

حيث R و Z 0 هي ثوابت. في هذه الحالة ، يتم إعطاء السرعة V P بواسطة:

أين

هي السرعة الزاويّة لوحدة المتجه θ حول محور z للاسطوانة.
يعطى الآن تسارع A P للجسيم P بواسطة:

المكونات

تسمى ، على التوالي ، المكونات الشعاعية والتمسية للتسارع.
غالباً ما يتم تعريف تدوين السرعة الزاوية والتسارع الزاوي على أنه

بحيث يتم كتابة مكونات التسارع الشعاعي والملمس للمسارات الدائرية أيضًا

مسارات نقطة في جسم يتحرك في الطائرة

تمثيل مصفوفة
يمكن تمثيل توليفة الدوران والترجمة في المستوى R2 بنوع معين من المصفوفة 3×3 المعروفة باسم تحويل متجانس. يتم إنشاء التحويل المتجانس 3 × 3 من مصفوفة دوران 2X2 A (φ) وناقل الترجمة 2×1 d = (d x ، d y ) ، كما يلي: 

تؤدي هذه التحويلات المتجانسة تحويلات صارمة على النقاط في المستوى z = 1 ، وهي على نقاط مع إحداثيات p = (x، y، 1).

على وجه الخصوص ، دعونا نحدد إحداثيات النقاط في إطار مرجعي M يتطابق مع إطار ثابت F. ثم ، عندما يتم تشريد منشأ M بواسطة متجه الترجمة d النسبي إلى أصل Fand الذي يدور بزاوية φ نسبة إلى x-axis of F ، يتم إعطاء الإحداثيات الجديدة في F من النقاط في M بواسطة:

تمثل التحولات المتجانسة التحولات الصعبة. هذه الصيغة ضرورية لأن الترجمة ليست تحولا خطيا لـ R2. ومع ذلك ، باستخدام الهندسة الإسقاطية ، بحيث يعتبر R 2 مجموعة فرعية من R 3 ، تصبح الترجمات التحولات الخطية.

ترجمة نقية
إذا تحرك جسم جامد بحيث لا يدور الإطار المرجعي M (∅ = 0) بالنسبة إلى الإطار الثابت F ، فإن الحركة تسمى ترجمة نقية. في هذه الحالة ، يكون مسار كل نقطة في الجسم عبارة عن إزاحة للمسير d (t) من أصل M ، وهذا هو: 

وهكذا ، بالنسبة للهيئات في الترجمة النقية ، تعطى سرعة وتسارع كل نقطة P في الجسم من خلال: 

حيث تشير النقطة إلى المشتق فيما يتعلق بالوقت و V O و A O هي السرعة والتسارع ، على التوالي ، لمنشأ الإطار المتحرك M. تذكر أن متجه التنسيق p في M ثابت ، لذلك مشتقه هو صفر.

دوران الجسم حول محور ثابت
الكينماتيكا التناوبية أو الزاويّة هي وصف دوران الجسم. يتطلب وصف الدوران بعض الطرق لوصف الاتجاه. وتشمل الأوصاف الشائعة زوايا أويلر وحركيات المنعطفات الناجمة عن المنتجات الجبرية.

في ما يلي ، يقتصر الانتباه على الدوران البسيط حول محور التوجه الثابت. تم اختيار المحور z للراحة.

موضع
يسمح هذا بوصف الدوران كموضع زاوي للإطار المرجعي المستوي M بالنسبة إلى ثابت F حول هذا المحور z المشترك. ترتبط إحداثيات p = (x، y) في M بالإحداثيات P = (X، Y) في F بواسطة معادلة المصفوفة:

أين

هي مصفوفة الدوران التي تحدد الموضع الزاوي لـ M نسبة إلى F كدالة للوقت.

● السرعة
إذا لم تتحرك النقطة p في M ، تعطى سرعتها في F

من الملائم إزالة الإحداثيات p وكتابة هذه العملية على المسار P (t) ، 

حيث المصفوفة

يُعرف بمصفوفة السرعة الزاوية للنسبة M بالنسبة إلى F. المعلمة ω هي مشتقة الوقت للزاوية θ ، وهي:

التعجيل
يتم الحصول على تسارع P (t) في F كمشتق زمني للسرعة ،

الذي يصبح

أين

هي مصفوفة التسارع الزاوي لـ M على F ، و

يتضمن وصف الدوران بعد ذلك هذه الكميات الثلاثة:

الموضع الزاوي: المسافة الموجّهة من أصل مختار على محور الدوران إلى نقطة الكائن هي المتجه r (t) لتحديد النقطة. يحتوي المتجه r (t) على بعض الإسقاط (أو ، بشكل مكافئ ، بعض المكونات) r  (t) على مستوى عمودي على محور الدوران. عندئذ يكون الموضع الزاوي لهذه النقطة هو الزاوية θ من محور مرجعي (عادةً المحور x الإيجابي) إلى المتجه r  (t) بمعنى دوران معروف (عادةً ما يُعطى بقاعدة اليد اليمنى).

السرعة الزاوية: السرعة الزاوية ω هي المعدل الذي يتغير عنده الموضع الزاوي فيما يتعلق بالوقت t:

يتم التعبير عن السرعة الزاوية في الشكل 1 بواسطة متجه Ω مشيراً على طول محور الدوران بالحجم ω والشعور يحدده اتجاه الدوران كما هو موضح في قاعدة اليد اليمنى.

التسارع الزاوي: مقدار التسارع الزاوي α هو المعدل الذي تتغير به السرعة الزاوية with فيما يتعلق بالوقت t:

يمكن بسهولة توسيع معادلات كينماتيكيات الترجمة إلى الحركات المستوية للتدوير من أجل التسارع الزاوي الثابت مع التبادلات البسيطة المتغيرة:



هنا θ i و are f ، على التوالي ، المواضع الزاوي الأولية والنهائية ، ω i و are f ، على التوالي ، السرعات الزاوية الأولية والنهائية ، و α هي التسارع الزاوي الثابت. على الرغم من أن الموقع في الفضاء والسرعة في الفضاء كلاهما ناقلات حقيقية (من حيث خصائصها تحت التناوب) ، كما هو الحال مع السرعة الزاوية ، فإن الزاوية نفسها ليست ناقلة حقيقية.

مسارات النقاط في الجسم تتحرك في ثلاثة أبعاد
تعرف الصيغ الهامة في علم الحركة الحركية سرعة وتسارع النقاط في جسم متحرك لأنها تتبع المسارات في الفضاء الثلاثي الأبعاد. هذا مهم بشكل خاص لمركز كتلة الجسم ، والذي يستخدم لاشتقاق معادلات الحركة باستخدام إما قانون نيوتن الثاني أو معادلات لاغرانج.

موضع
من أجل تحديد هذه الصيغ ، يتم تحديد حركة المكون B من النظام الميكانيكي بواسطة مجموعة التدوير [A (t)] والترجمات d (t) المجمعة في تحويل متجانس [T (t)] = [A (ر) ، د (ر)]. إذا كانت p هي إحداثيات النقطة P في B المقيسة في الرتل المرجعي المتحرك M ، عندئذ يُعطى مسار هذه النقطة المعيّنة في F بواسطة: 

لا يميز هذا الترميز بين P = (X و Y و Z و 1) و P = (X و Y و Z) ، وهو أمر واضح في السياق.
يمكن قلب هذه المعادلة لمسار P لحساب متجه الاحداثي p في M على النحو التالي: 

يستخدم هذا التعبير حقيقة أن تبديل مصفوفة التدوير هو أيضًا معكوس ، وهو:

● السرعة
يتم الحصول على سرعة النقطة P بطول مسارها P (t) كمشتق زمني لمتجه الموقع هذا ، 

تشير النقطة إلى المشتق فيما يتعلق بالوقت ؛ لأن p ثابت ، مشتقه هو صفر.

يمكن تعديل هذه الصيغة للحصول على سرعة P من خلال العمل على مسارها P (t) المقاسة في الإطار الثابت F. الاستعاضة عن التحويل العكسي لـ p في عوائد المعادلة السرعة: 

المصفوفة [S] تُعطى بواسطة:

أين

هي مصفوفة السرعة الزاوية.

ضرب من قبل المشغل [S] ، تأخذ الصيغة للسرعة V P النموذج:

حيث يكون المتجه ω هو ناقل السرعة الزاوية الذي تم الحصول عليه من مكونات المصفوفة [Ω] ؛ المتجه

هو موقع P بالنسبة إلى أصل O للإطار المتحرك M ؛ و
{\ textbf {V}} _ {O} = {\ dot {\ textbf {d}}} ،

هي سرعة المنشأ O.

التعجيل
يتم الحصول على تسارع نقطة P في جسم متحرك B كمشتق زمني لمتجه السرعة الخاص به: 

يمكن توسيع هذه المعادلة أولاً عن طريق الحوسبة

و

يمكن الحصول على صيغة التسارع A P على النحو التالي:

أو

حيث α هي متجه التسارع الزاوي الناتج عن مشتق لمصفوفة السرعة الزاوية ؛

هو متجه الموقع النسبي (موضع P نسبة إلى أصل O للإطار المتحرك M) ؛ و

هو تسارع أصل الإطار المتحرك M.